Méthodes mathématiques pour l'EE

Ceci est le deuxième cours d'Électrotechnique Universitaire : méthodes mathématiques** — l'ensemble d'outils sur lequel repose le reste du diplôme. Les circuits CC de wave 1 nécessitaient uniquement de l'algèbre ; dès les circuits CA, chaque méthode s'appuie sur quelque chose enseigné ici.

• Unités 2.1–2.3 rafraîchissent et étendent l'algèbre : calcul différentiel pour les signaux, nombres complexes, algèbre linéaire.
• Unités 2.4–2.6 constituent l'outil dynamique : équations différentielles, transformées de Laplace séries de Fourier.
• Unités 2.7–2.8 gèrent aléatoire et champs : probabilités pour le bruit, calcul vectoriel pour l'électromagnétisme. L'habitude est la même que celle utilisée dans tout le cursus : vérifier numériquement chaque réponse symbolique

Chaque unité débute par une histoire, présente une image avant l'idée formelle, définit les termes précisément, déduit ce que citent les cours ultérieurs, travaille deux exemples croissants dont les nombres sont vérifiés par machine, nomme les erreurs classiques, et conclut par un résumé en trois lignes. L’habitude est la même que celle de toute la formation : vérifier numériquement chaque réponse symbolique à une valeur concrète — une intégrale par une somme, un système résolu par substitution, une paire de transformée en calculant les deux côtés.

Un tracé d’oscilloscope monte doucement de 0 à 5 V puis s’aplatit. Le courant entrant dans un condensateur à tout instant dépend de la vitesse à laquelle le tracé se déplace — la pente — et la charge délivrée sur un intervalle est la surface sous le tracé du courant. Les signaux sont des fonctions du temps, et le calcul les lit : la dérivée $dv/dt$ est la pente — taux de variation instantané ; l’intégrale $\int i\,dt$ est l’aire accumulée.

Pour les travaux d'EE à venir, trois faits font la majorité du travail :

• La dérivée de $e^{at}$ est $a\cdot e^{at}$ — les taux exponentiels sont leurs propres pentes.
• L'intégrale d'une impulsion rectangulaire (hauteur $A$, largeur $τ$) est une aire $Aτ$.
• L’aire d’un triangle est la moitié du rectangle qui l’enveloppe — et $\int_0^\infty A e^{-t/τ}\,dt = Aτ$ (l’exponentielle décroît sur sa constante de temps, donc la « largeur effective » est $τ$).

Dérivation de $e^{at}$'s auto-pente. La définition par limite : $\frac{d}{dt}e^{at} = \lim_{h\to 0}\frac{e^{a(t+h)} - e^{at}}{h} = e^{at}\lim_{h\to 0}\frac{e^{ah} - 1}{h} = e^{at}\cdot a$ — les facteurs exponentiels se factorisent hors de leur propre rapport de variation, qui est la raison pour laquelle les circuits variant comme $e^{at}$ restent ainsi sous différentiation.

Exemple résolu 1 (la rampe linéaire, vérifiée). Un condensateur se charge linéairement de 0 à 5 V en 2 s ($v = 2.5t$) : avec $C = 100\ \mu F$, $i = C\,dv/dt = 100\mu \times 2.5 = 250\ \mu A$ — constant, car la pente de la rampe est constante. La charge fournie est $\int i\,dt = 250\mu \times 2 = 500\ \mu C$, ce qui équivaut également à $C \times \Delta V = 100\mu \times 5$. Deux méthodes, une seule réponse — c'est là l'habitude de vérification.

Exemple résolu 2 (l'impulsion exponentielle, amplifiée). Une impulsion de capteur décroît selon $i(t) = 5 e^{-t/0.2}$ mA (pic 5 mA, constante de temps $τ = 0.2$ s). La charge totale est l'aire $\int_0^\infty 5e^{-t/0.2} dt = 5 \times 0.2 = 1.0$ mC — mise en œuvre du règle de « largeur effective ». La pente maximale se situe à $t = 0$ : $\frac{di}{dt} = -\frac{5}{0.2} = -25$ mA/s. Vérification par sommation grossière : un rectangle de hauteur 5 mA sur une largeur 0.2 s donne exactement la même 1.0 mC — ce qui n'est pas une coïncidence mais signifie $τ$.

