Systèmes de commande

Ceci est le dixième cours de Génie Électrique Universitaire : contrôle systèmes. EE06 vous a donné la fonction système. Ce cours ferme une boucle de rétroaction autour de celui-ci et répond à la question de l'ingénieur : comment puis-je contrôler) et les réduisent à une seule fonction de transfert.

• Les Unités 10.1 et 10.2 construisent des modèles de la machine (l'objet qui stabilité, lieu des racines.
• Les Unités 10.3 à 10.5 prévoient et façonnent la réponse temporelle : spécifications, compensateurs.
• Les Unités 10.6 et 10.7 travaillent dans le domaine fréquentiel : marges, Nyquist, PID et compensateurs.
• L'Unité 10.8 ouvre l'espace d'état : modèles pour plusieurs états, et une méthode de conception basée sur l'algèbre linéaire.

Une habitude traverse tout le cours. Chaque conception est vérifiée dans les deux domaines. Une marge de phase prédit un amortissement. Un placement de pôles prédit un dépassement. Chaque affirmation algébrique de stabilité est confirmée par une seconde méthode : Routh contre la racine de l' lieu, Nyquist contre Routh. Quand deux chemins mènent au même nombre, on peut faire confiance au nombre.

Pourquoi c'est important. Un véhicule avec régulateur de vitesse maintient 100 km/h sur une côte. Une imprimante 3D dépose une goutte de plastique dans une précision de 0.05 mm. Tous deux commencent de la même manière : écrire ce que fait le système physique, sous forme d'équation calculable.

L'idée. Presque tous les domaines physiques stockent, transportent et dissipent l'énergie selon le même schéma. Un réservoir chaud stocke la chaleur, en reçoit du chauffage et en perd vers la pièce. Un condensateur stocke la charge, la reçoit d'une source et la fuit chaleur dans la pièce. Un condensateur stocke une charge, la reçoit d'une source, et se décharge à travers une résistance. Écrit comme une seule variable d'état $x$, chacun d'eux dit ils indiquent

La lettre grecque $\tau\, \dfrac{dx}{dt} + x = K\,u(t)$ (tau) est la constante de temps, mesurée en secondes : elle indique le temps nécessaire pour que le stockage réponde. Le symbole $\tau$ représente le seconds: it says how long the storage takes to respond. The symbol $K$ is the d'amplitude $x$, la solution est $u$, qui input of size $U$, the solution is $x(t) = KU\,(1 - e^{-t/\tau})$, which reaches 63.2% of its final value at one time constant.

Linéarisation. Les systèmes réels ne sont pas linéaires. Un pendule obéit à $\ddot\theta = -(g/l)\sin\theta$, qui n'a pas de gain unique. La solution consiste à choisir un point de fonctionnement (l'état autour duquel on opère) et à remplacer la courbe par sa pente à cet endroit. Près de l'équilibre, $\sin\theta \approx \theta$, donc la pendule se comporte comme un ressort avec une fréquence naturelle $\omega_n = \sqrt{g/l}$. Pour un balancement de longueur $l = 0.9$ m, prendre $g = 9.81$ m/s² et obtenir $\omega_n = \sqrt{9.81/0.9} = 3.30$ rad/s, soit environ 0.53 Hz : une balançoire de parc lent. La même idée s'applique à un réservoir se vidant à $q = 2\sqrt{h}$ près de ³ m, et $h$/$\dfrac{dq}{dh} = 1/\sqrt{h}$ près de 0.5 m. Le modèle linéaire n'est fidèle que près proche de $h = 4$ m, et 1/3 proche de $h = 9$ m. Le modèle linéaire n'est fidèle que près Le moteur DC commandé par l'induit : deux lois physiques, une boucle de rétroaction interne

Exemple résolu 1 : un circuit RC. Prenons $R = 2$ kΩ et $C = 100$ µF. Le résistance traverse le courant $\dfrac{v_{in} - v}{R}$ et le condensateur l'intègre, donc

Il s'agit du modèle du premier ordre avec $\tau = RC = 2000 \times 100\times10^{-6} = 0.2$ s et $K = 1$. Étagerez l'entrée de 0 à 5 V et le condensateur atteint $5(1 - e^{-1}) = 3.16$ ou un grand 63.2 signifie un circuit plus lent, et le produit 0.2 a pour unités des $R$ ou une valeur plus grande de $C$ indique un circuit plus lent, et le produit $RC$ a pour unités des secondes, ce qui rend le modèle cohérent.

Exemple résolu 2 : le moteur CC commandé par l'armature. Ce modèle inclut une friction de $J = 0.01$ N·m·s, une constante moteur de ² (en N·m/A, numériquement équivalente frottement $B = 0.1$ N·m·s, constante du moteur $K = 0.5$ (en N·m/A, numériquement la même que V·s/rad), et résistance d'armature $R = 1$ Ω. L'inductance est faible, Nous la négligeons donc. Deux lois physiques couplent les côtés électrique et mécanique : côtés :

• Loi du couple : le courant produit un couple, $T = K\,i$, avec $T$ en N·m et $i$ en A.
• Loi de Newton pour le rotor : $J\,\dot\omega = T - B\,\omega$, où $\omega$ est la vitesse de l'arbre en rad/s.

