Analyse de circuits II (CA)

Il s'agit du quatrième cours en génie électrique universitaire : analyse des circuits CA — circuits pilotés par des sinusoïdes, ce qui constitue le mode de production et de transport de presque toute analyse** — circuits pilotés par des signaux sinusoïdaux, ce qui constitue la méthode employée par presque tous les L'énergie électrique est produite et transportée. L'onde 1 résout le CC ; les outils de l'EE02 (nombres complexes, équations différentielles, Laplace) se payent maintenant d'eux-mêmes.

• L'unité 4.1 rend la sinusoidale arithmétique : le phasor et l'impédance.
• Les unités 4.2–4.4 l'appliquent : puissance CA, triphasé, réponse du second ordre et résonance.
• Les unités 4.5–4.7 élargissent la vision : filtres et diagrammes de Bode, circuits en domaine s analyse, et réseaux à deux ports.

Chaque unité commence par une histoire, présente une image avant l'idée formelle, définit termes précis, deux exemples croissants dont les numéros sont vérifiée par ordinateur, nomme les erreurs classiques, et se termine par un résumé de trois lignes. L'habitude de vérification de ce cours : chaque réponse booléenne est validée par résumé. L'habitude de vérification : chaque réponse en phasor se vérifie en une seconde représentation — polaire contre rectangulaire, ou le domaine temporel contre la arithmétique complexe. L'arithmétique complexe n'est que comptabilité ; les vérifications maintiennent sa honnêteté.

La tension du secteur traverse zéro cent fois par seconde, pourtant une résistance dissipée là dissipe une puissance stable — car l'amplitude et la phase s'établissent dans un motif répétitif. Un sinusoïde $v(t) = V_{m}\cos(\omega t + \varphi)$ devient un phasor $V = V_{m}\angle\varphi$ — l'amplitude et la phase, avec la fréquence comprise. La dérivation multiplie par $j\omega$ ; donc à une seule fréquence chaque élément obtient une impédance :

Toutes les méthodes CC — diviseurs, nœud/maille, Thévenin — se reportent inchangées avec des nombres complexes. L'impédance de l'inducteur augmente avec la fréquence (+90°) ; celle du condensateur diminue (−90°) ; celle du résiste est constante (0°).

Exemple résolu 1 (les deux représentations concordent). $R = 30\ \Omega$ en série avec $L$ tel que $\omega L = 40\ \Omega$, alimenté par $V = 100\angle 0^{\circ}$ V à cette fréquence. $Z = 30 + j40 = 50\angle 53.13^{\circ}\ \Omega$; $I = V/Z = (100/50)\angle(0 - 53.13^{\circ}) = 2\angle -53.13^{\circ}$ A. Vérification en rectangulaire : $I = 100(30 - j40)/2500 = 1.2 - j1.6$ A ; $|I| = \sqrt{1.44 + 2.56} = 2$ ✓ and $\text{atan2}(-1.6, 1.2) = -53.13^{\circ}$ ✓. La signification temporelle : $i(t) = 2\cos(\omega t - 53.13^{\circ})$ A — le courant est en retard car l'inducteur s'oppose au changement.

Exemple résolu 2 (combinaison parallèle, améliorée). Le même $R = 30\ \Omega$ maintenant en parallèle avec l'inducteur $\omega L = 40\ \Omega$ : $Z = \frac{30 \times j40}{30 + j40} = \frac{30 \times j40 \times (30 - j40)}{2500} = \frac{48\,000 + j36\,000}{2500} = 19.2 + j14.4 = 24\angle 36.87^{\circ}\ \Omega$ (vérifié : $|Z| = \sqrt{19.2^{2} + 14.4^{2}} = 24$ ✓, et $\cos 36.87^\circ = 0.8$ ✓). Remarquez que l'impédance en parallèle est plus petite que la grandeur de chaque branche (24 < 30 < 40) et son angle (36.87°) se situe en dessous de l'angle de l'inducteur 90°, tiré vers la résistance — chaque paire en parallèle échange magnitude et angle dans cette direction.