Erreurs courantes. Différencier la valeur d'une rampe au lieu de sa pente (une valeur constante 5 V ne signifie pas un courant constant — seule une pente constante le fait). Oublier que l'intégration est signée : l'aire sous l'axe est soustraite. Omettre les unités dans l'intégrale ($\mu A \times s = \mu C$, toujours).

Résumé : dérivée = pente, intégrale = aire signée ; les exponentielles sont leurs propres pentes ; l'aire d'une impulsion est hauteur × largeur effective ($τ$ pour une décroissance exponentielle) — et chaque réponse porte une unité.

Une tension alternative est 230 V et une phase ; un seul nombre ne peut contenir les deux, mais un point dans le plan peut. Un nombre complexe $z = a + jb$ (avec $j^{2} = -1$) possède une partie réelle, une partie imaginaire, un module $|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ et un argument $θ = \text{atan2}(b, a)$. Les deux formes sont interchangeables :

— Identité d'Euler, le pont utilisé partout en EE. La multiplication ajoute arguments : $r_{1}e^{jθ_{1}} \cdot r_{2}e^{jθ_{2}} = r_{1}r_{2} e^{j(θ_{1}+θ_{2})}$ — une rotation et un changement d'échelle, ce qui correspond exactement à la déphasage et au changement d'amplitude d'un sinusoidale.

Exemple résolu 1 (division de deux phasors, vérifiée par l'inverse). Diviser $6\angle 30^{\circ}$ par $2\angle 80^{\circ}$ : en forme polaire, le résultat est $3\angle -50^{\circ}$ directement — modules divisés, arguments soustraits. Effectuer la même opération en forme rectangulaire implique rationaliser $(5.196 + j3)/(0.347 + j1.970)$ — possible, mais la voie polaire explique pourquoi EE fonctionne avec des phasors. Une troisième vérification : $3\angle -50^{\circ} \times 2\angle 80^{\circ} = 6\angle 30^{\circ}$ — l'opération inverse doit ramener au point de départ.

Exemple résolu 2 (un polynôme du second degré à racines complexes, approfondi). Un amorti $s^{2} + 2s + 5 = 0$. En forme polaire, chaque racine est $s = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = -1 \pm j2$. Sous forme polaire, les racines forment la paire conjuguée $2.236\angle \pm 116.6^{\circ}$ (module $\sqrt{1+4} = 2.236$). Vérifier par substitution : Erreurs courantes. Additionner les modules au lieu d'additionner les nombres complexes (les modules ne s'additionnent pas ; les parties rectangulaires sí). Utiliser des degrés dans $(-1+j2)^{2} + 2(-1+j2) + 5 = (-3 - j4) + (-2 + j4) + 5 = 0$ formules qui supposent La partie réelle $-1$ est le taux de décroissance et la partie imaginaire $2$ rad/s représente l'oscillation. fréquence — un seul nombre complexe portant les deux comportements, c'est pourquoi le reste du degré les maintient ensemble.

Erreurs fréquentes. Additionner les modules au lieu d'additionner les nombres complexes (les modules ne pas s'additionnent ; ce sont les parties rectangulaires qui le font). Utiliser des degrés dans les formules $e^{jθ}$ qui supposent des radians. Confondre le sens de rotation $j$ : multiplier par $j$ fait tourner $+90°$, par $-j$ fait tourner $-90°$.

et diviser ; l'identité d'Euler est le pont ; les racines des quadratiques comportent une décroissance dans la partie réelle et une fréquence dans la partie imaginaire. Trois courants de maille dans un circuit couplé signifient trois équations à trois inconnues —

et la structure de la solution n'est pas une « substitution ingénieuse » mais une matrice. Un et la structure de la solution n'est pas une « substitution ingénieuse » mais une matrice. Une $Ax = b$ n'existe que lorsque le déterminant est non nul. Pour le $A^{-1}$ n'existe que si le déterminant est non nul. Pour le 2×2 cas :

Le déterminant $ad - bc = 0$ signifie que les équations sont singulières — pas de solution unique, et dans les circuits, cela correspond à une boucle de source dépendante ou un nœud flottant.