Le couplage fonctionne dans les deux sens. L'induit en rotation génère également une force électromotrice inverse (back-EMF) tension $K\omega$, de sorte que la loi des mailles de Kirchhoff (KVL) donne $V = R\,i + K\omega$. Dans le domaine de Laplace, avec des conditions initiales nulles, les deux lois deviennent

Substituer la deuxième équation dans la première et regrouper les termes $\Omega$ :

Insérer les valeurs numériques. Le dénominateur est $0.01s + (0.1)(1) + 0.5^{2} = 0.01s + 0.35$, donc

Le modèle possède un pôle à $s = -35$ rad/s. La constante de temps est $1/35 = 28.6$ ms : rapide. Le gain continu est $50/35 = 1.43$ rad/s de vitesse finale par volt. Vérification en régime permanent : avec tout constant, les équations du moteur sont une simple algèbre, et en effet $\dfrac{K}{BR + K^{2}} = \dfrac{0.5}{0.35} = 1.43$. Toute la transitoire provient de trois constantes physiques, et la force électromotrice inverse apparaît dans le schéma comme une boucle de rétroaction que le moteur établit gratuitement. Les deux variables ici, $i$ et $\omega$, sont exactement les variables d'état que l'unité 10.8 formalise.

Erreurs fréquentes.

• Omettre le terme de force électromotrice inverse $K\omega$ de la loi des mailles de Kirchhoff. Le résultat semble plus simple et est très fausse : $\dfrac{K}{(Js+B)R} = \dfrac{50}{s+10}$ prédit 5 rad/s par volt au lieu de 1.43 et une constante de temps de 100 ms au lieu de 28.6 ms. La contre-électromotrice du moteur intègre un rétroaction qui rend le système réel rapide.
• En utilisant une linéarisation loin de son point de fonctionnement. La pente du réservoir est 0.5 à $h = 4$ m et 0.33 à $h = 9$ m ; une seule pente ne peut servir les deux.
• Incohérence d'unités : $J$ en kg·m², $B$ en N·m·s, $\omega$ en rad/s. Vérifiez que la constante du moteur a la même valeur dans les deux lois.

Résumé. Le stockage, le débit et la dissipation donnent $\tau\dot x + x = Ku$. Choisissez le point de fonctionnement, prenez la pente, et le système devient linéaire à proximité. Le modèle du moteur $50/(s+35)$ constitue notre exemple type par la suite.

Pourquoi c'est important. Un diagramme fonctionnel est la langue des ingénieurs pour décrire les systèmes : une affiche sur le régulateur de vitesse d'une voiture est un diagramme fonctionnel, pas une page d'équations. une affiche sur le régulateur de vitesse d'une voiture est un diagramme en blocs, pas une page d'équations.

L'idée. La fonction de transfert $G(s)$ est le rapport entre la sortie connectés, l'arithmétique remplace l'algèbre : connectées, l'arithmétique remplace l'algèbre :

• Parallèle (les deux blocs alimentent la même somme) : additionner, $G = G_1 G_2$.
• Rétroaction : diviser par la boucle, $G = G_1 + G_2$.
• Rétroaction : diviser par la boucle, $T = \dfrac{G}{1 + GH}$.

La formule du retour mérite sa dérivation en une ligne. L'erreur est $e = r - H\,y$ et la sortie est $y = G\,e$. Combinez-les : $y = G(r - Hy)$, déplacez le terme $GH\,y$ de l'autre côté, et $y(1 + GH) = Gr$. L'équation

est l'équation caractéristique. Ses racines sont les pôles en boucle fermée, elles contiennent donc toute l'histoire de la stabilité. Réduisez d'abord les boucles internes, et Garder le dénominateur visible à chaque étape.

Exemple résolu 1 : une boucle, se lit comme un système du second ordre. Poser $G_1 = \dfrac{1}{s+1}$ et $G_2 = \dfrac{1}{s+2}$ en série avec un gain $K = 6$, sous rétroaction unité ($H = 1$) :

Lire maintenant les paramètres du second ordre par correspondance avec $s^{2} + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^{2}$. Ici $\omega_n = \sqrt{8} = 2.83$ rad/s et le taux d'amortissement $\zeta = \dfrac{3}{2 \times 2.83} = 0.530$. Cela se situe dans la zone de conception standard $0.4 \le \zeta \le 0.7$, et l'unité 10.3 transforme cela en un dépassement d'environ 14 %.

Exemple résolu 2 : boucles imbriquées. Une boucle intérieure $\dfrac{2}{s}$ avec gain de rétroaction 0.5 est placée en série avec $\dfrac{1}{s+1}$, le tout inclus dans une boucle extérieure à rétroaction unité. Étape 1, réduire la boucle intérieure :

Étape 2, multiplier les blocs en série :

Étape 3, fermer la boucle unité extérieure :

Lecture : $\omega_n = \sqrt{3} = 1.73$ rad/s et $\zeta = \dfrac{2}{2\times 1.73} = 0.577$. Un diagramme compliqué s'est réduit à deux nombres. Pour des diagrammes véritablement complexes, la règle du gain de Mason effectue tout cela en une seule formule : additionner les gains des chemins directs, soustraire les produits des boucles qui ne se touchent pas. S'y référer lorsque l'algèbre des blocs s'enchevêtre vraiment, et non avant ; sur les diagrammes simples, les trois règles ci-dessus sont plus rapides. les schémas ; la règle du gain de Mason effectue tout cela en une seule formule : sommez les gains des chemins directs, soustrayez les produits des boucles qui ne se touchent pas. N'y recourez que lorsque l'algèbre à blocs devient véritablement complexe, et non avant ; sur les schémas simples, les trois règles ci-dessus sont plus rapides. les trois règles ci-dessus sont plus rapides.