Erreurs courantes. Additionner les magnitudes d'impédances en parallèle (seule l'addition complexe est autorisée). Mélanger les réglages de mode degré du calculateur dans des formules radians. Oublier que le vecteur complexe porte une amplitude (ou efficace — choisissez une convention par problème) cohérente pour U et I.

Résumé : une fréquence → vecteurs complexes ; $Z_R$ horizontal, $Z_L$ à 90°, $Z_C$ à 90°; toute méthode CC s'applique ; vérifiez chaque réponse dans l'autre représentation.

Un chauffage de 1 kW et un condensateur de 1 kVA prélevent tous deux « 1 k-quelque chose » sur le réseau, mais seul le partage du chauffage est facturé comme énergie. Avec le vecteur complexe $V$ et le courant $I$, puissance complexe $S = V\cdot I^{*}$ :

où $\theta$ est l'angle entre V et I. Le facteur de puissance $\cos\theta$ représente la fraction de la puissance apparente $|S| = VI$ qui effectue un travail utile.

Exemple résolu 1 (charge RL, vérifié de deux manières). La charge ci-dessus : $P = 100 \times 2 \times \cos 53.13^{\circ} = 120$ W, $Q = 100 \times 2 \times \sin 53.13^{\circ} = 160$ var, $|S| = 200$ VA, pf = 0.6 décalé. Vérification : $P = |I|^{2}R = 4 \times 30 = 120$ ✓ et $Q = |I|^{2}X = 4 \times 40 = 160$ ✓ — le contrôle par formule des pertes. Correction du facteur de puissance : on ajoute en parallèle une capacité pour fournir localement la puissance réactive : pour corriger 160 var à 100 V (50 Hz) nécessite $C = Q/(\omega V^{2}) = 160/(2\pi \cdot 50 \cdot 10^{4}) = 50.9\ \mu F$.

Exemple résolu 2 (moteur triphasé, version avancée). Un moteur équilibré connecté en étoile sur un réseau de 415 V (ligne), 50 Hz présente une impédance de phase $10 + j10\ \Omega$ par phase. Tension de phase $= 415/\sqrt{3} = 239.6$ V ; courant de phase $= 239.6/\sqrt{10^{2} + 10^{2}} = 239.6/14.14 = 16.94$ A (égal au courant de ligne dans une connexion étoile) ; angle de phase 45° décalé. Puissance totale $P = 3 \times 239.6 \times 16.94 \times \cos 45^{\circ} = 8611$ W — et la formule de ligne $\sqrt{3} \times 415 \times 16.94 \times 0.7071 = 8611$ W ✓ les deux méthodes concordent. La méthode par phase fournit également les éléments manquants : $Q = 3 \times 239.6 \times 16.94 \times \sin 45^{\circ} = 8611$ var, pf 0.707 en retard, et (pour un moteur connecté en triangle ayant la même impédance) le courant de phase serait $415/14.14 = 29.3$ A avec le courant de ligne $\sqrt{3} \times 29.3 = 50.8$ A — the star/delta factor is exactly the $\sqrt{3}$ comptabilité.

Erreurs courantes. Utiliser la tension de ligne dans la formule par phase (diviser par $\sqrt{3}$ d'abord). Oublier que le pf du moteur s'applique aux deux formules. à son propre point de connexion. à son propre point de connexion.

