Analyse des circuits I (courant continu)

Ceci est le premier cours d'électrotechnique universitaire : analyse des circuits à courant continu. Un circuit CC est un circuit dont les courants et tensions se stabilisent vers des valeurs constantes — piles, capteurs, alimentations logiques et réseaux de polarisation intégrés à tout amplificateur. Le cours constitue une échelle dont chaque marche sert à la suivante : valeurs — piles, capteurs, alimentations logiques, et les réseaux de polarisation internes de chaque amplificateur.

lois de Kirchhoff.

• Les unités 1.1 et 1.2 n'exigent que l'algèbre : quantités, conventions de signe, loi d'Ohm et Lois de Kirchhoff.
• Les unités 1.3 à 1.5 construisent des méthodes systématiques — analyse nodale et maille, théorèmes de réseau, et l'amplificateur opérationnel idéal — qui transforment de longs circuits en calculs courts.
• Les unités 1.6 et 1.7 ajoutent les éléments stockant l'énergie et la première réponse transitoire , moment où le calcul différentiel prend toute son importance.

Comment lire chaque unité : une courte histoire explique pourquoi c’est important ; une image ou un principe général l'intuition précède toute formule ; ensuite l'énoncé précis ; puis des exemples résolus qui deviennent plus difficiles, étape par étape, chacun avec une vérification finale ; ensuite les erreurs que les gens commettent réellement ; puis un résumé de trois lignes. Chaque nombre dans les exemples est quelque chose que vous pouvez vérifier d'une autre manière — une boucle différente, un nœud non utilisé, un cas limite — et vous devriez adopter cette habitude dès maintenant : dans les cours ultérieurs, la vérification fait la différence entre une erreur détectée et un résistor grillé.

Un chargeur de téléphone étiqueté « 20 W » et une bouilloire étiquetée « 2000 W » déplacent tous deux des charges. Pourquoi cent fois plus puissant ? Pour y répondre, il faut les six grandeurs que tout circuit ainsi qu'une convention garantissant la cohérence de leurs signes.

Apprenez-les comme une chaîne logique, pas comme une liste : la charge se déplace ; son taux de déplacement est le courant ; le courant à travers une différence de potentiel transfère de l'énergie ; le taux de ce transfert est la puissance. La différence de potentiel transfère de l'énergie ; la vitesse de ce transfert est la puissance.

• La charge $q$ se mesure en coulombs (C). Un coulomb vaut environ $6.24 \times 10^{18}$ charges élémentaires. La charge est conservée : elle n'est jamais créée ni détruite dans un circuit, elle est simplement déplacée.
• Le courant $i$ est le débit de charge, exprimé en ampères (A) : $i = dq/dt$, donc 1 A = 1 C/s.
• Tension $v$ est l'énergie par unité de charge, en volts (V) : 1 V = 1 J/C. Elle se mesure toujours entre deux points ; « 5 V à un nœud » signifie 5 V entre ce nœud et le nœud de référence (masse).
• Puissance $p$ est l'énergie par unité de temps, en watts (W) : $p = vi$, et 1 W = 1 J/s.
• Énergie $w$ est la puissance intégrée sur le temps, $w = \int p \, dt$, en joules (J). Les compteurs d'électricité vendent le kilowatt-heure : $1\ \text{kWh} = 3.6\ \text{MJ}$.

Dérivation de la formule de la puissance. Déplacer une charge $dq$ à travers une différence de potentiel $v$ et l'énergie transférée est $dw = v \cdot dq$. Diviser par $dt$ : $p = dw/dt = v \cdot (dq/dt) = vi$. La puissance est le produit de la tension par le courant — rien de plus complexe.

La convention du signe passif élimine toute ambiguïté. Choisir une direction pour le courant dans un élément et une polarité pour sa tension ; lorsque la flèche du courant pénètre par la borne $+$, $p = vi$ est la puissance que l'élément absorbe. Un résultat positif signifie que l'élément consomme de la puissance ; un résultat négatif signifie qu'il fournit de la puissance. Inverser cette convention constitue la source la plus fréquente d'erreurs de signes dans tout le cours.

