גדלים פיזיקליים ויחידות

לגודל פיזיקלי ישנם שני חלקים: מספר (ה-גודל שלו) ו-יחידה. המספר לבדו אינו מעיד על כלום. יש לציין גם מה נמדד ובאיזה יחידה.

דוגמה: "האורך הוא 1.5" אינו שלם. "האורך הוא 1.5 מ'" הוא גודל פיזיקלי.

הערכות

יש להיות מסוגל ל-העריך את הגודלים הפיזיקליים בסילבוס זה. פקודת 1 פותחת לרוב בשאלה מסוג זה. למד ערכים גסים אלו:

• מסה של אדם בוגר: $\sim 70\ \text{kg}$; של רכב: $\sim 1000\ \text{kg}$; של תפוח: $\sim 0.1\ \text{kg}$
• משקל של אדם בוגר: $\sim 700\ \text{N}$; של תפוח: $\sim 1\ \text{N}$
• גובה של אדם בוגר: $\sim 1.7\ \text{m}$; גובה של חדר: $\sim 3\ \text{m}$
• מהירות הליכה: $\sim 1.5\ \text{m s}^{-1}$; רכב בכביש מהיר: $\sim 30\ \text{m s}^{-1}$
• מהירות קול באוויר: $\sim 340\ \text{m s}^{-1}$; מהירות אור בוואקום: $3.0 \times 10^{8}\ \text{m s}^{-1}$
• תאוצה של נפילה חופשית: $g \approx 9.81\ \text{m s}^{-2}$
• צפיפות של מים: $1000\ \text{kg m}^{-3}$; של אוויר: $\sim 1.2\ \text{kg m}^{-3}$; של פלדה: $\sim 8000\ \text{kg m}^{-3}$
• לחץ אטמוספרי: $\sim 1.0 \times 10^{5}\ \text{Pa}$
• טמפרטורת חדר: $\sim 20\ ^{\circ}\text{C} \approx 293\ \text{K}$
• הספק של קומקום: $\sim 2\ \text{kW}$; של אדם העולה במדרגות: $\sim 300\ \text{W}$
• אורך גל של אור נראה: $\sim 5 \times 10^{-7}\ \text{m}$; קוטר של אטום: $\sim 10^{-10}\ \text{m}$; של גרעין: $\sim 10^{-15}\ \text{m}$

הערכה טובה היא זו שיש לה את סדר הגודל הנכון (הכוח הנכון של עשר). עבור אדם, 70 ק"ג הוא ניחוש טוב; 7 ק"ג אינו כזה.

כדי להעריך כמות שאינה ברשימה, בנה אותה מכמויות הקיימות. האנרגיה הקינטית של רכב נע היא $\tfrac{1}{2}mv^{2} \approx \tfrac{1}{2} \times 1000 \times 30^{2} \approx 5 \times 10^{5}\ \text{J}$. הלחץ תחת אדם עומד היא $700\ \text{N} / 0.02\ \text{m}^{2} \approx 4 \times 10^{4}\ \text{Pa}$. תמיד ודא כי הכוח של עשר נראה סביר לפני שתמשיך.

יחידות בסיס

למערכת SI יש שבע כמויות בסיס; חמש מהן משמשות בנושא זה. עליך לדעת את חמש אלו ואת היחידות שלהן:

• מסה — קילוגרם, $\text{kg}$
• אורך — מטר, $\text{m}$
• זמן — שנייה, $\text{s}$
• זרם חשמלי — אמפר, $\text{A}$
• טמפרטורה — קלווין, $\text{K}$

כל יחידה אחרת בסילבוס הבונה על בסיס חמש אלו.

יחידות פשוטות

יחידה פשוטה נוצרת על ידי כפל או חילוק של יחידות בסיס. עליך להיות מסוגל לכתוב כל כמות בסילבוס זה ביחידות בסיס.

