Champ d'application et prérequis
Basé sur le cadre du Digital SAT. Ces tâches imprimées ne sont pas adaptatives et ne prédisent pas de score normalisé.
- Comparer qualitativement la moyenne, la médiane, l'étendue et l'écart-type
- Prédire l'effet de l'ajout ou de la multiplication de chaque valeur de données
- Lire les informations de fréquence sans confondre les valeurs et les effectifs
Prérequis : Données ordonnées ; fréquence ; moyenne et médiane.
Expliquer et choisir la méthode
La moyenne utilise la somme de toutes les observations divisée par leur nombre ; la médiane est celle du milieu des observations classées. Fréquence signifie qu'une valeur se répète : si 2 apparaît trois fois et 8 une fois, la moyenne est (3·2+8)/4=3.5, et non (2+8)/2. Les positions horizontales sur un graphique représentent les valeurs et les fréquences déterminent combien d'observations elles représentent.
L'étendue est le maximum moins le minimum ; l'écart-type décrit les distances typiques par rapport à la moyenne. Vous n'avez pas besoin de mémoriser une formule complète pour comparer simplement des distributions également centrées : des données regroupées près de la moyenne ont un écart-type plus petit que des données déplacées symétriquement plus loin. Une valeur aberrante peut modifier considérablement la moyenne et la dispersion tout en laissant la médiane stable.
Ajouter c à chaque observation augmente la moyenne et la médiane de c, mais ne change ni l'étendue ni l'écart-type, car les distances par paires restent inchangées. Multiplier chaque observation par un k positif multiplie la moyenne, la médiane, l'étendue et l'écart-type par k. De manière générale, la dispersion est multipliée par |k|, tandis qu'un multiplicateur négatif inverse l'ordre.
Lors de la comparaison de graphiques, inspectez l'échelle et le nombre d'observations avant de juger de la largeur apparente. Un graphique étiré horizontalement peut sembler plus variable sans représenter des valeurs différentes. Une affirmation sur l'égalité des écarts-types nécessite les distributions réelles, et non simplement des étendues ou des moyennes égales.
Une fréquence compte les observations répétées. Les valeurs 1, 3, 7 avec les fréquences 2, 1, 1 représentent quatre observations : 1, 1, 3, 7. $\bar x=\sum fx/\sum f=(2(1)+1(3)+1(7))/4=3$. La médiane est $(1+3)/2=2$ ; elle ne doit pas nécessairement être égale à la moyenne.
Exemple résolu. A={4,5,6} et B={0,5,10} ont tous deux une moyenne et une médiane de 5, mais B présente une dispersion plus grande. Ajouter 7 donne A+7={11,12,13}, moyenne 12 et même écart-type que A. Multiplier A par 2 donne {8,10,12} ; sa moyenne est 10 et son étendue ainsi que son écart-type doublent. Une étendue égale seule ne garantit pas un écart-type égal.
Matériel d'entraînement
Chaque question de pratique ci-dessous énonce toutes les données nécessaires.
Entraînement au raisonnement
Entraînement 1
Les valeurs 2, 5, 8 ont les fréquences 3, 2, 1. Trouver la moyenne, la médiane et l'étendue.
Raisonnement. Les données sont 2,2,2,5,5,8. $\bar x=(3(2)+2(5)+1(8))/6=4$. La médiane est la moyenne des positions 3 et 4, soit $(2+5)/2=3.5$. L'étendue est $R=8-2=6$.
Pratique 2
Chaque observation ci-dessus est modifiée par $z=3x-4$. Trouver la nouvelle moyenne, la médiane et l'étendue. Indiquer comment l'écart-type change sans le calculer.
Raisonnement. Moyenne $\bar z=3\bar x-4=3(4)-4=8$. La médiane est $3(3.5)-4=6.5$. L'étendue est $3(6)=18$. L'écart-type triple ; soustraire 4 ne change aucune distance par rapport à la moyenne.
Pratique 3
Comparez A = {0, 0, 10, 10} et B = {0, 5, 5, 10}. Les deux ont un étendue de 10. Leurs écarts types sont-ils nécessairement égaux ? Justifiez.
Raisonnement. Les deux moyennes sont 5. Chaque observation de A est à 5 de sa moyenne ; les distances de B sont 5,0,0,5. B a donc une moyenne des carrés des écarts inférieure et un écart-type inférieur. Une étendue égale seule est insuffisante.
Limites et prochaine utilisation
Ne faites pas la moyenne de libellés de catégories distincts lorsque les fréquences diffèrent, ni ne confondez une distribution décalée avec une distribution plus étalée.
Il s'agit de tâches pratiques originales écrites pour ce cours, et non de questions d'examen officielles.