Exemple résolu 1 (puissance et énergie). Une pile de 12 V alimente une lampe qui tire 0.25 A, avec la flèche du courant dessinée entrant par la borne $+$ de la lampe. Pour la lampe, $p = vi = 12 \times 0.25 = 3 \text{ W}$ est absorbé. Sur 2 minutes, la lampe consomme $w = pt = 3 \times 120 = 360 \text{ J}$. Avec la même flèche tracée pour la batterie, le battery's current enters its $-$ terminal, so its absorbed power is $-3$ W: it supplies se mesure toujours entre deux points ; nommez-les.

Exemple résolu 2 (le compteur affiche un mauvais nombre). Une source idéale de 12 V alimente deux 10 M$\Omega$ résistances en série, donc chacune devrait avoir 6 V à ses bornes. Un voltmètre réel avec une résistance d'entrée de 10 M$\Omega$ est connecté aux bornes de la résistance inférieure pour « vérifier ». Le compteur devient alors une deuxième résistance de 10 M$\Omega$ en parallèle : la partie inférieure se combine en 5 M$\Omega$, et le compteur affiche $\frac{5}{10+5} \times 12 = 4 \text{ V}$ au lieu de 6 V. La vérification elle-même a modifié le circuit. (Aux bornes de la source idéale elle-même, le compteur afficherait correctement 12 V : une source idéale maintient sa tension quel que soit le dispositif connecté.) Règle empirique : la résistance du compteur doit être au moins cent fois mesure de courant représente le cas miroir — un compteur en série avec une impédance non négligeable prélève une chute de tension et affiche un courant trop faible. and reads low current.

Erreurs fréquentes.

• Indiquer « la tension au point A » sans préciser le point de référence. La tension est always between two points; name them.
• Mixing units: minutes with watts, mA with k$\Omega$. Convert first; then the answer's l'unité s'annule d'elle-même ($\text{V}/\Omega = \text{A}$).
• Se fier aveuglément à un compteur sans s'enquérir de la résistance qu'il ajoute au circuit.

Résumé : six grandeurs, une chaîne (charge à courant à énergie à puissance) ; la puissance est ($vi$ selon la convention de signe passive ; les instruments doivent être quasi invisibles au circuit (ampèremètre en série = court-circuit idéal, voltmètre en parallèle = circuit ouvert idéal).

Deux résistances arrivent à un nœud et une en part. Quel courant emprunte chaque sortie ? La réponse nécessite les deux lois nommées d'après Kirchhoff — et ce ne sont pas des nouveautés physiques. L'une est "la charge ne s'accumule pas" ; l'autre est "les bilans énergétiques s'équilibrent". Toutes deux étaient cachées dans l'unité 1.1.

La loi d'Ohm relie une résistance : $v = Ri$, avec $R$ en ohms ($\Omega$). La conductance $G = 1/R$ (siemens) est parfois plus pratique. La puissance dans un résistor est toujours absorbée, et combiner $v = Ri$ avec $p = vi$ donne les trois formes équivalentes $p = vi = i^{2}R = v^{2}/R$ — utilisez la variable dont vous disposez déjà.

Pour les éléments en série, les résistances s'additionnent et un courant est partagé ; pour les éléments en parallèle, les conductances s'additionnent et une tension est partagée. Deux résistances en parallèle se combinent par le produit sur la somme, $R_{1} \parallel R_{2} = \frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$ — et le résultat est toujours plus petit que chacun.

Dérivation du diviseur. Deux résistances en série alimentées par une source transportent un seul courant $i = v_{s}/(R_{1}+R_{2})$. La tension aux bornes de $R_{2}$ est ce courant multiplié par $R_{2}$, donc ($v_{2} = v_{s} \cdot R_{2}/(R_{1}+R_{2})$ — le diviseur de tension. Le miroir branchement reçoit une part proportionnelle à la résistance diviseur** : ($i_{1} = i_{s} \cdot R_{2}/(R_{1}+R_{2})$). Remarquez l'échange : chaque branche reçoit la part proportionnelle à la résistance autre.

Loi des courants de Kirchhoff (LCK) exprime la conservation de la charge : la somme algébrique des courants sortant d'une surface fermée est nulle. Un nœud est une jonction de deux éléments ou plus ; chaque connexion du même fil constitue un nœud, peu importe le nombre de branches qui s'y rejoignent.

Loi des tensions de Kirchhoff (LTK) exprime la conservation de l'énergie : la somme algébrique des tensions le long de toute maille fermée est nulle. Parcourez une maille et comptabilisez les montées et descentes : une élévation relevée lors d'un parcours correspond à une chute identique au retour, donc le total est nécessairement nul — il est impossible de gagner de l'énergie en parcourant un cercle.