Dérivation de l'inverse de 2×2. Multiplier $A$ par son candidat : $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} ad-bc & 0 \\ 0 & ad-bc \end{pmatrix} = I$ — le motif d'échange et de négation existe précisément parce que ces termes croisés s'annulent.

Exemple résolu 1 (l'élimination et l'inverse concordent). Résoudre $x + 2y = 8$, $3x + y = 9$. Élimination : soustraire 3×ligne1 à la ligne2 → $-5y = -15$, donc $y = 3$, $x = 2$. Vérifier par l'inverse : det $= 1\cdot1 - 2\cdot3 = -5$; $A^{-1} = \frac{1}{-5}\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$; $x = (1\cdot8 - 2\cdot9)/{-5} = 2$ ✓, $y = (-3\cdot8 + 1\cdot9)/{-5} = 3$ ✓. Les deux voies concordent ; chacune constitue la vérification de l'autre.

Exemple résolu 2 (le système des mailles, résolu par machine, généralisé). Le circuit EE01 à deux mailles se ferme sous la forme d'une seule équation matricielle $\begin{pmatrix} 6 & -4 \\ -4 & 10 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} i_A \\ i_B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ -3 \end{pmatrix}$. Élimination (ou l' inverse ; det $= 60 - 16 = 44$) donne $i_A = 2.455$ A, $i_B = 0.682$ A — vérifié des termes hors-diagonale, et plus le couplage est fort, plus le déterminant s'éloigne du produit des diagonales. Maintenant le cas singulier : $-4$, les termes hors-diagonale, et plus le couplage est fort, plus le déterminant s'éloigne du produit des diagonales. Maintenant le cas singulier : $x + 2y = 8$, Erreurs courantes. Mélanger l'ordre des lignes entre $2x + 4y = 16$ et $1\cdot4 - 2\cdot2 = 0$. Supposer qu'un déterminant non nul garantit une solution facile — il garantit l'unicité, mais pas

Erreurs courantes. Inverser l'ordre des lignes entre $A$ et $b$. Supposer qu'un déterminant non nul garantit une solution facile — il garantit l'unicité, pas convenance. Oublier que des systèmes singuliers peuvent n'avoir aucune solution (plans parallèles) ou une infinité de solutions (plans dépendants) : le déterminant ne peut pas indiquer lequel. plans) ou une infinité (plans dépendants) : le déterminant ne peut pas indiquer lequel.

Résumé : $Ax = b$ avec det ≠ 0 a exactement une solution ; l'élimination la calcule, l'inverse la redérive, et la substitution la vérifie ; le couplage réside dans les hors-diagonales ; det = 0 signifie que la géométrie s'est effondrée.

L'interrupteur se ferme à $t = 0$ et la tension du condensateur glisse vers sa nouvelle valeur — la réponse RC d'onde 1 était un exemple d'un modèle que cette unité généralise. Les équations du circuit sont des équations différentielles ordinaires. Une première ODE linéaire à coefficients constants,

a pour solution la partie homogène $Ce^{-at}$ + partie particulière forcée par $f$. Le terme homogène porte la condition initiale.

Pourquoi la solution prend cette forme. Pour $\frac{dy}{dt} = -a(y - y_\infty)$, réécrire sous la forme $\frac{dy}{y - y_\infty} = -a\,dt$ : chaque côté est maintenant intégrable, ce qui donne $\ln(y - y_\infty) = -at + C$, c'est-à-dire $y - y_\infty = \tilde C e^{-at}$. L'écart par rapport à la valeur finale décroît exponentiellement — tout système du premier ordre glisse selon sa propre courbe de pourcentage.