בנה יחידה פשוטה מהמשוואה המגדירה אותה:

• מהירות = מרחק / זמן, ולכן היחידה שלה היא $\text{m s}^{-1}$
• תאוצה = שינוי במהירות / זמן, ולכן היחידה שלה היא $\text{m s}^{-2}$
• כוח = מסה × תאוצה, לכן היחידה היא $\text{kg m s}^{-2}$. ה-ניוטון הוא $1\ \text{N} = 1\ \text{kg m s}^{-2}$.
• עבודה ו-אנרגיה = כוח × מרחק, ולכן היחידה היא $\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-2}$. ה-ג'ול הוא $1\ \text{J} = 1\ \text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-2}$.
• הספק = אנרגיה / זמן, ולכן היחידה היא $\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$. ה-וואט הוא $1\ \text{W} = 1\ \text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$.
• לחץ ו-מתיחה = כוח / שטח, ולכן היחידה היא $\text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-2}$. ה-פסקל הוא $1\ \text{Pa} = 1\ \text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-2}$.

כששאלה מבקשת את יחידות הבסיס של SI לכמות נתונה, החלף כל יחידה שמייצגת בשם ליחידות הבסיס שלה, ואז פשוט. לדוגמה: יחידות הבסיס של ה-SI לוואט הן $\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$.

בדיקה שהיחידות תואמות

משוואה היא הומוגנית כאשר לשני צדדים יש אותן יחידות בסיס. במילים פשוטות: היחידות בשני הצדדים תואמות.

כתוב כל צד ביחידות בסיס והשווה. לקח את המשוואה $v^{2} = u^{2} + 2as$:

• צד שמאל: $(\text{m s}^{-1})^{2} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$
• צד ימין, איבר ראשון: $(\text{m s}^{-1})^{2} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$
• צד ימין, איבר שני: $\text{m s}^{-2} \cdot \text{m} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$

לשני הצדדים מתקבל $\text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$, ולכן היחידות תואמות.

זהיר: התאמת יחידות אינה מוכיחה שהמשוואה כולה נכונה. עשוי להיות בה מספר שגוי או גורם 2 חסר. אך אם היחידות לא תואמות, המשוואה בטוח שגויה.

דוגמה פותרת. כוח ההתנגדות על כדור נופל נתון על ידי $F = kv^{2}$, כאשר $v$ הוא המהירות. מצא את יחידות הבסיס של ה-SI עבור הקבוע $k$.

סדר מחדש: $k = F / v^{2}$. ביחידות בסיס, $F$ הוא $\text{kg m s}^{-2}$ ו-$v^{2}$ הוא $\text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$, ולכן

בשאלת רב-בחירה לעיתים קרובות שואלים "אילו משוואה יכולה להיות נכונה?". בדוק את יחידות הבסיס של כל אופציה; רק משוואה הומוגנית יכולה להיות נכונה. מספר טהור (כמו 2, $\pi$ או $\tfrac{1}{2}$) אין לו יחידה, ולכן הוא לעולם לא משנה את הבדיקה.

פריפים (קידומים)

פריף הוא אות המונח לפני יחידה כדי להגדיל או להקטין אותה בכוחות של עשר. עליך לדעת אלו:

כדי להמיר יחידה עם תאריך ליחידות בסיסיות, החלף את התאריך בגורם שלו, ואז פשט. לדוגמה: שנה $0.25\ \text{kN mm}^{-2}$ ל-$\text{N m}^{-2}$:

קח בחשבון מיוחד יחידות רבועות כמו $\text{mm}^{2}$: עליך לעלות גם את הגורם בריבוע.

לכל מדידה יש אי-ודאות כלשהי — לעולם לא בטוחים לחלוטין מהערך. עובד מעבדה טוב יודע מאן באה האי-ודאות, מעריך אותה בצורה הוגנת ומשאיר אותה עד לתשובה הסופית.