Exemple résolu 1 (diviseur de tension, vérifié par deux méthodes). Une source de 9 V alimente $R_{1} = 6$ k$\Omega$ en série avec $R_{2} = 3$ k$\Omega$. Le courant vaut $i = 9 \text{ V} / 9 \text{ k}\Omega = 1 \text{ mA}$, donc $v_{2} = 1 \text{ mA} \times 3 \text{ k}\Omega = 3 \text{ V}$ — soit la même réponse que celle donnée par la formule du diviseur $9 \times 3/9$. Vérification par LTK : $-9 + 6 + 3 = 0$. Vérification par puissance : source $9 \times 1 \text{ mA} = 9$ mW ; résistances $6$ mW + $+ 3$ mW = $= 9$ mW.

Exemple résolu 2 (diviseur de courant, puis le nœud qu'il alimente). Une source de 2 A alimente (6 $\Omega$ en parallèle avec 3 $\Omega$. La paire en parallèle est ($6 \times 3/9 = 2\ \Omega$, ainsi les deux voient (4 V), et les courants sont ($4/6 = 0.667$ A et ($4/3 = 1.333$ A — la formule du diviseur donne les mêmes parts, et ($0.667 + 1.333 = 2$ A au nœud, KCL vérifiée. Maintenant escalade : à ce nœud, une branche supplémentaire de courant inconnu ($i_{4}$ quitte également ; si un autre (0.5 A entre en provenance d'ailleurs, KCL donne $-0.667 - 1.333 - 0.5 + i_{4} = 0$, donc $i_{4} = 2.5$ A sort. La charge n'a pas disparu ; elle a été redirigée.

Erreurs fréquentes.

• Tracer KCL avec certaines flèches entrantes et d'autres sortantes, puis additionner les valeurs absolues. Écrire « somme des courants sortants = 0 » et laissez les signes s'exprimer.
• Traiter deux amas séparés de fils comme un seul nœud (ils ne constituent un seul nœud que s'ils sont connectés).
• Résistances en parallèle dont la valeur totale est plus grande — la résistance équivalente est toujours inférieure à la plus petite.

Résumé : la loi d'Ohm combinée à deux lois de conservation résout tout circuit DC résistif ; les diviseurs en découlent par déduction, non par mémorisation ; étiquetez chaque flèche d'abord, puis faites confiance à l'algèbre — une réponse négative est une information, pas une erreur.

Un circuit comportant quatre nœuds et six branches peut être résolu par des hypothèses judicieuses — une seule fois. Le même circuit apparaît cent fois dans une conception, et le travail d'hypothèse doit devenir une recette qu'un ordinateur pourrait exécuter. Deux recettes existent ; toutes deux aboutissent à quelques équations simultanées. une recette qu'un ordinateur pourrait exécuter. Deux recettes existent ; toutes deux aboutissent à quelques équations simultanées simultanées.

Analyse nodale utilise la loi des nœuds (KCL). Choisissez un nœud de référence (masse), étiquetez les tensions des $n-1$ nœuds restants, et écrivez une équation KCL pour chaque nœud inconnu, en exprimant le courant de chaque branche comme une différence de tension divisée par une résistance. Cette méthode est le moteur des simulateurs de circuits (SPICE résout exactement ces équations, des millions d'entre elles).

Analyse par mailles utilise la loi de Kirchhoff des tensions (LKT). Attribuer un courant de maille circulant à chaque fenêtre d'un circuit planaire et écrire une équation LKT par maille ; une résistance partagée par deux mailles transporte la différence des deux courants de maille. Choisir la méthode qui comporte le moins d'équations, et retenir : une source de tension fixe une différence de potentiel nodal (l'analyse nodale devient plus simple), tandis qu'une source de courant fixe un courant de branche (l'analyse par mailles devient plus simple).

Dérivation de l'équation nodale. Au nœud $A$ avec des résistances $R_{1}$ vers un nœud source $V_{s}$ et $R_{2}$ vers la terre, la loi de Kirchhoff des courants (somme des courants sortants) donne ($\frac{V_{A}-V_{s}}{R_{1}} + \frac{V_{A}-0}{R_{2}} = 0$. Multipliez et regroupez : l'équation est linéaire en $V_{A}$ — toujours. Chaque analyse nodale consiste à répéter cette seule équation pour chaque nœud.