Résumé : $S = VI^{*}$ se divise en P (facturé) et Q (emprunté) ; les formules de perte $|I|^{2}R$, $|I|^{2}X$ sont la vérification ; la correction capacitive fournit Q localement ; analyse triphasée par phase avec $V_{line} = \sqrt{3}V_{phase}$ Fermer un interrupteur sur un condensateur chargé en série avec une inductance et le

courant ne peut pas sauter — ni n'arrive instantanément — donc la réponse passe par au moins une dérivée de plus que RC n'a jamais nécessité. Un RLC série a l'équation à travers au moins une dérivée de plus que RC n'a jamais eu besoin. Un RLC série possède l' équation différentielle $L\,d^{2}i/dt^{2} + R\,di/dt + i/C = 0$, avec la fréquence naturelle $\omega_{0} = 1/\sqrt{LC}$ et l'amortissement $\alpha = R/(2L)$. Trois régimes :

• Sur-amorti ($\alpha > \omega_{0}$) : deux décroissances réelles, aucune oscillation.
• Critiquement amorti ($\alpha = \omega_{0}$) : le plus rapide retour non oscillant.
• Sous-amorti ($\alpha < \omega_{0}$) : oscillation amortie à $\omega_{d} = \sqrt{\omega_{0}^{2} - \alpha^{2}}$.

Exemple résolu 1 (régime arithmétique). $R = 4\ \Omega$, $L = 0.2$ H, $C = 0.05$ F : $\omega_{0} = 1/\sqrt{0.2 \times 0.05} = 10$ rad/s ; $\alpha = 4/(2 \times 0.2) = 10$ — amortissement critique ($\alpha = \omega_{0}$). Modifier $R$ en 2 Ω : $\alpha = 5 < 10$, sous-amorti avec $\omega_{d} = \sqrt{100 - 25} = 8.66$ rad/s. Le test de régime est une seule comparaison ; le Facteur de qualité $Q = \omega_{0}/(2\alpha)$ est 0.5 à l'amortissement critique et 1 à $R = 2\ \Omega$ — faiblement amorti (Q élevé) résonne plus longtemps.

Exemple résolu 2 (les exposants suramortis, vérifiés par ordinateur, amplifiés). Avec $R = 8\ \Omega$ (même $L$, $C$) : $\alpha = 20 > 10$ — suramorti, et les two decay exponents are $s = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^{2} - \omega_{0}^{2}} = -20 \pm \sqrt{300}$, i.e. $-2.68$ and $-37.32$ s⁻¹ (vérifié par ordinateur). La la tension du condensateur libérée depuis 1 V est $v_{C}(t) = A e^{-2.68t} + B e^{-37.32t}$ with $A + B = 1$ and $dv_{C}/dt(0) = 0$ (no instantaneous instantané), ce qui donne $A = 37.32/(37.32 - 2.68) = 1.077$, $B = -0.077$ : une chute initiale rapide vers la décroissance lente. L'interprétation : la racine rapide ne dicte que les premiers instants ; la racine lente ($-2.68$, celle la plus proche de l'origine) détermine la queue de décroissance — exactement la règle des pôles dominants EE02 rencontrée dans Laplace.

Erreurs courantes. Comparer $R$ avec $2\sqrt{L/C}$ au lieu de $\alpha$ avec $\omega_{0}$ — même test, mais rédigez-le comme indiqué. Utiliser $\omega_{0}$ là où $\omega_{d}$ convient (le bourdonnement que vous observez est la fréquence amortie). Oublier la deuxième condition initiale : deux stockage d'énergie impliquent deux constantes.

Résumé : $\omega_{0} = 1/\sqrt{LC}$, $\alpha = R/2L$, trois régimes par un seul comparaison ; $\omega_{d}$ est l'anneau visible ; la racine lente possède la queue ; deux réservoirs → deux constantes → deux vérifications aux bornes.

Le circuit d'accord d'une radio sélectionne une station dans une bande encombrée en rendant une fréquence particulière : à résonance, les parties imaginaires s'annulent, $\omega_{0}L = 1/(\omega_{0}C)$, c'est-à-dire $\omega_{0} = 1/\sqrt{LC}$. Il y a $Z = R$ (purément résistif, minimum), le courant est maximal, et le bande passante $BW = R/L = \omega_{0}/Q$. Les moitiés de l'impédance s'annulent même si chacune seule peut être grande — $V_{L}$ et $V_{C}$ peuvent chacune dépasser la tension de la source par un facteur Q.