Exemple résolu 1 (RC en échelon résolu, vérification aux bornes). $dy/dt + 2y = 10$, $y(0) = 1$. Homogène : $Ce^{-2t}$. Particulier (entrée constante → sortie résultat) : $y_{p} = 10/2 = 5$. Donc $y = 5 + Ce^{-2t}$ ; $y(0) = 5 + C = 1$ donne $C = -4$ : $y = 5 - 4e^{-2t}$. Vérifications : en $t = 0$, $y = 1$ ✓ ; lorsque $t \to \infty$, $y \to 5$ et $dy/dt \to 0$, donc l'équation s'écrit $0 + 2(5) = 10$ ✓. C'est la équation RC de valeur unitaire 1.7 sous forme générale — la méthode, et non le circuit, ce que ce cours enseigne.

Exemple résolu 2 (une entrée décroissante, vérifiée machine, améliorée). Résoudre $\frac{dy}{dt} + 3y = 6e^{-t}$, $y(0) = 2$. Essayer une solution particulière $y_p = ke^{-t}$ : $-ke^{-t} + 3ke^{-t} = 2ke^{-t} = 6e^{-t}$ donne $k = 3$. Donc $y = 3e^{-t} + Ce^{-3t}$; $y(0) = 3 + C = 2$ gives $C = -1$: $y = 3e^{-t} - e^{-3t}$. Vérifier à $t = 0.5$ : vérifier également la limite pour grand $y = 3(0.6065) - 0.2231 = 1.596$, où l'équation doit être équilibrée avec $dy/dt + 3y = -1.150 + 3(1.596) = 3.639$, et le côté droit est $6e^{-0.5} = 3.639$ — égal à la précision machine. La réponse suit deux exponentielles, celle de l'entrée $(-1)$ et celle du système $(-3)$.

Erreurs courantes. Résoudre l'équation homogène et oublier la partie particulière entièrement. Laisser la condition initiale choisir $k$ dans la partielle hypothèse (seule la constante homogène est libre). Ne vérifier que $t = 0$ : vérifier aussi la limite grand-$t$, où l'équation doit être équilibrée avec $dy/dt \approx 0$.

Résumé : homogène + particulier ; la condition initiale sélectionne dans la famille ; la séparation des variables explique la forme exponentielle ; vérifications aux bornes sur les deux les extrémités sont libres.

Résoudre des EDO à la main fonctionne pour une équation ; un circuit avec trois éléments de stockage en nécessite trois. La transformée de Laplace convertit la dérivation éléments nécessitent trois. La transformée de Laplace convertit la différentiation en multiplication par $s$, transformant des systèmes entiers en algèbre :

Dériver la paire clé. $\int_0^\infty e^{at}e^{-st}dt = \int_0^\infty e^{-(s-a)t}dt = \frac{1}{s-a}$ (for $\text{Re}\,s > a$) — l'exponentielle absorbe sa propre décroissance, laissant un pôle simple. Ce seul calcul génère la plupart des Chaque courbe temporelle correspond à un pôle ; la position du pôle prédit la décroissance

décomposent une rationnelle $\mathcal{L}\{dy/dt\} = sY - y(0)$ en parties inversibles. entre algébriquement) ; $\mathcal{L}\{1\} = 1/s$ ; et les fractions partielles décomposent une rationnelle $F(s)$ en pièces inversibles.

Worked example 1 (the unit-2.4 ODE, by transform). Solve $dy/dt + 2y = 10$, $y(0) = 1$. Transformée : $sY - 1 + 2Y = 10/s$, donc $Y = (10/s + 1)/(s + 2) = 10/[s(s+2)] + 1/(s+2)$. Partial fractions: $10/[s(s+2)] = 5/s - 5/(s+2)$. Donc $Y = 5/s - 4/(s+2)$, et en inversant terme à terme : $y = 5 - 4e^{-2t}$ — identique à la voie classique, où la condition initiale est gérée par un comptage plutôt que par une algèbre finale. Les pôles de $Y$ (ici $s = 0, -2$) prédisent le comportement : une constante et une exponentielle décroissante.