Exemple résolu (1) (un seul nœud inconnu). Une source (12 V se connecte via (2 ($\Omega$ vers le nœud ($A$ ; depuis ($A$, une résistance (6 ($\Omega$ va à la terre et une source (1 A injecte un courant dans $A$. Loi de Kirchhoff des courants au nœud $A$, courants sortants :

Multiplier par 6 : $3(V_{A} - 12) + V_{A} - 6 = 0$, donc $4V_{A} = 42$ et $V_{A} = 10.5$ V. Vérifier avec la branche source : un courant de $(12 - 10.5)/2 = 0.75$ A sort de la source, plus 1 A de la source de courant ; la résistance de 6 Ω × $\Omega$ Ω transporte $0.75 + 1 = 1.75$ A, et $10.5/6 = 1.75$ A — la branche non utilisée confirme la réponse.

Exemple résolu 2 (deux mailles, résistance partagée). Maille A : une source de 12 V (augmentation dans le sens horaire) avec une résistance de 2 Ω × $\Omega$ Ω. Maille B : une résistance de 6 Ω × $\Omega$ Ω avec vers une source (3 V (opposée). Les mailles partagent une résistance (4 ($\Omega$. KVL avec les courants de maille dans le sens horaire ($i_{A}$, ($i_{B}$ :

Regrouper : ($6i_{A} - 4i_{B} = 12$ et ($-4i_{A} + 10i_{B} = -3$. En résolvant, $i_{A} = 2.455$ A and $i_{B} = 0.682$ A, so the shared resistor carries $i_{A}-i_{B} = 1.773$ A downward in mesh A's sense. Check by substituting back into l'une des équations d'origine : les deux retournent zéro dans la limite de l'arrondi.

Erreurs fréquentes.

• Choisir la méthode nodale pour un circuit rempli de sources de courant — chaque source devient alors une
• Choisir une méthode sans compter les équations : les sources de courant s'adaptent généralement directement à l'analyse nodale, tandis que les sources de tension s'adaptent généralement directement à l'analyse maille.
• Supposer que le nœud de référence doit être la borne négative d'une source. N'importe quel nœud peut être choisi comme référence ; opter pour une extrémité d'une source de tension peut simplifier les équations.

Résumé : nodal = KCL par nœud inconnu (choix des simulateurs) ; maille = KVL par fenêtre ; les éléments partagés voient des différences de courant ; choisissez selon le nombre d'équations.

Vous remplacez une plaque source et la lampe qu'elle alimente s'allume légèrement. Que ressemblait cette plaque à la lampe ? Pas son schéma — une seule source et une seule résistance. Trois théorèmes rendent ce remplacement exact, et ils disent tous la même chose : un réseau linéaire est indiscernable de son comportement aux bornes.

• Théorème de Thévenin : tout réseau linéaire à deux bornes de sources et resistors behaves, at its terminals, like one voltage source $V_{th}$ in series with une résistance $R_{th}$. $V_{th}$ est la tension en circuit ouvert ; $R_{th}$ est la résistance vue avec les sources annulées (sources de tension court-circuitées, sources de courant ouvertes).
• Le théorème de Norton est la même affirmation qu'une source de courant $I_{N} = V_{th}/R_{th}$ en parallèle avec $R_{th}$. Les deux sont la transformation de source : alternez entre elles lorsque le calcul est plus simple. transformation : échangez entre elles lorsque le calcul est plus simple.
• Superposition : dans un circuit linéaire comportant plusieurs sources indépendantes, le une stratégie de calcul, et non une propriété d'un composant unique. est une stratégie de calcul, et non une propriété d'un composant particulier.

Dérivation du transfert maximal de puissance. Une source de Thévenin $V_{th}$, résistance $R_{th}$, alimente $R_{L}$. La puissance délivrée à la charge est $P = \left(\frac{V_{th}}{R_{th}+R_{L}}\right)^{2} R_{L}$. Différenciez par rapport à $R_{L}$ et égalisez le résultat à zéro : le maximum se situe à $R_{L} = R_{th}$, où que la charge délivre : rendement de $P_{max} = V_{th}^{2}/(4R_{th})$%, rien de plus. la charge fournit : efficacité de 50%, pas davantage.

les systèmes audio et RF adaptent les impédances pour maintenir l'intensité du signal ; les réseaux électriques ne le font jamais les systèmes audio et RF adaptent les impédances pour maintenir des signaux forts ; les réseaux électriques ne le font jamais (une efficacité de 50% doublerait chaque facture). Un équivalent de Thévenin ne préserve pas sources réelles. les sources réelles.