**Exemple résolu 1 (surtension, vérifié). $R = 5\ \Omega$, $L = 0.1$ H, $C = 10\ \mu F$: $\omega_{0} = 1/\sqrt{0.1 \times 10^{-5}} = 1000$ rad/s; $Q = \omega_{0}L/R = 1000 \times 0.1/5 = 20$. À une source de 10 V, the current at resonance is $10/5 = 2$ A, and $V_{L} = \omega_{0}LI = 200$ V — twenty times the source. Check: $V_{C} = I/(\omega_{0}C) = 2/0.01 = 200$ V ✓ ; les deux valent 200 V, déphasés de 180°, leur somme étant nulle.

**Exemple résolu 2 (la bande demi-puissance, étendue). Le même circuit a une bande passante de : $BW = \omega_{0}/Q = 1000/20 = 50$ rad/s, et les fréquences demi-puissance se calculent à $\omega_{1} = 975.3$, $\omega_{2} = 1025.3$ rad/s — leur différence est 50.0 ✓ (vérifié machine). Ils sont presque également placés de part et d'autre de 1000 ; exactement, $\omega_{1}\omega_{2} = \omega_{0}^{2}$ (symétrique sur un axe logarithmique). Aux bords de la bande $|Z| = \sqrt{2}R = 7.07\ \Omega$, le courant est $1/\sqrt{2}$ du maximum, et chaque élément réactif retient $Q/\sqrt{2} \approx 14$ fois la tension source — toujours une amplification, mais juste après son sommet. C'est cette sélectivité qu'un accordeur propose : à 900 rad/s (une gare voisine deux bandes passantes d'écart) le courant chute à $10/\sqrt{R^{2} + (\omega L - 1/\omega C)^{2}} = 10/|5 + j(90 - 111.1)| = 10/21.7 = 0.46$ A — moins d'un quart du courant de résonance 2 A.

Erreurs courantes. Indiquer une amplification de $Q$ sans vérifier l'autre élément (les deux doivent correspondre). Utiliser $f_{0}$ là où il faut $\omega_{0}$ (facteur $2\pi$). Croire que la résonance maximise la puissance pour n'importe quelle impédance source — elle minimise |Z|, ce qui ne maximise le courant que pour une source rigide.

Résumé : $\omega_{0} = 1/\sqrt{LC}$, |Z| = R à cet endroit, BW = ω₀/Q entre les points de demi-puissance ; chaque tension réactive vaut Q·source ; vérifier l'amplification sur les deux éléments.

Un renforcement des basses est un filtre : une bande relevée, le reste inchangé. Un filtre laisse passer une bande et atténue le reste ; sa fonction de transfert $H(j\omega)$ possède un module et une phase. Le diagramme de Bode représente $20\log_{10}|H|$ en dB en fonction du logarithme de la fréquence : chaque pôle contribue −20 dB/octave au-dessus de son poinçon fréquence** $\omega_{c} = 1/(RC)$ ; chaque zéro ajoute +20 dB/décade.

**Exemple résolu 1 (le passe-bas, extrémités vérifiées). Un filtre RC passe-bas avec $R = 1.6$ kΩ, $C = 0.1\ \mu F$: $\omega_{c} = 1/(1600 \times 10^{-7}) = 6250$ rad/s (995 Hz). At $\omega_{c}$ the gain is $1/\sqrt{2} = -3$ dB et le phase −45° ; à $10\omega_{c}$, l'approximation linéaire indique −20 dB (exact −20.04). Vérifiez les extrémités : à basse fréquence $H = 1$ (0 dB), à $100\omega_{c}$ ≈ −40 dB — chaque décade après la coupure perd 20 dB, ce qui est à l'arithmétique des décibels $20\log_{10}10 = 20$.