Erreurs fréquentes.

• Closing a loop as $\dfrac{G}{1+G}$ when $H \ne 1$. The return path carries $GH$, pas $G$.
• Perte d'un signe moins à l'été de rétroaction. L'erreur est $r - Hy$. Si vous ajoutez au lieu de cela, l'équation caractéristique devient $1 - GH = 0$ et toute affirmation de stabilité s'inverse.
• Réduction de la boucle externe en premier. Cela fonctionne encore, mais les calculs explosent; la boucle interne en premier est la discipline.

Résumé. Série multiplie, parallèle additionne, rétroaction divise par $1 + GH$, et le dénominateur du résultat est l'équation caractéristique. Boucles internes en premier.

Pourquoi c'est important. Lorsqu'un fabricant de drones promet « se stabilise en moins d'une seconde, dépassement inférieur à 10 % », ce sont des nombres temporels. Cette unité est le dictionnaire qui transforme les positions des pôles en ces nombres.

L'idée. Le prototype du second ordre porte le vocabulaire :

Ses pôles sont situés à $s = -\zeta\omega_n \pm j\,\omega_n\sqrt{1-\zeta^{2}}$. Lisez l'image : la distance à l'origine est $\omega_n$ (vitesse), la partie imaginaire oscille, et la partie réelle $-\zeta\omega_n$ décroît. Le coefficient d'amortissement est le cosinus de l'angle du pôle, donc un rayon partant de l'origine à angle $\arccos\zeta$ est une ligne d'amortissement constant : une image, un nombre.

La réponse indicielle est la sortie lorsque l'entrée passe de 0 à 1. Avec une entrée en échelon unité, les résultats standards sont

Ici $M_p$ représente le dépassement (crête au-dessus de la valeur finale, sous forme de fraction), $t_p$ le temps de pic, et $t_s$ le temps d'établissement . La formule du dépassement n'est pas magique : la réponse indicielle est

et le premier pic se situe là où la dérivée est nulle, ce qui donne $\omega_d t_p = \pi$ ; en reportant cela dans l'enveloppe, on obtient $M_p$.

L'erreur stationnaire nécessite une idée supplémentaire. Comptez les intégrateurs dans la boucle ouverte : ce comptage correspond au type du système. Un système de type-1 (avec un intégrateur) présente une erreur stationnaire nulle face à un échelon, et sa constante d'erreur de vitesse $K_v = \lim_{s\to0}\, sG(s)$ fournit l'erreur de rampe $\dfrac{1}{K_v}$. Lisez les constantes depuis la boucle avant de calculer toute transitoire.

Exemple résolu 1 : une paire de nombres, quatre spécifications. Prenez $\omega_n = 4$ rad/s et $\zeta = 0.5$. Alors $\omega_d = 3.46$ rad/s et les pôles sont $-2 \pm j3.46$. Vérification de cohérence : la distance par rapport à l'origine est $\sqrt{2^{2} + 3.46^{2}} = 4 = \omega_n$, comme il se doit. Les spécifications :

Le temps de montée de 10 à 90% se calcule numériquement à partir de la réponse indicielle à 0.41 s. Vérification transversale des domaines : $\zeta = 0.5$ devrait correspondre à une marge de phase proche de 50 degrés, et la règle de fonctionnement des unités 10.6 $\zeta \approx PM/100$ ferme cette boucle.

Exemple résolu 2 : choisir le gain pour respecter une spécification d'amortissement. La fonction de transfert est $G = \dfrac{K}{s(s+2)}$ en boucle unitaire. La boucle fermée est $\dfrac{K}{s^{2} + 2s + K}$, ce qui correspond au prototype et donne $2\zeta\omega_n = 2$ et $\omega_n = \sqrt{K}$, donc $\zeta = 1/\sqrt{K}$. On demande $\zeta = 0.45$:

$M_p = e^{-\pi(0.45)/0.893} = 0.205$ s ; temps de stabilisation 20.5 s. Maintenant, les constantes d'erreur, lues en time $t_p = \dfrac{\pi}{2.22 \times 0.893} = 1.58$ s; settling $t_s \approx \dfrac{4}{0.45\times2.22} = 4.0$ s. Now the error constants, read off the de $K_v = \dfrac{4.94}{2} = 2.47$, tandis que l'erreur de palier est exactement nulle car la plante est de type $\dfrac{1}{K_v} = 0.405$. Vérification machine : le palier simulé en boucle fermée se stabilise the plant is type 1. Machine check: the simulated closed-loop step settles à 1.000 et son premier pic est 1.205.

