Champ d'application et prérequis
Basé sur le cadre du Digital SAT. Ces tâches imprimées ne sont pas adaptatives et ne prédisent pas de score normalisé.
- Interpréter la pente et l'ordonnée à l'origine d'un modèle ajusté dans son contexte
- Calculer une résiduelle et distinguer l'interpolation de l'extrapolation
- Choisir des modèles linéaires ou exponentiels à partir de données à pas constant
Prérequis : Fonctions linéaires ; soustraction signée ; étiquettes de nuage de points.
Expliquer et choisir la méthode
Un nuage de points associe deux variables quantitatives, avec un point par observation appariée. Une droite ajustée résume une tendance plutôt que de relier chaque point. Dans le modèle y=a+bx, b prédit le changement en y pour une augmentation d'une unité de x ; ses unités sont des unités de y par unité de x. L'ordonnée à l'origine a prédit y lorsque x=0, ce qui peut se situer hors de l'étendue des données.
Une résiduelle est la valeur observée de y moins la valeur prédite de y. Un signe positif signifie que l'observation est au-dessus du modèle ; négatif, qu'elle est en dessous. Substituez la valeur observée de x dans le modèle avant de soustraire. Une grande résiduelle marque une prévision médiocre pour ce point, sans être automatiquement une erreur de mesure ni prouver l'absence de tendance.
L'interpolation prédit à l'intérieur de l'étendue observée de x ; l'extrapolation dépasse cette limite et nécessite plus de prudence car la relation peut changer. Utilisez aussi bien le domaine contextuel du modèle que sa forme algébrique. Par exemple, une durée de trajet prédite négative peut révéler une extrapolation injustifiée plutôt qu'un résultat physiquement possible.
Pour des pas d'entrée égaux, des différences de sortie quasi constantes suggèrent un modèle linéaire ; des rapports de sortie quasi constants suggèrent un modèle exponentiel. La dispersion peut rendre ces deux modèles approximatifs. Une association n'implique pas une cause : les deux variables peuvent refléter un troisième facteur. Une tendance ajustée fournit des indices pour la prévision, mais pas par elle-même pour une intervention.
Un résidu est la valeur observée moins la valeur prédite. Un modèle de voyage $T=5+2d$ utilise des minutes pour $T$ et des kilomètres pour $d$. $T(4)=5\,\mathrm{min}+(2\,\mathrm{min/km})(4\,\mathrm{km})=13\,\mathrm{min}$. Pour un temps observé de 16 minutes, $e=T_{obs}-T_{pred}=16\,\mathrm{min}-13\,\mathrm{min}=3\,\mathrm{min}$.
Exemple résolu. Pour un temps d'étude x heures et une note de pratique prédite y=12+3x, la pente est 3 points de note/heure. À x=2, la prédiction est 18. Si la note observée est 21, le résidu=21-18=3. Avec des valeurs de x observées de 1 à 5, la prédiction à x=3 est une interpolation et x=12 une extrapolation. Des sorties 5,10,20,40 à des pas d'entrée égaux suggèrent une croissance exponentielle de facteur deux.
Matériel d'entraînement
Chaque question de pratique ci-dessous énonce toutes les données nécessaires.
Entraînement au raisonnement
Entraînement 1
Un modèle de livraison ajusté donne $T=8+1.5d$ minutes pour des distances observées 2–10 km. Interprétez les deux paramètres. À 6 km, le temps observé est 15 minutes ; trouvez son résidu.
Raisonnement. L'ordonnée à l'origine prédit 8 minutes à distance nulle ; zéro se trouve hors de la plage observée, donc cette interprétation est extrapolée. La pente prédit une augmentation de 1.5 minute par kilomètre. $T(6)=8\,\mathrm{min}+(1.5\,\mathrm{min/km})(6\,\mathrm{km})=17\,\mathrm{min}$. Résidu $e=15\,\mathrm{min}-17\,\mathrm{min}=-2\,\mathrm{min}$, en dessous de la droite.
Pratique 2
Des prédictions sont demandées à 7 km et 20 km. Classez chacune et expliquez pourquoi une pente ajustée ne prouve pas que la distance seule cause toute la variation de temps.
Raisonnement. Sept est compris entre 2 et 10, donc interpolation. Vingt est hors de cette plage, donc extrapolation avec un soutien plus faible. Le trafic, le chargement et d'autres conditions peuvent influencer le temps ; une association ajustée ne met pas isolément ces effets en évidence.
Pratique 3
À des entrées régulièrement espacées 0,1,2,3, les sorties sont 6,18,54,162. Choisissez une règle simple linéaire ou exponentielle et prédisez à 4, en précisant l'hypothèse.
Raisonnement. Les rapports sont tous 3, tandis que les différences varient. La règle exponentielle est $y=6(3)^x$. Sous une croissance continue de facteur trois, $y(4)=6(3)^4=486$. Il s'agit d'une extrapolation basée sur un modèle, pas d'une observation suivante garantie.
Limites et prochaine utilisation
Conserver l'ordre observé moins prédit. Ne pas transformer la pente d'un modèle en effet causal d'un traitement.
Il s'agit de tâches pratiques originales écrites pour ce cours, et non de questions d'examen officielles.