Exemple résolu 2 (le miroir passe-haut, vérifié par machine, amplifié). Déplacer la sortie sur la résistance crée un passe-haut avec la même $\omega_{c} = 6250$ rad/s : $H(j\omega) = (j\omega/\omega_{c})/(1 + j\omega/\omega_{c})$. At $0.1\omega_{c}$: $-20.04$ dB at $+84.3^{\circ}$ ; à $\omega_{c}$ : $-3.01$ dB à $+45^{\circ}$ ; à $10\omega_{c}$ : $-0.04$ dB à $+5.7^{\circ}$ (tout vérifié par machine) — le miroir exact du passe-bas, avec phase en avance et la bande atténuée en dessous au lieu d'en dessus. La lecture de conception : une pente de coupure plus raide de 40 dB/décade nécessite deux sections en cascade, et (avec le (charge entre eux prise en compte) la cascade multiplie les gains, donc le dB s'ajoute — même logique de chaînage que celle des matrices ABCD d'unité 4.7.

Erreurs courantes. Interpréter −3 dB comme « moitié de la puissance perdue dans le filtre » à la coupure (c'est en fait la moitié de la puissance délivrée à la charge par rapport à la bande passante). Confondre $\omega$ et $f$ sur le même axe. Oublier la phase : un filtre qui est plat dans La magnitude peut encore déformer un signal par sa pente de phase.

Résumé : pôles −20 dB/décade au-dessus de leur fréquence de coupure, zéros +20 ; −3 dB et ±45° à la fréquence de coupure ; les asymptotes sont l'outil de conception, la courbe exacte le contrôle.

La machinerie de Laplace pour un étudiant en génie électrique02 devient une méthode de circuit : chaque élément reçoit un modèle dans le domaine s avec les conditions initiales comme sources —

• Résistance : $Z = R$.
• Inductance : $Z = sL$ plus une tension en série $Li(0^{-})$ (ou source de courant en parallèle $i(0^{-})/s$).
• Condensateur : $Z = 1/(sC)$ plus une source de courant en parallèle $Cv(0^{-})$ (ou tension en série $v(0^{-})/s$).

Toute méthode DC s'applique alors dans $s$. Les pôles de la réponse transportent la transitoire ; les pôles de l'entrée assurent le régime permanent.

Worked example 1 (the wave-1 RC, by algebra). The wave-1 RC step with tension initiale : $R = 10$ kΩ, $C = 100\ \mu F$ ($\tau = 1$ s), source 9 V, $v_{C}(0) = 1$ V. KVL en domaine s : $9/s = IR + v_{C}(0)/s + I/(sC)$ → $I = 8/(R(s + 1/(RC))) = 8/(10^{4}(s+1))$; $V_{C} = v_{C}(0)/s + I/(sC) = 1/s + 8/(s(s+1)) = 9/s - 8/(s+1)$, donc $v_{C}(t) = 9 - 8e^{-t}$ V — exactly the wave-1 answer, now derived by algèbre. Le contrôle : $v_{C}(0) = 9 - 8 = 1$ ✓, $v_{C}(\infty) = 9$ ✓.

Exemple résolu 2 (une RLC sans source, pôles correspondants, généralisé). La series RLC of unit 4.3 with $R = 2\ \Omega$, $L = 0.2$ H, $C = 0.05$ F, relâchée avec $i(0) = 1$ A, $v_{C}(0) = 0$. Maille en domaine s (impédances plus la source de l'inductance $Li(0)$) : $(0.2s + 2 + 20/s)I = 0.2$, donc $I(s) = s/(s^{2} + 10s + 100)$ et les pôles sont $-5 \pm j8.66$ — exactement le $\alpha = 5$, $\omega_{d} = 8.66$ qui ont donné l'arithmétique temporelle ✓. Les deux approches sont la même physique en deux notations ; l'approche du domaine s fournit les exposants sans mémoriser une forme, et les fractions partielles (comme dans EE02) terminent la forme d'onde.