Erreurs fréquentes.

• Mélange de $\omega_n$ avec $\omega_d$. Le temps de pic utilise la fréquence amortie; distance-de-l'origine utilise $\omega_n$.
• Citer $t_s$ sans sa bande. Les estimations à 2% et 5% diffèrent par un facteur de $\tfrac{4}{3}$.
• Appliquer des formules du second ordre à un système comportant des zéros ou des pôles supplémentaires sans vérifier qu'une paire de pôles domine réellement.

Résumé. Pôles en entrée, spécifications en sortie : $M_p$, $t_p$, $t_s$, et l'erreur constantes. Un rayon d'amortissement sur le plan polaire est une ligne de dépassement constant.

problème autres considérations de conception. Une boucle qui s'autosature par oscillation n'est pas nécessairement problématique. accordé ; il est instable.

L'idée. La boucle fermée est stable exactement lorsque toutes les racines du polynôme caractéristique ont une partie réelle négative. Le tableau de Routh compte ces racines sans résoudre l'équation. Écrivez les coefficients en deux lignes, puis remplissez vers le bas. Chaque nouvelle entrée est un produit croisé divisé par les deux lignes situées au-dessus, et le nombre de changements de signe dans la première colonne est égal au nombre de racines du demi-plan droit (RHP). Une première colonne sans changement de signe signifie qu'il n'y a pas de racines RHP : système stable.

Exemple résolu 1 : compter les racines RHP. Tester $s^{4} + 2s^{3} + 3s^{2} + 4s + 5$.

La première colonne se lit $1,\, 2,\, 1,\, -6,\, 5$ : deux changements de signe (de $+1$ à $-6$, puis de $-6$ à $+5$), donc deux racines RHP. Vérification par les racines exactes, qui sont $-1.29 \pm j0.86$ et $+0.29 \pm j1.42$ : on trouve bien deux racines dans le demi-plan droit, et le tableau l'indiquait sans résoudre le polynôme de degré quatre.

Exemple résolu 2 : trouver la plage de gain. Pour quelles valeurs de $K$ le système $s^{3} + 5s^{2} + 6s + K$ est-il stable ? Construire le tableau :

La stabilité nécessite que $\dfrac{30-K}{5} > 0$ et $K > 0$ soient positifs, donc $0 < K < 30$. À la valeur exacte de $K = 30$, la ligne $s^{1}$ s'annule. Ce n'est pas une erreur : une ligne entièrement nulle indique des racines symétriques, trouvées à partir de l'équation auxiliaire construite à partir de la ligne précédente, $5s^{2} + 30 = 0$, soit $s = \pm j2.45$. Le système se trouve à la limite : stabilité marginale, soit une oscillation soutenue. à 2.45 rad/s qui ne croît ni ne décroît. Les deux unités suivantes atteignent cette même frontière par deux autres chemins.

Schéma de conception. Pour la famille $s^{3} + as^{2} + 8s + K$, le même produit en croix donne l'entrée $s^{1}$ $\dfrac{8a - K}{a}$, donc la stabilité est exactement $0 < K < 8a$ : une frontière droite dans le plan $(a, K)$. L'exemple en cours de ce module, $s(s+2)(s+4)$, possède $a = 6$ et limite $K = 48$ : chaque unité ultérieure atterrit sur ce même point.

Erreurs fréquentes.

• Alimenter le tableau avec un polynôme incomplet. Les coefficients doivent couvrir chaque puissance de $s^n$ vers le bas ; une puissance manquante reçoit le coefficient 0.
• Diviser une ligne par un nombre négatif pour simplifier. Un redimensionnement par un nombre positif est libre ; un redimensionnement négatif inverse les signes mêmes que vous comptez.
• Traiter un seul zéro dans la première colonne comme une défaillance. Remplacez-le par un petit $\varepsilon$ positif et continuez ; une ligne entièrement nulle nécessite l' équation auxiliaire.
• Appeler le cas $K = 30$ « stable ». Des pôles sur l'axe signifient marginal, pas stable : l'oscillation ne meurt jamais.

Résumé. Construisez le tableau, comptez les changements de signe de la première colonne, et le nombre de racines dans le demi-plan droit apparaît sans recherche de racines. Les plages de paramètres se lisent directement sur une ligne.

Pourquoi c’est important. Le gain est le bouton que chaque amplificateur, chaque contrôleur et chaque session de réglage fait tourner. La courbe des racines vous indique où se déplacent les pôles en boucle fermée lorsque vous le tournez, avant même de construire quoi que ce soit.

L’idée. La courbe des racines est l’ensemble des points $s$ où la condition d’angle est satisfaite pour la boucle $L(s) = K\,\dfrac{\prod(s-z_i)}{\prod (s-p_i)}$ :

Chaque branche part d’un pôle en boucle ouverte (en $K = 0$) et se termine sur un zéro ou à l’infini. Les règles de tracé standard découlent toutes de cette unique condition :

• Segments de l’axe réel : un segment porte la courbe lorsque le nombre de pôles plus zéros situés à sa droite est impair.
• Angles des asymptotes $\dfrac{180°(2k+1)}{n-m}$, centrés sur le centreïde des pôles moins celui des zéros.
• Le point de rupture, où les branches quittent l’axe réel, résout $\dfrac{d}{ds}\Bigl[\dfrac{\prod(s-p_i)}{\prod(s-z_i)}\Bigr] = 0$, et seuls les racines appartenant à la courbe comptent.
• Le croisement avec l’axe $j\omega$ : insérer $s = j\omega$ dans $1 + KL_0 = 0$ et résoudre les parties réelle et imaginaire.