*קריאת מיקרומטר אמיתי: לקרוא את המ"מ וחצי המ"מ על השרוול, ולאחר מכן להוסיף את קנה המידה של הסיב

*קליפר וורנייר מדודים עד ל-0.1 מ"מ הקרוב ביותר — קנה המידה הזז מספק את הספרה הנוספת

*קריאת קליפר וורנייר: מ"מים שלמים מקנה המידה הראשי, פלוס העשיריות מקו הוורנייר שמיושר

טעויות מערכתיות ואקראיות

טעות מערכתית משנה כל קריאה באותו סך כמות, באותה כיוון. לא ניתן לגלות אותה על ידי חזרה על המדידה. גורמים נפוצים:

• טעות אפס (הקנה מידה אינו מראה אפס כאשר הערך האמיתי הוא אפס)
• טעות כיול (קנה המידה עצמו שגוי)
• פרלקס (העיניים שלך תמיד בצד אחד של קנה המידה)

*אמפרמטר עם טעות אפס: המחוג מראה מתחת לאפס לפני שהזרם זורם כלל

*טעות פרלקס: זוויות צפייה שונות נותנות קריאות קנה מידה שונות

טעות מערכתית מחמירה את הדיוק, אך אינה משנה את הדיוקיות.

טעות אקראית גורמת לקריאות לקפוץ מעל ומתחת לערך האמיתי, ללא דפוס. הגורמים כוללים כמה בזהירות לקראת את קנה המידה, תנאים משתנים, והצעד הקטן ביותר שהמכשיר יכול להציג. אם תחזור על המדידה פעמים רבות ותקח את הממוצע (האופייני), טעיות אקראיות מבטלות זו את זו חלקית.

טעות אקראית מחמירה את הדיוקיות. אך עם מספיק חזרות, הממוצע עדיין יכול להיות מדויק.

בגרף, שני סוגי השגיאות נראים שונים. שגיאה מערכתית מזיזה כל נקודה באותו גודל, כך שהקו הטוב ביותר שומר על השיפוע שלו אך אינו עובר יותר דרך הראשית: המפגש משתנה. שגיאות אקראיות מפזרות את הנקודות מעל ומתחת לקו; קו התאמה שנמשך באמצע הפיזור עדיין מספק שיפוע אמין.

דיוק ומדויקות

דיוק הוא עד כמה קריאות חוזרות קרובות זו לזו. קריאות מדויקות מצטופפות בצמוד מאוד.

מדויקות היא עד כמה קריאה (או הממוצע של מספר קריאות) קרובה לערך האמיתי.

סט של קריאות יכול להיות:

• מדויק ומדויק – קרובות זה לזה וכ亲近 לערך האמיתי
• מדויק אך לא מדויק – קרובות זה לזה, אך רחוקות מהערך האמיתי (שגיאה מערכתית)
• מדויק אך לא מדויק – מפוזרות, אך הממוצע קרוב לערך האמיתי
• אף אחד מהם – מפוזרות ורחוקות מהערך האמיתי

כשאחד נתון טבלה של קריאות חוזרות, ראה את הפיזור (דיוק) ואת הממוצע (מדויקות) בנפרד.

הערכת אי-הוודאות בקריאה

לפני שמשתלב אי-וודאויות, יש לך אי-וודאות הגיונית לכל קריאה ראשונית:

• קריאה אחת בסולם אנלוגי: חצי מה-חלוקה הקטנה ביותר (סרגל מטר נקרא ל$1\ \text{mm}$, ולכן קריאה אחת היא $\pm 0.5\ \text{mm}$). אורך דורש שתי קריאות, אחת בכל קצה, ולכן החוסר ודאות שלו הוא $\pm 1\ \text{mm}$.
• מד דיגיטלי: $\pm 1$ בדיגיט האחרון המוצג (מדעית זמן המראה $2.47\ \text{s}$ הוא $\pm 0.01\ \text{s}$).
• מדידה בזמנית ידנית: זמן התגובה שלך חשוב יותר מהתצוגה. הוסף כ-$\pm 0.1$ ל-$0.2\ \text{s}$, ומדוד מספר תנודות רבות במקום תנודה אחת, כך שהאותו חוסר ודאות יחולק על כולן.
• קריאות חוזרות: החוסר הוודאות הוא חצי הטווח. שלוש מדידות זמן של $2.42$, $2.48$ ו$2.45\ \text{s}$ נתנות ממוצע של $2.45\ \text{s}$ וטווח של $0.06\ \text{s}$, ולכן $t = (2.45 \pm 0.03)\ \text{s}$.