Erreurs courantes. Omettre les sources de conditions initiales — la réponse alors affirme que le circuit part au repos. Annuler $s$ aveuglément (un facteur de $s$ dans le numérateur et le dénominateur peut masquer une impulsion). Oublier la condition du théorème de la valeur finale (pôle strictement dans le demi-plan gauche).

Résumé : les impédances deviennent $R$, $sL$, $1/sC$ plus les sources de conditions initiales ; les méthodes CC dans $s$ ; les pôles sont $\alpha$ et $\omega_{d}$ ; les vérifications aux bornes restent libres.

Un module amplificateur, un réseau d'adaptation, un tronçon de câble — chacun est une boîte avec deux paires de fils, et le concepteur n'a besoin que de ce que la boîte fait à ses bornes. Un bipôle possède des paires de bornes d'entrée et de sortie ; le monde extérieur ne voit que le comportement du port. Les ensembles de paramètres relient les variables des ports :

La conversion est algébrique (ex. à partir des paramètres z : $A = z_{11}/z_{21}$, $B = (z_{11}z_{22} - z_{12}z_{21})/z_{21}$). Les connexions en cascade multiplient les matrices ABCD — c'est pourquoi les lignes de transmission et les chaînes de filtres utilisent cet ensemble.

Exemple résolu 1 (cascade en L, déterminant vérifié). La série impédance $Z$ a $ABCD = (1, Z; 0, 1)$ ; l'admittance shunt $Y$ a $(1, 0; Y, 1)$. Cascade de shunt-$Y$ puis série-$Z$ : $(1,0;Y,1)(1,Z;0,1) = (1, Z; Y, 1+YZ)$. Vérification avec $Z = j10$, $Y = -j0.1$ (une section L à une fréquence donnée) : $1 + YZ = 1 + (-j0.1)(j10) = 2$, $B = j10$ — et le déterminant $AD - BC = 2 - j10 \cdot (-j0.1) = 1$ est égal à 1, comme tout matrice ABCD d'un réseau réciproque doit l'être.

Exemple résolu 2 (en paramètres z, vérifié par machine, escaladé). Les mêmes paramètres z de la section L provenant de la conversion $z_{11} = A/C$, $z_{12} = \Delta/C$, $z_{21} = 1/C$, $z_{22} = D/C$ with $C = Y = -j0.1$ : $z_{11} = z_{12} = z_{21} = 1/(-j0.1) = j10\ \Omega$, $z_{22} = 2/(-j0.1) = j20\ \Omega$ (machine-verified). The symmetry $z_{12} = z_{21}$ est la condition de réciprocité — visible dans les chiffres, non supposée — et $z_{22} \neq z_{11}$ note l'asymétrie du L (shunt côté entrée). Lire retour : avec le port 2 ouvert ($I_{2} = 0$), $V_{1} = j10 I_{1}$ — le bras série ne transporte aucun courant, donc l'entrée ne voit que le bras shunt, $1/Y = 1/(-j0.1) = j10\ \Omega$.

Erreurs courantes. Signe de $I_{2}$ : ABCD utilise $-I_{2}$ (courant sortant de port 2) ; les paramètres z l'utilisent entrant dans le port — choisir la convention et y rester. Multiplier les cascades dans le mauvais ordre (le produit matriciel n'est pas commutatif). S'attendre à $z_{12} = z_{21}$ pour un réseau comportant des sources commandées à l'intérieur — La réciprocité exige la linéarité sans sources dépendantes.

Résumé : les ports masquent l'intérieur ; les réseaux ABCD se cascadent par multiplication (réciproque réseaux : $AD - BC = 1$) ; les paramètres z conviennent aux connexions en série et exposent la réciprocité comme $z_{12} = z_{21}$ ; on ne convertit que par algèbre, on vérifie avec un seul déterminant.