Exemple résolu 2 (second ordre, vérifié machine, élargi). $\frac{d^2y} {dt^2} + 3\frac{dy}{dt} + 2y = 0$, $y(0) = 1$, $y'(0) = 0$. Transformé : $(s^{2} + 3s + 2)Y = s + 3$ (la règle de dérivation appliquée deux fois), donc $Y = \frac{s+3}{(s+1)(s+2)} = \frac{2}{s+1} - \frac{1}{s+2}$. Invert: $y = 2e^{-t} - e^{-2t}$. Checks: $y(0) = 2 - 1 = 1$ ✓; $y'(0) = -2 + 2 = 0$ ✓; $y(1) = 0.736 - 0.135 = 0.600$ (machine-verified). The two poles $-1, -2$ sont les deux décroissances, avec le pôle plus lent $-1$ dominant la queue — l'observation selon laquelle les cours ultérieurs se transforment en approximations à pôle dominant. les cours se transforment en approximations par pôles dominants.

entièrement décomposées : $-y(0)$ doit devenir deux termes simples avant toute cousins du second ordre $-y'(0) - s\,y(0)$). Inverser une $Y$ dont les fractions ne sont pas décomposition complète : $\frac{s+3}{(s+1)(s+2)}$ doit se scinder en deux termes simples avant toute recherche dans une table. Interpréter un zéro au numérateur comme un pôle (un zéro bloque ; un pôle décroît).

Résumé : la dérivation → multiplication par $s$, conditions initiales incluses ; les fractions partielles décomposent $Y$ ; les pôles prédisent l'évolution temporelle ; la transformée et ainsi chaque coefficient peut être isolé indépendamment, comme une batterie de circuits accordés

Une forme d'onde secteur distordue chauffe une résistance exactement comme une combinaison quelconque de sinusoïdes pures le ferait — et cette combinaison n'est pas une devinette mais un calcul. Tout signal périodique est une somme de sinusoïdes. Pour la période $T$, fondamental $ω_{0} = 2π/T$, la série de Fourier est

avec chaque $a_{n}$, $b_{n}$ est une moyenne de $f$ contre la sinusoïde correspondante (orthogonalité : des sinusoïdes distinctes ont une moyenne nulle l'une par rapport à l'autre — ainsi chaque coefficient peut être isolé indépendamment, comme dans un banc de filtres accordés filtres).

Exemple résolu 1 (l'onde carrée, vérifiée au point magique). Une onde carrée, ±1, période $T$, symétrie impaire : tous les $a_{n} = 0$, et $b_{n} = 4/(nπ)$ pour les harmoniques $n$ — la série $\frac{4}{\pi}(\sin\omega_0 t + \frac{1}{3}\sin 3\omega_0 t + \frac{1}{5}\sin 5\omega_0 t + \dots)$. The check that convinces: at $t = T/4$ la somme doit donner 1, et $\frac{4}{\pi}(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \dots)$ est la série de Gregory pour $π/4$ mise à l'échelle — elle converge vers 1, exactement comme le requiert l'onde carrée. Chaque amplitude harmonique décroît selon $1/n$ : des bords plus nets nécessitent plus d' harmoniques, ce qui constitue l'essentiel du filtrage.