Exemple résolu 1 : esquisser la plante en cours de fonctionnement. Prendre $L = \dfrac{K}{s(s+2)(s+4)}$. Trois pôles en $0, -2, -4$ et aucun zéro, donc $n - m = 3$ et les asymptotes partent du centreïde $\dfrac{(0) + (-2) + (-4)}{3} = -2$ en $\pm 60°$ et $180°$. La courbe de l’axe réel est le segment $[-2, 0]$ et la demi-droite $(-\infty, -4]$. Le point de rupture résout

donnant $s = -0.845$ (sur la courbe : le conserver) et $s = -3.155$ (entre $-4$ et $-2$, hors de la courbe : l'éliminer). Au point de rupture, le gain est $K = |s(s+2)(s+4)| = 0.845 \times 1.155 \times 3.155 = 3.08$. La $j\omega$ croisement : avec $s = j\omega$, la partie réelle donne $K = 6\omega^{2}$ et la partie imaginaire donne $\omega^{2} = 8$, donc $\omega = 2.83$ rad/s et $K = 48$. Le même 48 que celui tracé par la frontière de Routh.

Les pôles partent, se rencontrent à −0.845, s'incurvent vers les asymptotes et franchissent la limite de stabilité à K = 48.

Exemple résolu 2 : conception selon une spécification d'amortissement sur la courbe. Exiger $\zeta = 0.5$. Les pôles doivent être situés sur le rayon formant un angle $\arccos 0.5 = 60°$ par rapport à l' axe réel négatif, c'est-à-dire sur $s = -\sigma + j\,\sqrt{3}\,\sigma$ pour une valeur donnée de $\sigma > 0$. Cherchez le long du rayon le point qui satisfait l'angle condition. À $\sigma = 0.667$, les trois angles des pôles sont exactement $120° + 40.9° + 19.1° = 180°$, donc le point de conception est

Le gain provient de la condition de module :

Vérifier la géométrie : $|s^{*}| = \sqrt{0.667^{2} + 1.155^{2}} = 1.334$ et $\dfrac{0.667}{1.334} = 0.500$, correspondant exactement à l'amortissement demandé. Vérifier la marge de stabilité : $K = 8.30$ est bien en dessous de la limite 48, ce qui signifie que l'amortissement, et non la stabilité, est ce que le rayon $\zeta$ permet d'obtenir. Le troisième pôle à ce gain se situe à $-4.67$, bien à gauche de la paire de pôles, ce qui explique pourquoi cette paire domine et que les prédictions du second ordre restent valides.

Erreurs fréquentes.

• Conserver une racine de rupture hors de la courbe. Le quadratique fournit deux solutions ; seules les points situés sur la courbe de l'axe réel sont physiquement réalisables.
• Interpréter l'amortissement comme distance à l'origine. $\zeta$ correspond au cosinus de l' angle polaire : les cercles sont des constantes $\omega_n$, les rayons sont des constantes $\zeta$.
• En supposant que le croisement asymptotique correspond au croisement $j\omega$. Calculez la croisée à partir de $1 + KL_0 = 0$ ; l'asymptote n'est qu'un outil de croquis.

Résumé. Condition d'angle dans, esquissez : segments, centreïde, asymptotes, rupture, croisement. La conception consiste à parcourir la courbe de réponse jusqu'à un rayon d'amortissement et à lire le gain.

Pourquoi c'est important. Dans l'industrie, vous ne connaissez rarement les positions exactes des pôles ; vous mesurez une réponse en fréquence. Les marges constituent la tolérance ingénierie exprimée dans ce langage : à quelle distance ce boucle se trouve-t-elle de l'instabilité, en décibels et en degrés ?

L'idée. Un diagramme de Bode représente le gain de boucle $L(j\omega)$ comme amplitude (en dB, contre fréquence logarithmique) et phase (en degrés). Chaque pôle contribue à une pente de $-20$ dB/décade et jusqu'à $-90°$ de phase ; chaque zéro contribue à l' inverse. Deux nombres lus sur le graphique contiennent les informations de stabilité :

• Marge de phase PM : à la fréquence de croisement de gain (où $|L| = 1$), de combien de degrés la phase se situe au-dessus de $-180°$.
• Marge de gain GM : au croisement de phase (où $\angle L = -180°$), le facteur par lequel $|L|$ est inférieur à 1.

