Champ d'application et prérequis
Basé sur le cadre du Digital SAT. Ces tâches imprimées ne sont pas adaptatives et ne prédisent pas de score normalisé.
- Utiliser des relations proportionnelles tout en conservant les unités
- Convertir des taux et distinguer les relations directes des relations inverses
- Calculer des changements successifs et des comparaisons en pourcentage en utilisant la bonne base de comparaison
Prérequis : Fractions ; conversion d'unités ; base de pourcentage.
Expliquer et choisir la méthode
Un rapport compare des quantités dans un ordre choisi. Si rouge:bleu=3:5 et que le total est 64, les huit parties égales contiennent chacune huit, donc rouge est 24 et bleu 40. Le rapport 3/5 décrit le rouge par rapport au bleu ; 3/8 décrit le rouge par rapport au total. Lisez le dénominateur demandé plutôt que d'utiliser la première fraction visible.
Un taux unitaire divise une quantité par son temps, distance ou nombre correspondant. Écrivez les facteurs de conversion afin que les unités indésirables s'annulent : 72 km/h times 1000 m/km divisé par 3600 s/h donne 20 m/s. Les conversions d'aire et de volume élèvent au carré et au cube le facteur de longueur. Un carré d'un centimètre n'est pas un mètre carré divisé par cent.
En proportion directe y=kx, doubler x double y ; en proportion inverse xy=k, doubler x divise y par deux. Un travail constant partagé entre des travailleurs identiques donne uniquement un modèle de temps inverse lorsque la productivité et les conditions sont fixes. Une frais initial fixe ajouté à un taux crée un modèle linéaire affine, et non une proportion directe passant par l'origine.
Une variation pourcentuelle divise le changement par la base de comparaison initiale. Des variations pourcentuelles successives multiplient leurs facteurs : une remise de 20% suivie d'une augmentation de 20% donne $0.8\times1.2=0.96$ de la valeur initiale. Distinguer points de pourcentage et pourcentage relatif : passer de 30% à 36% correspond à six points, mais représente une augmentation relative de 20%.
Un taux compare des quantités accompagnées de leurs unités. $v=d/t=(90\,\mathrm{km})/(1.5\,\mathrm{h})=60\,\mathrm{km/h}$. Convertir en utilisant des unités qui s'annulent : $v=(60\,\mathrm{km/h})(1000\,\mathrm{m/km})/(3600\,\mathrm{s/h})=50/3\,\mathrm{m/s}$. Ne pas convertir uniquement le numérateur d'un taux composé.
Exemple résolu. Un prix de 250 unités réduit de 20% devient 200 ; augmenter ce résultat de 20% donne 240, soit quatre pour cent en dessous de 250. Une pompe délivre 18 litres en 3 minutes, donc son débit est 6 L/min ou 0.1 L/s. À débit constant, 45 litres prennent 7.5 minutes. Si une action passe de 40% à 50%, l'augmentation est de 10 points de pourcentage et représente 25% par rapport à l'ancienne valeur de l'action.
Matériel d'entraînement
Chaque question de pratique ci-dessous énonce toutes les données nécessaires.
Entraînement au raisonnement
Entraînement 1
Mélanger de la peinture rouge et bleue dans le rapport 4:7 pour faire 33 litres. Trouver chaque quantité. La peinture rouge coûte 18 yuans le litre et la bleue 12. Trouver le coût total.
Démonstration. Il y a 11 parts, donc chacune mesure 3 L. Volume rouge $V_r=33(4/11)=12\,\mathrm{L}$ ; volume bleu $V_b=33(7/11)=21\,\mathrm{L}$. Coût $C=p_rV_r+p_bV_b=(18\,\mathrm{yuan/L})(12\,\mathrm{L})+(12\,\mathrm{yuan/L})(21\,\mathrm{L})=468\,\mathrm{yuan}$.
Pratique 2
Un article de 400 yuans baisse de 15% puis augmente de 10%. Trouver le prix final et le changement pourcentuel unique global.
Démonstration. Utiliser des multiplicateurs successifs. $P=P_0(1-0.15)(1+0.10)=(400\,\mathrm{yuan})(0.85)(1.10)=374\,\mathrm{yuan}$. Variation relative $r=(P-P_0)/P_0=(374-400)/400=-0.065$, soit une diminution de 6.5%.
Pratique 3
Une pompe fournit 0.15 litres par seconde. Combien de temps faut-il pour 54 litres ? Si un carré a un côté de 30 cm, donner son aire en mètres carrés.
Démonstration. $t=V/q=(54\,\mathrm{L})/(0.15\,\mathrm{L/s})=360\,\mathrm{s}=6\,\mathrm{min}$. Convertir le côté avant l'élevage au carré : $A=s^2=(0.30\,\mathrm{m})^2=0.09\,\mathrm{m^2}$ ; le facteur de conversion d'aire est 10000, pas 100.
Limites et prochaine utilisation
Indiquez quelle quantité constitue la base du pourcentage et simplifiez les unités de manière visible. Des variations en pourcentage égales mais de signes opposés utilisent des bases différentes.
Il s'agit de tâches pratiques originales écrites pour ce cours, et non de questions d'examen officielles.