Exemple résolu 1 (trouver l'équivalent, puis le charger). Une source de 10 V et une résistance de 4 $\Omega$ forment une branche en série placée aux bornes d'une résistance de 6 $\Omega$. Trouvez l' équivalent vu par une charge externe connectée aux bornes de cette résistance de 6 $\Omega$. Avec la charge externe déconnectée, la tension aux bornes est $V_{th} = 10 \times 6/10 = 6$ V (un diviseur). Mettre la source à zéro laisse 4 $\Omega$ en parallèle avec 6 $\Omega$ : $R_{th} = 2.4\ \Omega$. Avec $R_{L} = R_{th} = 2.4\ \Omega$, le courant de boucle est de $6/(2.4+2.4) = 1.25$ A et la puissance de charge est de $1.25^{2} \times 2.4 = 3.75$ W. Vérifier avec la formule : $V_{th}^{2}/(4R_{th}) = 36/9.6 = 3.75$ W.

Exemple résolu 2 (superposition, vérifié directement). Une source de 12 V à travers 2 $\Omega$ alimente le nœud $A$ ; une source de 3 A injecte également dans $A$ ; 4 $\Omega$ relie $A$ à la masse. Par superposition : la seule source de 12 V (3 A ouvert) fait circuler le 4 $\Omega$ à travers un diviseur de $2+4$ : $V_{A1} = 12 \times 4/6 = 8$ V. La seule source de 3 A (12 V en court-circuit) voit $2\ \Omega \parallel 4\ \Omega = 1.333\ \Omega$ : $V_{A2} = 3 \times 1.333 = 4$ V. Total $V_{A} = 8 + 4 = 12$ V. Vérification directe par une équation nodale unique : $(V_{A}-12)/2 + V_{A}/4 - 3 = 0$ donne $V_{A} = 12$ V — les deux méthodes concordent parfaitement.

Erreurs fréquentes.

• Calculer $R_{th}$ alors que les sources indépendantes sont encore actives. Les désactiver : court-circuiter les sources de tension indépendantes idéales et ouvrir les sources de courant indépendantes idéales. Conserver les sources dépendantes et utiliser une source de test si nécessaire.
• Appliquer la superposition à la puissance (elle est linéaire en tension et courant, pas en leurs carrés — calculer d'abord les réponses, puis élever au carré).
• Croire que le point d'efficacité 50% est une cible de conception pour la transmission de puissance.

Résumé : mesurer deux grandeurs ($V_{th}$ en circuit ouvert, $R_{th}$ mis à zéro) et toute relation linéaire unipolaire devient une pile et une résistance ; échanger librement les formes série↔parallèle ; additionner les réponses, jamais les puissances ; adapter l'impédance pour la puissance de signal maximale, pas pour l'économie.

Un microphone produit 10 mV. Un haut-parleur nécessite 2 V. Il faut multiplier par 200 — avec un bouton pour régler exactement ce facteur. Cet élément est l'amplificateur opérationnel, et tout l'appareil repose sur une seule astuce : la rétroaction transforme un dispositif au gain absurdement élevé en un amplificateur précis au gain modéré.

Un amplificateur opérationnel est un amplificateur différentiel de tension avec un gain très élevé, représenté par un triangle avec des entrées $+$ et $-$ et une sortie unique. Les amp-ops réels possèdent un produit gain-bande passante et des courants d'entrée finis ; le modèle d'amplificateur opérationnel idéal utilisé dans l'analyse suppose un gain en boucle ouverte infini, une résistance d'entrée infinie et une résistance de sortie nulle. résistance d'entrée infinie et résistance de sortie nulle.

Pourquoi les règles d'or découlent de la rétroaction. Avec une rétroaction négative (une différence d'entrée soit quasi nulle — avec un gain supérieur à $-$, une sortie en volts nécessite une différence d'entrée quasi nulle — avec un gain supérieur à $10^{5}$, une sortie de volts nécessite une s'appliquent : maintenir :

1. Aucun courant ne s'écoule vers l'une ou l'autre entrée (résistance d'entrée infinie).
2. La différence de potentiel entre les entrées est nulle — un court-circuit virtuel. Les entrées se suivent sans être connectées.