La règle opérationnelle qui relie les domaines est $\zeta \approx PM/100$ : une 50° de marge se comporte comme $\zeta \approx 0.5$, avec un dépassement proche de 16%. Le critère de Nyquist rend le comptage de la stabilité exact. Tracez $L(j\omega)$ pour $\omega$ de $-\infty$ à $+\infty$, comptez les enroulements $N$ autour du point $-1$, et la boucle fermée possède $Z = N + P$ pôles dans le demi-plan droit, où $P$ compte les pôles RHP en boucle ouverte. (Un pôle situé à l' origine, comme dans notre exemple d'usine en fonctionnement, est dévié vers la droite sur le contour de Nyquist ; son arc infini reste loin de $-1$ et ne change rien ici.)

Exemple résolu 1 : marges par calcul. Prenez $L = \dfrac{100}{s(s+10)}$. Le croisement de gain résout $|L| = 1$, c'est-à-dire $\omega\sqrt{\omega^{2}+100} = 100$. En élevant au carré, on obtient $\omega^{4} + 100\omega^{2} - 10^{4} = 0$, donc

La phase à cet endroit est $-90° - \arctan(7.86/10) = -90° - 38.2° = -128.2°$, donc la marge de phase est $PM = 180° - 128.2° = 51.8°$. La marge de gain est infinie : la phase s'approche uniquement de $-180°$ asymptotiquement. Vérification croisée dans le domaine temporel : la boucle fermée est $\dfrac{100}{s^{2} + 10s + 100}$, exactement le prototype avec $\omega_n = 10$ et $\zeta = 0.5$, soit un dépassement de 16.3%. La règle $\zeta \approx PM/100$ a prédit 0.52 contre une valeur exacte de 0.5 : une estimation valide, mais pas un théorème.

Exemple résolu 2 : l'usine en fonctionnement, trois méthodes. Prenez $L = \dfrac{20}{s(s+2)(s+4)}$, la conception $\zeta = 0.5$ avec un gain plus élevé plus que doublé. La phase atteint $-180°$ lorsque la partie imaginaire de $s(s+2)(s+4)$ s'annule, à $\omega = \sqrt{8} = 2.83$ rad/s, et il y a

Le croisement de gain résout $\omega\sqrt{\omega^{2}+4}\sqrt{\omega^{2}+16} = 20$, donnant $\omega_{c} = 1.73$ rad/s. La phase à cet endroit est $-154.3°$, donc $PM = 25.7°$. La règle prédit $\zeta \approx 0.26$ et une réponse oscillante ; la simulation exacte en boucle fermée donne un dépassement de 48%, le comportement que la marge promise. Maintenant, vérifions Nyquist. Le module à la fréquence $-180°$ est $K/48$, donc à $K = 20$ la courbe passe 0.42 vers la droite de $-1$ : aucune enroulement, stable. À $K = 48$, elle passe exactement par $-1$ : marginale. À $K = 96$, elle fait deux tours horaires autour de $-1$, donc $Z = N + P = 2 + 0 = 2$ pôles RHP en boucle fermée. Routh sur $s^{3} + 6s^{2} + 8s + K$ indique une instabilité pour $K > 48$, avec deux racines RHP à $K = 96$. Trois méthodes, une seule réponse.

Erreurs fréquentes.

• Lire les marges sur la réponse en boucle fermée. Les marges résident dans la boucle gain $L$, avant que la boucle ne se ferme.
• Confondre les deux croisements. La marge de phase (PM) correspond au croisement de gain ; la marge de gain (GM) au croisement de phase. croisement de phase.
• Compter les enroulements autour de l'origine. Le critère compte les traversées du point $-1$ ; avec cette convention de signe, le sens horaire est positif. direction.
• Oublier $P$. Si le procédé lui-même possède des pôles RHP, $Z = N + P$ nécessite ce nombre ; $N$ seul n'est pas la réponse.

Résumé. Bode fournit le PM et le GM en secondes ; $\zeta \approx PM/100$ les transporte dans le domaine temporel ; Nyquist compte exactement les pôles du demi-plan droit, et les trois doivent concord avec Routh. dans le domaine temporel ; Nyquist compte exactement les pôles RHP, et les trois Pourquoi c'est important. La plupart des boucles industrielles fonctionnent en PID. C'est le premier régulateur que vous allez ajuster, et celui que vous ajusterez le plus souvent.

Le terme proportionnel réagit immédiatement. Le terme intégral retient : il élimine l'erreur permanente en augmentant le type du système. Le contrôleur que vous allez régler, et celui que vous réglerez le plus souvent.

L'idée. Un contrôleur PID agit sur l'erreur $e = r - y$ trois manières à la fois :

permanente. L'I ajoute un retard de phase. Le D amplifie le bruit de mesure, et il doit agir sur la sortie mesurée plutôt que sur la consigne, sinon chaque changement de consigne propulse l'actionneur. dérivée le terme anticipe, en ajoutant un amortissement proportionnel à la vitesse de variation de l'erreur. Dans la forme (idéale) série, $u = K_{p}\bigl(e + \frac{1}{T_i}\int e\,dt + T_d\dot e\bigr)$, les constantes de réglage sont les temps intégral $T_i$ et le temps dérivé $T_d$, tous deux en secondes.

