Champ d'application et prérequis
Basé sur le cadre du Digital SAT. Ces tâches imprimées ne sont pas adaptatives et ne prédisent pas de score normalisé.
- Transformer des expressions polynomiales et rationnelles équivalentes
- Résoudre des équations et systèmes non linéaires
- Interpréter les fonctions quadratiques et exponentielles
Prérequis : Loi distributive ; différence de deux carrés ; racines carrées réelles.
Expliquer et choisir la méthode
Factoriser une fonction quadratique lorsque c'est possible. La règle du produit nul s'applique à un produit égal à zéro.
La méthode de complétion du carré révèle un sommet : x²−6x+5=(x−3)²−4.
Pour les expressions rationnelles, noter les valeurs exclues du dénominateur avant de simplifier les facteurs.
Un modèle exponentiel multiplie par un facteur fixe par intervalle. Une augmentation de 20% signifie multiplier par 1.2, pas ajouter 0.2.
Les expressions équivalentes doivent coïncider sur le domaine spécifié. $E(x)=(x^2-25)/(x-5)=(x+5)$ uniquement pour $x\ne5$. La simplification élimine un facteur, mais elle ne peut pas restaurer une valeur d'entrée exclue. Aussi $\sqrt{x^2}=|x|$, car la racine carrée principale ne peut pas être négative.
Exemple résolu. Résoudre x²−5x+6=0. Factorisation : (x−2)(x−3)=0. Ainsi x=2 ou 3. Si plutôt (x²−5x+6)/(x−2)=0, alors x=2 est exclu ; seul 3 reste.
Matériel d'entraînement
Chaque question de pratique ci-dessous énonce toutes les données nécessaires.
Entraînement au raisonnement
Cet aperçu présente les compétences. Chacune dispose de sa propre fiche d'aide et de sa feuille d'exercices : 10, 11 et 12. Travaillez-les dans cet ordre.
Entraînement 1
Simplifier $F(x)=(x^2-4x)/(x^2-16)$. Énoncer toutes les restrictions originales et expliquer pourquoi $F$ n'est pas identique à $x/(x+4)$ sur tout le domaine de cette dernière formule.
Raisonnement. Factoriser le numérateur $x(x-4)$ et le dénominateur $(x-4)(x+4)$. Le domaine original exclut $x=4,-4$. La simplification donne $F(x)=x/(x+4)$ pour $x\ne4,-4$. Cette dernière formule seule admet $4$, où elle donne $1/2$, tandis que $F(4)$ est indéfini.
Pratique 2
Trouver le coefficient de $x$ dans $(3x-2)(x+5)$ et évaluer $\sqrt{(x-5)^2}$ lorsque $x=1$.
Raisonnement. Le développement donne $3x^2+15x-2x-10=3x^2+13x-10$, donc le coefficient est 13. La racine est $|x-5|$ ; à $x=1$, elle vaut $|-4|=4$, et non $-4$ ou 16.
Pratique 3
Un élève teste $x=2$ et conclut que $x^2$ et $2x$ sont équivalents. Réfuter cette conclusion et résoudre où ils coïncident réellement.
Raisonnement. À $x=3$, les sorties sont 9 et 6, donc un seul test correspondant ne constitue pas une preuve. Résoudre $x^2=2x$ comme $x(x-2)=0$, ne donne que $x=0,2$.
Limites et prochaine utilisation
Élever une équation au carré peut introduire des racines extra-à-sens. Substituer dans l'équation originale, et non seulement dans celle transformée.
Il s'agit de tâches pratiques originales écrites pour ce cours, et non de questions d'examen officielles.