Dérivation du gain inverseur. L'outil de base est l'amplificateur inverseur : l'entrée via $R_{in}$ au nœud $-$, le retour via $R_{f}$, l'entrée $+$ à la masse. La règle 2 fixe le nœud $-$ à 0 V (un masse virtuelle). La règle 1 indique que le courant d'entrée $v_{in}/R_{in}$ ne peut pas pénétrer dans la puce, donc il tout passe par $R_{f}$ :

Le gain est déterminé par deux résistances — le gain énorme de la puce s'annule dans le résultat final. L'amplificateur non-inverseur applique le signal à $+$ et un diviseur de tension à $-$ : $v_{out}/v_{in} = 1 + R_{f}/R_{in}$, toujours supérieur ou égal à l'unité (à l'unité, c'est le suiveur de tension, un tampon).

Exemple résolu 1 (étage inverseur, entièrement détaillé.) $R_{in} = 10$ k$\Omega$, $R_{f} = 100$ k$\Omega$, $v_{in} = +0.2$ V. Le gain est $-100/10 = -10$, donc $v_{out} = -2$ V, parfaitement dans les limites des alimentations $\pm 15$ V. Le courant de retour est $0.2/10\text{k} = 20\ \mu\text{A}$ et circule vers la sortie ; l'entrée idéale ne transporte aucun courant. Vérification par la masse virtuelle : le nœud $-$ est à $0$ V, donc la chute de potentiel sur $R_{f}$ est $0 - (-2) = 2$ V / $= 20\ \mu\text{A} \times 100$ k$\Omega$.

Exemple résolu 2 (un mélangeur et un piège de saturation.) Étendez l'étage inverseur à deux entrées ($R_{1} = R_{2} = 10$ k$\Omega$, même $R_{f} = 100$ k$\Omega$) : la masse virtuelle recueille les deux courants, donc $v_{out} = -\left(\frac{R_f}{R_1}v_{1} + \frac{R_f}{R_2}v_{2}\right)$ — un additionneur amplificateur**. Avec $v_{1} = 0.2$ V et $v_{2} = -0.05$ V : $v_{out} = -(10 \times 0.2 + 10 \times (-0.05)) = -(2 - 0.5) = -1.5$ V. Maintenant, le piège : remplacez $R_{f}$ par 1 M$\Omega$ (gain de $-100$ par entrée) et les mêmes entrées nécessitent $-(100 \times 0.2 + 100 \times (-0.05)) = -15$ V. La règle de saturation l'arrête : la sortie ne peut pas quitter ses rails d'alimentation, et un amplificateur opérationnel de $\pm 15$ V se stabilise près de $-13.5$ V. Les règles d'or ont silencieusement cessé de s'appliquer — rapportez le claquement, pas la tension impossible.

Erreurs fréquentes.

• Oublier le signe moins de l'étage inverseur (ou le « corriger »).
• Applying rule 2 when there is no negative feedback path — no feedback, no virtual court-circuit virtuel.
• Pousser la réponse au-delà des rails et la rapporter quand même.

Résumé : un gain infini maîtrisé par la rétroaction donne deux règles d'or ; l'étage inverseur les transforme en $-R_{f}/R_{in}$, le non-inverseur en $1 + R_{f}/R_{in}$ ; le court-circuit virtuel rend les mélangeurs fonctionnels ; la saturation est un état de sortie réel, pas une erreur d'arrondi.

Chaque flash d'un appareil photo accumule lentement l'énergie et la restitue en une milliseconde. Aucune association de résistances ne peut stocker quoi que ce soit ; les résistances dissipent l'énergie ; les deux nouveaux éléments la stockent, et ce changement unique est ce qui rend les circuits dynamiques et dignes d'un cours de calcul différentiel et intégral.

Un condensateur stocke une charge séparée par un isolant : deux plaques avec un champ électrique entre elles. Sa capacitance $C$, en farads (F), est charge par volt, $q = Cv$. Différencier : le courant est le taux de variation de la tension,

ainsi un condensateur ne transporte du courant que tant que sa tension change ; une CC constante constitue un circuit ouvert pour lui. Intégrer cette même loi donne l'énergie stockée $w = \frac{1}{2}Cv^{2}$ — une mémoire d'état qui dépend uniquement de la tension actuelle, et non de son historique. — une mémoire d'état qui dépend uniquement de la tension actuelle, et non de la manière dont elle y est arrivée.