Exemple résolu 2 (puissance dans les harmoniques, vérifié par ordinateur, amplifié). Une onde carrée ±1 V aux bornes d'une résistance 1 Ω fournit une puissance moyenne 1 W (la moyenne d'une constante amplitude constante). Le théorème de Parseval exige que les puissances harmoniques s'additionnent pour former cette même 1 W : $\sum_{n\ \text{odd}} \frac{1}{2}\big(\frac{4}{n\pi}\big)^{2} = \frac{8}{\pi^{2}} \big(1 + \frac{1}{9} + \frac{1}{25} + \dots\big)$. En sommant les premiers 20 harmoniques impairs, on obtient 0.990 W ; la série complète converge exactement vers 1 W (la somme des inverses des carrés impairs étant $π^{2}/8$, ce qui rend la puissance totale $\frac{8}{\pi^{2}}\cdot\frac{\pi^{2}}{8} = 1$). L'interprétation pratique : le fondamental seul transporte $\frac{8}{\pi^{2}} \approx 81\%$ de la puissance — un filtre passe-bas ne laissant passer que le premier harmonique délivre encore la majeure partie de l' énergie, et le troisième harmonique d'amplitude 1/3 n'ajoute que 9%.

Erreurs courantes. Utiliser $1/T$ (hertz) au lieu de $ω_0 = 2π/T$ (rad/s) comme fondamentale Oublier le $\frac{1}{2}$ dans la puissance de chaque harmonique (le carré moyen d'un sinus est la moitié de son carré crête). Supposer une symétrie paire partout : déplacer l'origine et les coefficients changent — le spectre appartient à la fonction telle qu'elle est placée. la racine carrée du carré moyen est la moitié du carré crête). En supposant une symétrie paire partout : déplacer l'origine et changer les coefficients — le spectre appartient à la fonction telle qu' positionnée.

Résumé : les signaux périodiques se décomposent en harmoniques ; l'orthogonalité sélectionne chaque coefficient indépendamment ; les amplitudes décroissent selon $1/n$ aux discontinuités ; le théorème de Parseval contrôle la puissance ; le dépassement de Gibbs ne disparaît jamais.

Toute mesure est bruitée ; le bruit lui-même est un signal imprévisible, mais ses statistiques sont stables, et c'est cette stabilité que exploitent les instruments. Une ses statistiques sont stables, et cette stabilité est ce que les instruments exploitent. Une variable aléatoire possède une distribution de probabilité ; la gaussienne (normale) $N(\mu, \sigma^{2})$ modélise le bruit thermique :

Espérance $E[X]$ est la moyenne à long terme ; variance $Var(X) = E[X^{2}] - \mu^{2}$ représente l'étalement, et $\sigma$ — l'écart-type — correspond à l'amplitude du bruit affichée sur un oscilloscope. Deux règles effectuent la plupart des calculs : les variances indépendantes s'additionnent ($\sigma_{total} = \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}$), and the average of $n$ independent samples has standard deviation $\sigma/\sqrt{n}$.

Exemple résolu 1 (règle des 2σ et moyennage). Pour $X \sim N(0, \sigma^{2})$ avec $\sigma = 2$ mV : $E[X] = 0$, $Var = 4$ (mV)², $\sigma = 2$ mV. La probabilité de dépasser $\pm 2\sigma$ est de 4.55% (l'intervalle à deux queues de 95% est $\pm 1.96\sigma \approx \pm 3.9$ mV). Averaging 16 independent samples yields $2/\sqrt{16} = 0.5$ mV of noise — the entire rationale of instrument averaging.

Exemple résolu 2 (deux sources de bruit, calcul en dB, amplifié). Un étage d'amplificateur ajoute 2 mV de bruit à un signal qui porte déjà 3 mV provenant de l'étage précédent. Le bruit combiné n'est pas $3 + 2 = 5$ mV mais $\sqrt{3^{2} + 2^{2}} = \sqrt{13} = 3.61$ mV — les variances s'additionnent, pas les écarts-types, donc la source la plus faible contribue proportionnellement moins que sa valeur apparente. Amélioration du rapport signal sur bruit grâce au moyennage de ces mêmes 16 relevés : $20\log_{10}(4) = 12.0$ dB. L'interprétation du projet : seize lectures apportent 12 dB, et chaque gain supplémentaire de 6 dB coûte quatre fois plus de lectures (et quatre fois le temps de mesure) ; corriger la source de bruit dominante à sa source ne coûte aucun temps de mesure — diviser la valeur de 3 mV par 1.5 mV donnerait $\sqrt{1.5^{2} + 2^{2}} = 2.5$ mV, soit une amélioration de 3.2 dB sur chaque lecture individuelle.