Le premier ajustement classique est le réglage Ziegler-Nichols au gain ultime : augmentez le gain proportionnel jusqu'à ce que la boucle oscille légèrement, enregistrez le gain ultime $K_u$ et la période d'oscillation $T_u$, puis consultez la ligne correspondante du tableau. Le liste des prix est aussi importante que les gains. Le seul P ne supprime jamais l'erreur stationnaire. I ajoute un déphasage. D amplifie le bruit de mesure, et il doit agir sur la sortie mesurée plutôt que sur la consigne, sinon chaque changement de consigne propulse l'actionneur.

Exemple résolu 1 : Ziegler-Nichols sur la plante en cours. La boucle $\dfrac{K}{s(s+2)(s+4)}$ oscille à $K_u = 48$ avec $\omega_u = \sqrt{8} = 2.83$ rad/s (limite de Routh et Nyquist), donc la période est $T_u = \dfrac{2\pi}{2.83} = 2.22$ s. La ligne PID du tableau donne

Que obtient-on réellement ? Avec P seul à $K_p = 28.8$, la boucle $s^{3}+6s^{2}+8s+28.8$ a pour pôles $-5.50$ et $-0.25 \pm j2.27$ : 65% dépassement, stabilisation vers 15 s, et une erreur de rampe permanente $\dfrac{1}{K_v} = \dfrac{8}{K_p} = 0.278$. Le PID Ziegler-Nichols élimine cette erreur complètement, car l'intégrateur augmente le type, et son premier dépassement est de 60%, se décaissant d'environ un sixième à chaque cycle : la méthode vise une décaissement quart, pas le confort. La leçon honnête : le tableau vous place dans le voisinage en un seul essai, mais il ne termine pas le travail.

Exemple résolu 2 : terminer par la dérivée, et dimensionner un avanceur. Conserver $K_p = 28.8$ et ajouter la dérivée. Le polynôme caractéristique de la boucle PD est $s^{3} + 6s^{2} + (8 + K_{p}T_d)s + K_{p}$ : le terme D ajoute littéralement au coefficient d'amortissement. Augmenter $T_d$ depuis la valeur Ziegler-Nichols jusqu'à ce que les oscillations cessent. À $T_d = 0.5$ s, le polynôme est $s^{3}+6s^{2}+22.4s+28.8$ avec des pôles $-2$ et $-2 \pm j3.22$. L'endroit où agit la dérivée compte : sur la mesure (la bonne pratique, comme ci-dessous) l'étape de référence rencontre aucune zéro, et l'étape simulée ne présente aucun dépassement, se stabilisant en 2.1 s. Sur l'erreur, le zéro PD à $-2$ annule le pôle réel et la paire subsistante, $\zeta = 2/3.79 = 0.53$, oscille encore à environ 14% : amortissement dans les deux sens, mais seule la forme de mesure est exemptée d'effet de kick. L'erreur de rampe reste $0.278$ : la dérivée achète l'amortissement, pas la précision. Pour allier précision et rapidité, vous combinez les termes et retunez, ce qui correspond exactement à l'exercice de la feuille 10.7.

Lorsque le procédé ne possède pas de gain ultime propre, la compensation en avance de phase dans le domaine fréquentiel remplit la même fonction. Un compensateur en avance $\dfrac{1+\tau s}{1+\alpha\tau s}$ avec $0 < \alpha < 1$ place un zéro sous un pôle et achète de la phase à une fréquence donnée. Le maximum de rehaussement est

Pour un rehaussement de +45°, $\alpha = \dfrac{1-\sin 45°}{1+\sin 45°} = 0.172$. Le même réseau rehausse également le gain haute fréquence de $\dfrac{1}{\alpha} = 5.8$, ce que la conception doit ensuite absorber, généralement en abaissant le gain principal. Un réseau en retard est la même paire avec $\alpha > 1$ : il achète du gain basse fréquence pour la réduction de l'erreur, au prix d'un déphasage.

L'anti-enroulement fait partie intégrante de toute mise en œuvre réelle. Lorsque le actionneur entre en saturation, l'intégrateur continue d'accumuler l'erreur qu'il ne peut pas dépenser, et lors de la récupération, il libère l'action stockée sous la forme d'une seule grande dépassement. Les deux remèdes standards : bloquer l'intégrateur tant que la sortie est saturée, ou calculer à rebours, en réinjectant un gain multiplié par l'excès de saturation pour réduire l'intégrale. Sans l'un de ces dispositifs, la première saturation réelle consomme toutes les marges que vous avez conçues.

Erreurs fréquentes.

• Appliquer la méthode du gain ultime à un procédé qui n'oscille jamais. Un Un système du premier ordre ou fortement amorti ne présente pas de $K_u$ ; utilisez la réponse indicielle variante du tableau à la place.
• Prendre la dérivée de l'erreur au lieu de la mesure. Un échelon de consigne a une pente infinie, et le terme D actionne l'actionneur.
• Confondre les formes de réglage. Les constantes en série $K_p, T_i, T_d$ ne sont pas les gains parallèles : $K_i = K_p/T_i$ et $K_d = K_p T_d$.
• Concevoir un réseau avance et oublier son $\dfrac{1}{\alpha}$ renforcement du gain haute fréquence, qui érode la marge que vous avez obtenue.