Un inducteur stocke de l'énergie dans un champ magnétique autour d'une bobine. Sa inductance $L$, en henrys (H), donne la loi miroir,

ainsi un inducteur développe une tension uniquement tant que son courant change : un courant continu (DC) stable constitue un court-circuit pour lui. circuit to it. Stored energy is $w = \frac{1}{2}Li^{2}$.

Pourquoi les combinaisons miment les règles des résistances. Des condensateurs en parallèle partagent une tension unique, donc leurs charges s'additionnent : $C_{eq} = C_{1}+C_{2}$ (les aires s'additionnent). Des inducteurs en série partagent un courant unique, donc leurs flux liants s'additionnent : $L_{eq} = L_{1}+L_{2}$ (les longueurs s'additionnent). Des condensateurs en série et des inducteurs en parallèle se combinent selon la règle réciproque — le miroir exact de l'arithmétique des résistances, vaut $v$ mJ. Une inductance de $i$ mH

Exemple commenté 1 (deux énergies, deux unités). Un condensateur de 100 µF chargé à 12 V holds $w = \frac{1}{2} \times 100\times10^{-6} \times 12^{2} = 7.2$ mJ. A 10 mH inductor transportant 2 A retient $w = \frac{1}{2} \times 0.01 \times 2^{2} = 20$ mJ. Les deux sont faibles selon les standards d'une bouilloire, mais les 7.2 mJ du condensateur livrés en 1 ms représentent 7.2 W — et en 1 µs, cela deviendrait 7.2 kW. L'énergie stockée est modeste ; c'est le taux qui rend l'effet spectaculaire, ce qui explique pourquoi on décharge les grands condensateurs avant de les toucher.

Exemple résolu 2 (loi de pente et combinaisons). Un condensateur de 10 µF voit sa tension augmenter à 100 V/s ; le courant est de $i = C\,dv/dt = 10\times10^{-6} \times 100 = 1$ mA — constant, car la pente est constante. Combinez maintenant : un condensateur de 2 µF et un de 3 µF en série donnent $2 \times 3/5 = 1.2$ µF (ils portent la même charge, donc la « capacité par volt" shrinks); in parallel they give 5 µF. A 10 mH and 20 mH inductor in series give 30 mH ; les mêmes deux bobines en parallèle donnent $10 \times 20/30 = 6.67$ mH.

⚠ Le courant d'une bobine est continu : ouvrir un interrupteur dans son circuit force $di/dt$ pour être immense, et la tension induite $L\,di/dt$ peut provoquer un arc électrique à travers l'ouverture. contacts ouverts. Cela est réel, pas théorique : c'est ainsi que les anciennes bobines d'allumage produisaient leur étincelle.

Erreurs fréquentes.

• En utilisant $w = \frac{1}{2}Cv^{2}$ avec les volts remplacés par autre chose — vérifier le les unités : farads fois volts au carré égal joules.
• Additionner des capacités en parallèle comme des inverses (c'est la règle pour le montage en série).
• Croire qu'un condensateur « bloque » le CC instantanément : il bloque le CC constant ; lors des variations, il laisse passer le courant volontiers.

Résumé : les condensateurs mémorisent la tension, les inductances mémorisent le courant ; $i = C\,dv/dt$ et $v = L\,di/dt$ ; énergies $\frac{1}{2}Cv^{2}$, $\frac{1}{2}Li^{2}$ ; les combinaisons reflètent l'arithmétique des résistances avec $v$ et $i$ inversés ; n'ouvrez jamais brutalement le circuit d'une bobine.

Vous appuyez sur un bouton et la lumière s'éclaircit progressivement pendant une seconde — ou la lecture du capteur progresse vers sa nouvelle valeur en millisecondes. Commutez une source, un élément de stockage d'énergie et un résistance dans une nouvelle configuration, et la quantité stockée ne peut pas sauter : elle glisse vers sa nouvelle valeur stable. Un circuit avec un seul élément de stockage est d'ordre un, et chaque circuit de ce type présente la même forme de réponse — apprenez cette forme une fois pour toutes.

