Champ d'application et prérequis
Basé sur le cadre du Digital SAT. Ces tâches imprimées ne sont pas adaptatives et ne prédisent pas de score normalisé.
- Récupérer le centre et le rayon du cercle en complétant le carré
- Convertir les angles centraux et calculer la longueur d'arc et l'aire du secteur
- Utiliser les relations tangente, angle inscrit et cercle unité
Prérequis : Compléter le carré ; rayon ; radians ; rapports de triangle rectangle.
Expliquer et choisir la méthode
Un cercle avec un centre (h,k) et un rayon r satisfait (x-h)²+(y-k)²=r². Pour une équation développée, compléter le carré en x et y et ajouter les constantes d'équilibre de l'autre côté. Le côté droit résultant doit être positif pour un cercle réel non dégénéré. Garder le rayon distinct de son carré.
Un angle central θ en radians donne une longueur d'arc rθ et une aire de secteur r²θ/2. En degrés, utilisez la fraction θ/360 de la circonférence ou de l'aire totale. Un tour complet fait 2π radians=360°. Les formules rθ et r²θ/2 nécessitent des radians ; insérer des degrés sans conversion donne une échelle erronée.
Une tangente à un point d'un cercle est perpendiculaire au rayon en ce point. Un angle inscrit est la moitié de l'angle au centre interceptant le même arc ; un angle interceptant un diamètre est un angle droit. Identifiez l'arc commun et le centre avant d'appliquer ces énoncés. Une corde n'est pas une tangente et n'est pas nécessairement perpendiculaire à un rayon, sauf si des conditions supplémentaires l'établissent.
Sur le cercle unité, un point à l'angle θ a pour coordonnées (cos θ, sin θ), donc cos²θ+sin²θ=1. Les signes dépendent du quadrant. Pour les angles aigus complémentaires, sin θ=cos(90°-θ). Utilisez les triangles particuliers pour les valeurs exactes : à 30°, le sinus est 1/2 et le cosinus √3/2 ; à 45°, les deux sont √2/2.
Complétez les deux carrés dans l'équation d'un cercle. $x^2+y^2+6x-8y=0$ devient $(x+3)^2+(y-4)^2=25$. Le centre est $(-3,4)$ et le rayon est 5. La longueur d'arc est $s=r\theta$ seulement pour un angle en radians $\theta$.
Exemple résolu. x²+y²-4x+6y-12=0 devient (x-2)²+(y+3)²=25, donnant le centre (2,-3), rayon 5. Pour un rayon 6 et un angle central π/3, la longueur de l'arc est 2π et l'aire du secteur 6π. Un angle inscrit sur ce même arc de 60° mesure 30°. À 150°, le cosinus vaut -√3/2 et le sinus 1/2 car le point se trouve dans le quadrant II.
Matériel d'entraînement
Chaque question de pratique ci-dessous énonce toutes les données nécessaires.
Entraînement au raisonnement
Entraînement 1
Trouver le centre et le rayon de $x^2+y^2-8x+2y+8=0$. Le point $(7,-1)$ se trouve-t-il dessus ?
Raisonnement. Compléter les carrés pour obtenir $(x-4)^2+(y+1)^2=9$. Centre $(4,-1)$, rayon 3. La substitution de $(7,-1)$ donne $3^2+0^2=9$, donc il est sur le cercle.
Pratique 2
Un secteur a un rayon de 8 cm et un angle de 135°. Trouvez son angle en radians, sa longueur d'arc et son aire. Un angle inscrit ailleurs sur le cercle intercepte cet même arc ; trouvez-le.
Raisonnement. $\theta=135\pi/180=3\pi/4$ radians. $s=r\theta=(8\,\mathrm{cm})(3\pi/4)=6\pi\,\mathrm{cm}$. $A=r^2\theta/2=(8\,\mathrm{cm})^2(3\pi/4)/2=24\pi\,\mathrm{cm^2}$. L'angle inscrit est la moitié de l'angle au centre : 67.5 degrés.
Pratique 3
Un point du cercle unité se trouve dans le quadrant III et a une valeur de $y=-1/2$. Trouver sa coordonnée $x$ et un angle compris entre 0° et 360°.
Raisonnement. $x^2+y^2=1$ donne $x^2=3/4$. Le quadrant III exige $x<0$, donc $x=-\sqrt3/2$. Le point est situé à 210 degrés, avec un angle de référence de 30 degrés.
Limites et prochaine utilisation
Vérifiez les unités degrés/radians, les signes du centre et si l'angle est central ou inscrit avant d'appliquer la formule.
Il s'agit de tâches pratiques originales écrites pour ce cours, et non de questions d'examen officielles.