Résumé. P réagit, I mémorise, D anticipe ; chacun achète un comportement et coûte un prix connu. Utilisez le tableau pour la première approximation, les marges pour la affinement, et l'anti-saturation pour la réalité. Le laboratoire interactif sur la page du cours vous permet d'ajuster exactement ces deux boutons, le gain et l'amortissement, et de voir le dépassement, le temps de stabilisation et la stabilité évoluer.

Pourquoi c'est important. Les fonctions de transfert décrivent une entrée et une sortie. Les contrôleurs modernes, comme un robot équilibriste ou un drone exécutant quatre boucles à la fois, évoluent dans l'espace d'états, où plusieurs variables internes sont modélisées et retournées ensemble.

L'idée. Espace d'états écrit le système sous forme d'équations $n$ du premier ordre au lieu d'un seul polynôme d'ordre $n$ :

où $x$ est le vecteur d'état, $u$ l'entrée, $y$ la sortie mesurée, et $A$, $B$, $C$, $D$ sont des matrices de constantes. Intuition : les états sont des $n$ tiroirs de mémoire. La matrice $A$ indique comment chaque tiroir influence les autres, $B$ précise où l'entrée s'insère, et $C$ définit ce que vous mesurez. Les valeurs propres de $A$ correspondent aux pôles du système, car $\det(sI - A) = 0$ c'est exactement l'équation caractéristique. Avec une entrée nulle, la solution est $x(t) = \Phi(t)\,x(0)$, où la matrice de transition $\Phi(t) = e^{At}$ est l'exponentielle matricielle, calculée comme la série infinie $I + At + \dfrac{(At)^{2}}{2!} + \cdots$, qui converge pour toute matrice carrée.

Exemple résolu 1 : lire un modèle, vérifier sa décroissance. Prenez $G(s) = \dfrac{8}{(s+2)(s+4)} = \dfrac{8}{s^{2}+6s+8}$. En forme compagnon,

Le gain en régime continu vérifie la construction : $-CA^{-1}B = \tfrac{8}{8} = 1$, correspondant au gain du procédé à $s = 0$. Les valeurs propres de $A$ sont $-2$ et $-4$, soit exactement les pôles. Maintenant, la matrice de transition à $t = 0.5$ s, évaluée par la série :

Ses valeurs propres sont $e^{-1} = 0.368$ et $e^{-2} = 0.135$ : chaque pôle devient son propre facteur de décroissance par demi-seconde. C'est cette identité profonde : la matrice exponentielle est le pôle, rendu concret. Partant de $x(0) = [1,\;0]^{T}$, le l'état après 0.5 s correspond à la première colonne, $[0.600,\; -0.930]^{T}$. Dans le plan de phase, chaque trajectoire s'aligne sur le vecteur propre lent $[1, -2]^{T}$, ce qui explique que la pôle $\lambda = -2$ domine la queue de la réponse.

Exemple corrigé 2 : placement de pôles par algèbre linéaire. Avec retour d'état complet rétroaction $u = -K_{fb}\,x$ (ici $K_{fb}$ est un vecteur ligne de gains, pas le polynôme caractéristique. Imposez les deux pôles à $A - BK_{fb}$, c'est-à-dire polynôme caractéristique directement. Exigez les deux pôles à $-10$, c'est-à-dire $s^{2} + 20s + 100$. Avec $B = [0,\;1]^{T}$ et $K_{fb} = [k_1,\; k_2]$,

dont le polynôme caractéristique est $s^{2} + (6+k_2)s + (8+k_1)$. Faites coïncider coefficients : $k_1 = 92$ et $k_2 = 14$. La vérification tient en une ligne : le propres de $A - BK_{fb}$ valent exactement $-10$ et $-10$. Ce que n'atteint, pourvu que l'entrée puisse effectivement piloter toutes les directions d'état. Cette propriété est la contrôlabilité, vérifiée par le rang de la matrice atteint, à condition que l'entrée puisse effectivement piloter chaque direction d'état. Cela Lorsque les états ne sont pas mesurés, un observateur les estime ; c'est la $[\,B\;\;AB\;\;\cdots\,]$, qui est ici 2, donc les deux pôles sont placables. Lorsque les états ne sont pas mesurés, un observateur les estime ; c'est la porte vers le cours suivant.

Erreurs fréquentes.

• Oublier $C$. Les états ne sont pas la sortie ; la fonction de transfert est $C(sI-A)^{-1}B + D$, et négliger $C$ modifie silencieusement le gain continu.
• Taking $e^{At}$ element by element. The matrix exponential is defined by la série, et ses entrées hors diagonale ne sont pas des exponentielles des entrées.
• En supposant que le placement de pôles fonctionne toujours. Si $[\,B\;\;AB\;\;\cdots\,]$ perd rang, certaines directions sont inaccessibles et aucune $K_{fb}$ n'existe ; vérifiez d'abord la commandabilité.
• Le mélange des conventions. Ce cours utilise des états colonnes et une ligne $K_{fb}$ ; un manuel avec des états lignes inverse tous les produits.

Résumé. $A$ contient la dynamique, ses valeurs propres sont les pôles, $e^{At}$ est la réponse libre, et $u = -K_{fb}x$ transforme la conception en algèbre linéaire, garantie par la commandabilité.