Champ d'application et prérequis
Basé sur le cadre du Digital SAT. Ces tâches imprimées ne sont pas adaptatives et ne prédisent pas de score normalisé.
- Interpréter les zéros, les sommets et les paramètres à partir de formes fonctionnelles utiles
- Distiguer une variation linéaire additive d'une variation exponentielle multiplicative
- Transformer un graphique tout en suivant son entrée et sa sortie
Prérequis : Notation fonctionnelle ; carrés ; multiplicateurs de croissance.
Expliquer et choisir la méthode
La forme sommet a(x-h)²+k identifie le sommet (h,k) et la direction d'ouverture ; la forme factorisée identifie les zéros. La même fonction peut avoir les deux formes. Dans un contexte, déterminer quelles caractéristiques sont significatives : une hauteur maximale se produit au sommet d'une parabole orientée vers le bas, tandis qu'un zéro peut représenter le retour au niveau du sol.
Pour y=A b^t, A est la valeur à t=0 et b est le facteur par unité de temps. Un taux de croissance r donne b=1+r ; une décroissance donne b=1-r. Des différences égales indiquent un modèle linéaire, tandis que des rapports égaux indiquent un modèle exponentiel pour des pas d'entrée égaux. Aucun modèle ne doit être extrapolé au-delà d'un domaine justifié sans raison contextuelle.
Un décalage de sortie f(x)+k déplace chaque point verticalement de k. Un décalage d'entrée f(x-h) déplace le graphique de h unités vers la droite : la même ancienne entrée est atteinte lorsque la nouvelle x est plus grande. Un multiplicateur à l'extérieur met à l'échelle la sortie ; un signe négatif à l'extérieur reflète par rapport à l'axe des x. Déterminer la transformation algébriquement plutôt que de mémoriser une direction sans vérifier un point.
Pour un facteur exponentiel donné sur plusieurs unités de temps, distinguer cet intervalle d'une seule unité. Une doublement toutes les trois heures signifie 2^(t/3), pas 2^t. Pour un quadratique, utiliser la représentation demandée pour lire un extremum ou résoudre pour une entrée. Garder séparément les valeurs initiales, les facteurs de croissance et les pourcentages de croissance.
La forme sommets $a(x-h)^2+k$ révèle le point de retournement $(h,k)$. Pour $H(t)=-2(t-4)^2+32$, le maximum est 32 lorsque $t=4$. En posant $H(t)=0$, on obtient $(t-4)^2=16$, donc $t=0,8$. Restreindre le temps à l'intervalle physique lorsque le problème représente un vol.
Exemple résolu. h(t)=-4(t-3)²+36 a un maximum 36 à t=3, avec des zéros t=0 et 6. N(t)=80(1.25)^t commence à 80 et croît de 25% par unité ; N(2)=125. Une quantité qui double toutes les trois heures est 80·2^(t/3), donc après six heures elle vaut 320. Si f(x)=x², f(x-2)+5 a pour sommet (2,5).
Matériel d'entraînement
Chaque question de pratique ci-dessous énonce toutes les données nécessaires.
Entraînement au raisonnement
Entraînement 1
Une hauteur modélisée est de $H(t)=-3(t-2)^2+12$ mètres, avec $t$ secondes depuis le lancement jusqu'au retour au sol. Trouver le domaine, la hauteur maximale et l'intervalle de temps où la hauteur est d'au moins 9 mètres.
Raisonnement. Le sol signifie $H=0$, donc $(t-2)^2=4$ et $t=0,4$. Le domaine est $0\le t\le4\,\mathrm{s}$. Le coefficient négatif du carré donne un maximum $H(2)=12\,\mathrm{m}$. Pour $H\ge9\,\mathrm{m}$, $(t-2)^2\le1$, donc $1\le t\le3\,\mathrm{s}$.
Pratique 2
Un modèle de culture commence avec 120 cellules et croît d'un facteur de 1.5 tous les deux heures. Écrire $N(t)$ pour t heures $t$, trouver $N(4)$, et distinguer le facteur de la croissance en pourcentage.
Raisonnement. $N(t)=120(1.5)^{t/2}$ cellules. $N(4)=120(1.5)^2=270$ cellules. La croissance est de 50% toutes les deux heures, pas 150% ; le facteur de quatre heures est 2.25. Le facteur horaire serait $\sqrt{1.5}$.
Pratique 3
Si $f(x)=(x+1)^2$, trouver le sommet de $g(x)=-2f(x-3)+5$ et son maximum ou minimum.
Raisonnement. Remplacez l'entrée avant d'interpréter les signes. $g(x)=-2(x-2)^2+5$ a pour sommet $(2,5)$ et pour maximum 5. L'ancien sommet à $-1$ s'est déplacé de trois unités vers la droite jusqu'à 2.
Limites et prochaine utilisation
Un facteur 1.25 signifie une croissance de 25%, pas une croissance de 125% ; f(x-2) déplace vers la droite, et un pourcentage répété utilise le montant mis à jour.
Il s'agit de tâches pratiques originales écrites pour ce cours, et non de questions d'examen officielles.