Définissez la réponse naturelle comme la décroissance à partir d'un état initial avec la source supprimée, et la réponse en échelon comme le passage d'un état initial vers une nouvelle valeur imposée $V_{F}$. Pour la tension d'un condensateur,

Dérivation. Après la commutation, un condensateur $C$ se décharge à travers $R$ : la loi des nœuds (KCL) donne $C\,dv/dt + v/R = 0$. Séparez les variables : $dv/v = -dt/(RC)$, intégrez : $\ln v = -t/(RC) + \text{const}$, donc $v = V_{0}e^{-t/RC}$ — une exponentielle vers temps constante $\tau = RC$ ; la réponse générale est la constante plus une différence décroissante : exponentielle vers la nouvelle valeur, toujours. Le miroir RL remplace $V_{F}$ par exponentiel à la nouvelle valeur, toujours. Le miroir RL remplace $\tau = RC$ par $\tau = L/R$.

À $t = \tau$, l'écart s'est réduit à 37 % de sa taille initiale ; après $5\tau$, le circuit est à moins de 1 % et est considéré comme stabilisé. La valeur initiale $V_{0}$ provient de l'énergie stockée (continuité de la tension pour C, continuité du courant pour L), et $V_{F}$ vient du circuit laissé derrière par l'interrupteur, l'élément de stockage étant traité comme son régime permanent ouvert (C) ou court-circuité (L).

Exemple résolu 1 (décharge RC). Un condensateur de 100 µF chargé à 12 V se décharge à travers 10 k$\Omega$. $\tau = RC = 10\,000 \times 100\times10^{-6} = 1$ s, donc $v(t) = 12e^{-t}$ volts. Après 2 s, $v = 12 \times e^{-2} = 1.62$ V. Après 5 s ($5\tau$) il est à $12e^{-5} = 0.08$ V — stabilisé. Vérifiez le bilan énergétique : l'énergie initiale 7.2 mJ a tout été dissipée dans la résistance d'ici là.

Exemple résolu 2 (charge entre deux valeurs non nulles.) Le même réseau RC, mais l'interrupteur déplace la résistance d'une source de 2 V vers une source de 9 V avec le condensateur déjà chargé à 2 V. $V_{0} = 2$, $V_{F} = 9$, donc $v(t) = 9 + (2-9)e^{-t} = 9 - 7e^{-t}$ volts. À $t = 1$ s ($= \tau$) il atteint $9 - 7 \times 0.368 = 6.42$ V — l'écart (7 V) est réduit de 63.2%, exactement selon la définition. Vérification aux bornes : $v(0) = 2$ V et $v(5) = 9 - 0.047 \approx 9$ V.

Exemple résolu 3 (le miroir RL, rapide.) Une inductance de 20 mH en série avec 100 $\Omega$ résiste à une source de 10 V. $\tau = L/R = 0.02/100 = 0.2$ ms, courant final $I_{F} = 10/100 = 0.1$ A, donc $i(t) = 0.1(1 - e^{-t/0.2\text{ms}})$. À $t = 0.6$ ms (trois constantes de temps) il a atteint 95% : $0.095$ A. Même forme que la tension du condensateur — une seule loi, deux composants.

Méthode pour chaque problème de commutation : (1) trouver $V_{0}$ depuis le circuit initial ; (2) déterminer $V_{F}$ depuis le circuit nouveau ; (3) calculer $\tau$ depuis le circuit nouveau avec la source annulée ; (4) rédiger la réponse en une ligne et la vérifier aux deux bornes.

Erreurs fréquentes.

• En utilisant l'ancien circuit pour $V_{F}$ ou le nouveau pour $V_{0}$ — les valeurs proviennent de de clichés différents, intentionnellement.
• Calculer $\tau$ avec la source encore présente — mettez la source à zéro pour voir le vrai la résistance que l'élément de stockage rencontre.
• Croire que $5\tau$ est une constante physique — c'est une convention d'ingénierie à 1%.

Résumé : un élément de stockage équivaut à une exponentielle ; $V_{0}$ par continuité, $V_{F}$ par le circuit final, $\tau$ par la résistance source nulle ; $\tau = RC$ ou $L/R$; $5\tau$ est considéré comme stabilisé à des fins pratiques, et chaque réponse se vérifie aux deux bornes.