היה כנה. אם קצה הצל צריך להיראית היטב, החוסר הוודאות במיקומו הוא מספר מילימטרים, כל עוד הסולם עדין. בוחנים אינם מקבלים את "החלוקה הקטנה ביותר" כחוסר הוודאות לקריאה קשה.

חוסר ודאות בכמות גזורה

מדידה נכתבת לעיתים כ$x \pm \Delta x$. כאן $\Delta x$ היא האי-וודאות המוחלטת. האי-וודאות באחוזים היא

כמות גזורה היא כמות שחישבת מתוך ערכים שנמדדו. החוסר הוודאות שלה נמצא לפי כללים פשוטים:

• חיבור או חיסור — סכום החוסר הוודאות המוחלט. אם $y = a + b$ או $y = a - b$, אזי $\Delta y = \Delta a + \Delta b$.
• כפל או חלוקה — סכום החוסר הוודאות באחוזים. אם $y = \dfrac{a \cdot b}{c}$, אזי
  $$\frac{\Delta y}{|y|} = \frac{\Delta a}{|a|} + \frac{\Delta b}{|b|} + \frac{\Delta c}{|c|}.$$
• מעריכים — כפול את החוסר הוודאות באחוזים במעריך. אם $y = a^{n}$, אזי $\dfrac{\Delta y}{|y|} = |n| \cdot \dfrac{\Delta a}{|a|}$.

דוגמה מופתרת. קוטר כדור נמדד כ$d = (5.26 \pm 0.02)\ \text{cm}$. נפח כדור הוא $V = \tfrac{4}{3}\pi r^{3} = \tfrac{4}{3}\pi (d/2)^{3}$, ולכן $V \propto d^{3}$ ($V$ תלוי ב-$d$ מעוקב).

החוסר הוודאות באחוזים ב$d$ הוא

מכיוון ש$V \propto d^{3}$, החוסר הוודאות באחוזים ב$V$ הוא פי שלושה מאשר זה, בערך $1.14\%$. הנפח הוא $\tfrac{4}{3}\pi(2.63)^{3} \approx 76.2\ \text{cm}^{3}$. לכן החוסר הוודאות המוחלט הוא $0.0114 \times 76.2 \approx 0.87\ \text{cm}^{3}$. התשובה הסופית היא $V = (76.2 \pm 0.9)\ \text{cm}^{3}$.

האם שני ערכים תואמים? שאלות פרקטיות שואלות לעיתים אם שני ערכים מחושבים של קבוע תומכים בקשר מצופה. אל תסתפק בלומר "הם קרובים". חשב את ההפרש באחוזים ביניהם,

והשווה אותו לחוסר הוודאות באחוזים ב$k$ (או לקריטריון שמשתמש בשאלה, לרוב 10%). אם ההפרש קטן יותר, שני הערכים תואמים בתוך חוסר הוודאות והקשר נתמך. אם הוא גדול יותר, הם אינם תואמים.

ספרות משמעותיות

כשאתה כותב כמות שמחושבת, תן לה את אותו מספר ספרות משמעותיות כמו המדידה הפחות מדויקת ביותר שבה השתמת — לרוב שתי או שלוש בסילאבוס זה. מספר רב מדי של ספרות משמעותיות גורם לתשובה להיראות מדויקת יותר ממה שהיא באמת, ומספר נמוך מדי מאבד מידע שימושי.

במבחנים מעשיים מבוקש ממך להסביר את המספר שבחרת. ציין את הקריאות הגולמיות: "$a$ נתון ל-2 ספרות משמעותיות כי $L$ ו-$t$ נמדדו כל אחד ל-2 ספרות משמעותיות." הביטוי "בשל הנתונים הגולמיים" לבדו אינו מזכה בנקודה. בטבלת תוצאות, השתמש בכל שורה לפי הקריאה הגולמית הפחות מדויקת בשורה זו; אל תפעיל כל שורה לאותו מספר ספרות.