Erreurs courantes. Additionner des écarts-types au lieu de variances. Confondre $\sigma$ et $\sigma^{2}$ dans les tableaux et formules (l'oscilloscope affiche σ ; les formules utilisent généralement σ²). Oublier qu'une amélioration de $\sigma/\sqrt{n}$ suppose l'indépendance — un bruit corrélé (ronflement secteur) ne se moyenne pas.

Résumé : le gaussien est le modèle de bruit ; σ est le bruit affiché par l'oscilloscope ; les variances indépendantes s'additionnent, le moyennage divise σ par √n ; attaquer la source dominante, puis les variances s'additionnent, le moyennage divise σ par √n ; cibler la source dominante, puis moyenne.

Une sonde de tension fournit une valeur à chaque point de l'espace — un véritable paysage de valeurs, et les équations de Maxwell d'EE07 sont des énoncés sur la géométrie de ce paysage. Les champs sont des fonctions vectorielles de position. Trois opérateurs agissant sur un champ $\mathbf{F}$ :

• Gradient $\nabla V$ : pointe dans la direction de la pente la plus raide d'un scalaire ; le champ électrique est $E = -\nabla V$.
• Divergence $\nabla \cdot \mathbf{F}$ : flux net sortant par unité de volume — densité de charge pour les champs électriques.
• Rotationnel $\nabla \times \mathbf{F}$ : circulation par unité de surface — zéro en électrostatique, mécanisme d'induction où il n'est pas nul.

Exemple résolu 1 (le gradient prédit la chute, vérifié numériquement). $V(x, y) = 3x^{2}y$ volts. $\nabla V = (6xy, 3x^{2})$ ; au point $(1, 2)$ : $\nabla V = (12, 3)$, donc $E = -(12, 3)$ V/m. La vérification : se déplacer d'une petite distance $\delta = (0.01, 0)$ depuis $(1, 2)$ — $V$ change de $\approx 6xy\cdot\delta x = 12 × 0.01 = 0.12$ V, and $-E·δ = 12 × 0.01 = 0.12$ V : le champ multiplié par le pas prédit la chute de potentiel, ce qui correspond exactement à la signification du gradient.

Exemple résolu 2 (divergence et rotation à la main, progression). Pour $\mathbf{F} = (x^{2},\ xy,\ 3x^{2}z)$: $\nabla\cdot\mathbf{F} = 2x + x + 3x^{2}$, lequel en $(1,1,1)$ il vaut $2 + 1 + 3 = 6$ — une source nette. Pour le champ circulant en $\mathbf{G} = (-y,\ x,\ 0)$ : la composante $z$ de la rotation est $\frac{\partial G_y}{\partial x} - \frac{\partial G_x}{\partial y} = 1 - (-1) = 2$ — rotation uniforme d'intensité 2 partout : le champ de vitesse d'un solide corps tournant à 1 rad/s, dont le rotationnel est égal au double de sa vitesse angulaire. Ces deux calculs sont les versions ponctuelles de lois de Gauss et de Stokes d'EE07.

Erreurs fréquentes. Prendre le gradient d'un vecteur ou la divergence d'un scalaire — le gradient s'applique aux scalaires, la divergence aux vecteurs. Erreurs de signe dans la rotation : la composante $z$ est $\partial F_y/\partial x - \partial F_x/\partial y$ ; les inverser inversent la rotation. Un champ uniforme a une divergence nulle ET une rotation nulle.

Résumé : le gradient correspond à la pente maximale (scalaire → vecteur), la divergence au flux net (vecteur → scalaire), la rotation à la circulation (vecteur → vecteur) ; une étape doit concilier $E \cdot \delta$ avec $\delta V$.