Champ d'application et prérequis
Basé sur le cadre du Digital SAT. Ces tâches imprimées ne sont pas adaptatives et ne prédisent pas de score normalisé.
- Appliquer le redimensionnement de longueur, d'aire et de volume aux figures similaires
- Utiliser les angles de lignes parallèles et la somme des triangles pour trouver les inconnues
- Distinguer la similarité de la congruence et de l'information adéquate
Prérequis : Somme des angles d'un triangle ; Pythagore ; unités de longueur/aire/volume.
Expliquer et choisir la méthode
Pour des figures similaires avec un facteur d'échelle linéaire k, les longueurs correspondantes s'échellent par k, les aires par k² et les volumes par k³. Ces lois s'appliquent lorsque toutes les dimensions correspondantes changent ensemble. Un cylindre dont seul le rayon est doublé et la hauteur fixe a un volume quadruplé, non octuplé. Indiquer quelles dimensions sont mises à l'échelle avant de choisir la puissance.
Utiliser la mesure géométrique correcte : l'aire du triangle est la moitié de la base fois la hauteur perpendiculaire ; le volume du cylindre est l'aire de la base fois la hauteur. La surface totale ajoute les faces exposées, tandis que le volume mesure l'espace enfermé. Une longueur inclinée n'est pas automatiquement la hauteur perpendiculaire requise par une formule d'aire. Ajouter des unités carrées ou cubiques au résultat.
Les angles opposés par le sommet sont égaux. Pour des lignes parallèles coupées par une sécante, les angles correspondants et alternes-internes sont égaux, et les angles internes du même côté s'additionnent à 180°. La somme des angles intérieurs d'un triangle est de 180° ; son angle extérieur est égal à la somme des deux angles intérieurs opposés. Ces règles dépendent de la parallélisme déclaré ou marqué, pas de l'apparence du dessin.
Les triangles similaires partagent des angles correspondants et des côtés correspondants proportionnels ; les triangles congruents ont aussi des longueurs correspondantes égales. Deux angles établissent la similarité mais pas l'égalité de taille. Maintenir la correspondance lors de l'écriture d'un rapport. Un arrangement côté-côté-angle ne garantit pas universellement la congruence, alors que côté-angle-côté inclut l'angle entre les deux côtés.
Un facteur d'échelle $k$ modifie chaque longueur correspondante. $A_2=k^2A_1$ et $V_2=k^3V_1$ pour des figures similaires. Si $k=3/2$ et $A_1=24\,\mathrm{cm^2}$, alors $A_2=(3/2)^2(24\,\mathrm{cm^2})=54\,\mathrm{cm^2}$. Le changement d'une seule dimension ne justifie pas ces règles de similarité.
Exemple résolu. Deux solides semblables ont un rapport de arêtes 2:3, donc un rapport de surfaces 4:9 et un rapport de volumes 8:27. Un jardin triangulaire de base 12 m et de hauteur perpendiculaire 5 m a une aire de 30 m². Si un triangle a des angles intérieurs de 48° et 67°, son troisième angle est 65° et l'angle extérieur adjacent est 115°=48°+67°.
Matériel d'entraînement
Chaque question de pratique ci-dessous énonce toutes les données nécessaires.
Entraînement au raisonnement
Entraînement 1
Des contenants similaires ont des surfaces 96 et 216 centimètres carrés. Le plus petit volume est 160 centimètres cubes. Trouvez le plus grand volume.
Raisonnement. $k=\sqrt{A_2/A_1}=\sqrt{216/96}=3/2$. Le volume utilise le cube : $V_2=k^3V_1=(3/2)^3(160\,\mathrm{cm^3})=540\,\mathrm{cm^3}$. Utiliser directement le rapport des aires donnerait un volume incorrect.
Pratique 2
Un triangle rectangle a une hypoténuse de 13 cm et un côté de l'angle droit de 5 cm. Trouvez l'autre côté, son aire et le sinus de l'angle opposé au côté de 5 cm.
Raisonnement. $b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{(13\,\mathrm{cm})^2-(5\,\mathrm{cm})^2}=12\,\mathrm{cm}$. $A=ab/2=(5\,\mathrm{cm})(12\,\mathrm{cm})/2=30\,\mathrm{cm^2}$. $\sin\theta=a/c=(5\,\mathrm{cm})/(13\,\mathrm{cm})=5/13$.
Pratique 3
Deux angles intérieurs d'un triangle sont 42° et 73°. Trouvez le troisième angle et son angle extérieur adjacent. Ces seuls angles suffiraient-ils à déterminer toutes les longueurs des côtés ?
Raisonnement. Le troisième angle mesure $180-42-73=65$ degrés. Son angle extérieur adjacent mesure $180-65=115$ degrés, soit aussi $42+73$. Les angles déterminent la forme, pas l'échelle ; les triangles semblables peuvent avoir des longueurs de côtés différentes.
Entraînement 4
Deux droites parallèles sont coupées par une sécante. Un angle correspondant mesure 68°. Trouver l'angle correspondant correspondant et l'angle adjacent sur la deuxième droite. Expliquer quelle condition donnée justifie chaque étape.
Raisonnement. La parallelisme donne l'angle correspondant correspondant 68°. La paire adjacente forme un angle plat, donc l'autre est 180°−68°=112°. Des angles correspondants égaux exigent les lignes parallèles énoncées ; la somme de l'angle plat utilise l'adjacence sur une droite. Un croquis ressemblant sans parallélisme ne justifierait pas la première égalité.
Limites et prochaine utilisation
Utilisez k² ou k³ uniquement lorsque toute la figure est mise à l'échelle ; ne déduisez pas de lignes parallèles ou d'une hauteur perpendiculaire à partir d'un croquis sans marquage.
Il s'agit de tâches pratiques originales écrites pour ce cours, et non de questions d'examen officielles.