אי-ודאויות בגרף

במס' 5 מתבקש ממך לעבור עם אי-ודאויות דרך גרף:

• צייר כל נקודה עם בר שגיאה שאורך שלו מייצג את האי-ודאות המוחלטת בערך זה.
• צייר את קו ההתאמה הטובה ביותר דרך הנקודות, ולאחר מכן את קו הגרמי המקובל ביותר: הישר התלול (או השטוח) ביותר שעדיין עובר דרך כל בר השגיאה.
• האי-וודאות במדרגה היא ההפרש בין שתי המדרגות, $\Delta m = |m_{\text{best}} - m_{\text{worst}}|$. האי-וודאות בביטוח מוצאת באותו אופן.
• כאשר מציירים לוגריתם, אי-הוודאות המוחלטת ב$\ln x$ היא $\Delta x / x$ (וב-$\lg x$ היא $0.434\,\Delta x / x$). חשב זאת עבור הערכים הגדולים והקטנים ביותר של $x$ בנפרד.

אי-ודאות אחוזית במדרגה זורעת לאחר מכן לכל כמות שתחשב ממנה, בהתאם לכללים לעיל.

סקאלר הוא גדל עם גודל בלבד. וקטור הוא גדל עם גם גודל וגם כיוון.

דוגמאות מהסילאבוס:

• סקאלרים: מסה, זמן, טמפרטורה, אנרגיה, עבודה, הספק, מרחק, מהירות, לחץ, צפיפות, מטען חשמלי
• וקטורים: תזוזה, מהירות, תאוצה, כוח (כולל משקל), תנע

מבחן מהיר: אם הגיוני לשאול "באיזה כיוון?", הגדל הוא וקטור. לא ניתן לשאול "באיזה כיוון הטמפרטורה?", ולכן טמפרטורה היא סקאלר. ניתן לשאול "באיזה כיוון המהירות?", ולכן מהירות היא וקטור.

חיבור וחיסור של וקטורים

וקטור מוצג כחץ: הכיוון של החץ נותן את כיוון הגודל, ו-אורך החץ (בסקאלה) נותן את הגודל.

כדי לחבר שני וקטורים משתיתים (וקטורים באותו מישור שטוח), יש למקם אותם ראש-עקב. ה-ופק עובר מעקב החץ הראשון לראש החץ השני.

כדי למצוא $\vec{X} - \vec{Y}$, יש להוסיף את ההופך של $\vec{Y}$: $\vec{X} + (-\vec{Y})$. ההופך של $\vec{Y}$ בעל אותו גודל כמו $\vec{Y}$ אך מצביע בכיוון ההפוך.

אם שני הוקטורים ניצבים זה לזו (90°), הגודל של הופק הוא

וכיוונו נובע מ$\tan\theta = Y / X$.

דוגמה מפורטת. שחיין נע צפונה במהירות $1.2\ \text{m s}^{-1}$ על פני נהר הזורם מזרחה במהירות $0.5\ \text{m s}^{-1}$. מצאו את הגודל והכיוון של מהירות הופק.

שתי המהירויות מאונכות זו לזו, ולכן

בזווית $\tan\theta = 0.5/1.2$, ונותנת $\theta \approx 23°$ מזרחית לצפון.

אם לשני וקטורים אותו גודל $F$ עם זווית $2\alpha$ ביניהם, לופק יש גודל $2F\cos\alpha$ והוא נמצא לאורך הקו שמחלק את הזווית לשניים.

דוגמה מפורטת. שני כוחות של $6.0\ \text{N}$ פועלים על גוף עם זווית $60°$ ביניהם. מצאו את הופק.

כאן $2\alpha = 60°$, ולכן $\alpha = 30°$ ו$R = 2 \times 6.0 \times \cos 30° = 10.4\ \text{N}$ לאורך הקו החוצה את שני הכוחות. פירוק נותן את אותה תשובה: לכל כוח יש רכיב $6.0\cos 30°$ לאורך קו זה, ורכיביהם מאונכים לו ביטולים זה את זה.

