Champ d'application et prérequis
Basé sur le cadre du Digital SAT. Ces tâches imprimées ne sont pas adaptatives et ne prédisent pas de score normalisé.
- Utiliser l'aire, le volume et la similitude
- Appliquer les rapports du triangle rectangle et le théorème de Pythagore
- Utiliser les équations de cercle, les arcs et les relations d'angles
Prérequis : Somme des angles d'un triangle ; Pythagore ; unités de longueur/aire/volume.
Expliquer et choisir la méthode
La similitude conserve les angles correspondants et les rapports de longueurs. Les aires sont multipliées par k² et les volumes par k³.
Pour un triangle rectangle, sin = opposé/hypoténuse, cos = adjacent/hypoténuse, et tan = opposé/adjacent.
Un cercle de centre (h,k) et de rayon r a pour équation (x−h)²+(y−k)²=r².
Un tour complet est 360° ou 2 radians. La longueur d'un arc est rθ uniquement si θ est en radians.
Un facteur d'échelle $k$ modifie chaque longueur correspondante. $A_2=k^2A_1$ et $V_2=k^3V_1$ pour des figures similaires. Si $k=3/2$ et $A_1=24\,\mathrm{cm^2}$, alors $A_2=(3/2)^2(24\,\mathrm{cm^2})=54\,\mathrm{cm^2}$. Le changement d'une seule dimension ne justifie pas ces règles de similarité.
Exemple résolu. Un triangle rectangle a pour côtés de l'angle droit 6 et 8. c²=6²+8²=100, donc c=10. Pour l'angle opposé à 6, sin θ=6/10=0.6. Un triangle semblable agrandi d'un facteur 3 a une surface neuf fois plus grande que l'original.
Matériel d'entraînement
Chaque question de pratique ci-dessous énonce toutes les données nécessaires.
Entraînement au raisonnement
Cet aperçu présente les compétences. Chacune dispose de sa propre fiche de cours et de sa feuille d'exercices : 18 et 19. Travaillez-les dans cet ordre.
Entraînement 1
Des contenants similaires ont des surfaces 96 et 216 centimètres carrés. Le plus petit volume est 160 centimètres cubes. Trouvez le plus grand volume.
Raisonnement. $k=\sqrt{A_2/A_1}=\sqrt{216/96}=3/2$. Le volume utilise le cube : $V_2=k^3V_1=(3/2)^3(160\,\mathrm{cm^3})=540\,\mathrm{cm^3}$. Utiliser directement le rapport des aires donnerait un volume incorrect.
Pratique 2
Un triangle rectangle a une hypoténuse de 13 cm et un côté de l'angle droit de 5 cm. Trouvez l'autre côté, son aire et le sinus de l'angle opposé au côté de 5 cm.
Raisonnement. $b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{(13\,\mathrm{cm})^2-(5\,\mathrm{cm})^2}=12\,\mathrm{cm}$. $A=ab/2=(5\,\mathrm{cm})(12\,\mathrm{cm})/2=30\,\mathrm{cm^2}$. $\sin\theta=a/c=(5\,\mathrm{cm})/(13\,\mathrm{cm})=5/13$.
Pratique 3
Deux angles intérieurs d'un triangle sont 42° et 73°. Trouvez le troisième angle et son angle extérieur adjacent. Ces seuls angles suffiraient-ils à déterminer toutes les longueurs des côtés ?
Raisonnement. Le troisième angle mesure $180-42-73=65$ degrés. Son angle extérieur adjacent mesure $180-65=115$ degrés, soit aussi $42+73$. Les angles déterminent la forme, pas l'échelle ; les triangles semblables peuvent avoir des longueurs de côtés différentes.
Entraînement 4
Deux droites parallèles sont coupées par une sécante. Un angle correspondant mesure 68°. Trouver l'angle correspondant correspondant et l'angle adjacent sur la deuxième droite. Expliquer quelle condition donnée justifie chaque étape.
Raisonnement. La parallelisme donne l'angle correspondant correspondant 68°. La paire adjacente forme un angle plat, donc l'autre est 180°−68°=112°. Des angles correspondants égaux exigent les lignes parallèles énoncées ; la somme de l'angle plat utilise l'adjacence sur une droite. Un croquis ressemblant sans parallélisme ne justifierait pas la première égalité.
Limites et prochaine utilisation
Le rayon et le diamètre diffèrent par un facteur de deux. Utiliser le diamètre dans πr² rend la surface quatre fois trop grande.
Il s'agit de tâches pratiques originales écrites pour ce cours, et non de questions d'examen officielles.