לשני וקטורים בכל זווית אחרת, יש לבצע ציור סקאלי של משולש הוקטורים ולמדוד את הופק, או לפקק את שני הוקטורים לרכיבים מאונכים, לחבר את הרכיבים, ולשלב מחדש עם $\sqrt{X^{2} + Y^{2}}$.

דוגמה מפורטת. כדור הנע מזרחה במהירות $5.0\ \text{m s}^{-1}$ נפגע כך שהוא נע צפונה במהירות $5.0\ \text{m s}^{-1}$. מצאו את שינוי המהירות שלו.

שינוי במהירות הוא חיסור וקטורי: $\Delta\vec{v} = \vec{v}_{\text{final}} - \vec{v}_{\text{initial}}$. צייר $5.0\ \text{m s}^{-1}$ צפונה, ולאחר מכן הוסף את הפוך של המהירות ההתחלתית, $5.0\ \text{m s}^{-1}$ מערבה. שני הווקטורים מאונכים זה לזה, ולכן $|\Delta\vec{v}| = \sqrt{5.0^{2} + 5.0^{2}} = 7.1\ \text{m s}^{-1}$, המצביע צפון-מערב. הגודל (המהירות) לא השתנה, אך הווקטור של המהירות כן. זוהי הסיבה לכך שהיה על הכדור לפעול כוח (נושא 3).

פירוק וקטור לחלקים מאונכים

כל וקטור ניתן לפירוק לשני רכיבים מאונכים (זווית ישרה) זה לזה. בדרך כלל אלו האופקיים והאנכיים, או רכיבים לאורך וברוחב משטח. עבור וקטור $\vec{v}$ בזווית $\theta$ ביחס לאופק:

בחר את הכיוונים שמקלים על הפתרון. במדרון (משטח משופע), פתח את המשקל לחלק אחד לאורך המדרון ולחלק אחד המאונך אליו:

כאן $\theta$ היא הזווית של המדרון ביחס לאופק.

פותחים וקטור לרכיבים בכל פעם שרוצים לדעת כמה ממנו פועל בכיוון מסוים. לדוגמה: החלק מכוח הפועל לאורך מדרון, או הרכיבים האופקיים והאנכיים של מהירות כדור לאחר שזרקו אותו.

שאלת הגדרה מוקדמת לפי טקסט קבוע. לימודן במדויק, ותן תשובה אחת בלבד.

• תן לכל תשובה יחידת מידה, ובדוק הומוגניות — שני צדדי המשוואה חייבים להיות באותם יחידות בסיס.
• הבדל בין שגיאה אקראית (צמצום על ידי חזרה וממוצע) לבין שגיאה מערכתית (שגיאת אפס או כיול שאינה נעלמת בחזרות).
• שילוב חוסרי ודאות: הוסף חוסרי ודאות מוחלטים בהוספה/חסרה, הוסף חוסרי ודאות אחוזיים במכפלה/חלוקה (וכפול את האחוזים בכל מעריך).
• הבדל בין דיוק (פיזור קטן) לבין דיוקיות (קרובה לערך האמיתי).
• פירוק וקטור למרכיבים מאונכים ($F\cos\theta$, $F\sin\theta$); חיבור וקטורים קצה לקצה או לפי רכיבים.

טעויות נפוצות

• החלפת 5 ס"מ ב-5, או 20 גרם ב-20. יש להמיר את הקידמה קודם: 0.05 מ', 0.020 ק"ג.
• הצגת חוסר הוודאות האחוזי ב-$T^{2}$ כזה של $T$. הריבוע כופל בשניים; שורש ריבועי מחלק בשניים.
• היחס לחוסר הוודאות האחוזי ולמוחלט כאילו היו אותו מספר.
• ציון "החלוקה הקטנה ביותר" כחוסר ודאות לקריאה שקשה היה לקחת.
• מתן שתי תשובות להגדרה. התחייבות לתשובה אחת.