Champ d'application et prérequis
Basé sur le cadre du Digital SAT. Ces tâches imprimées ne sont pas adaptatives et ne prédisent pas de score normalisé.
- Résoudre les équations quadratiques, à valeur absolue, rationnelles et radicales
- Rejeter les racines candidates violant l'équation originale ou le domaine
- Trouver les intersections d'une droite et d'une courbe non linéaire
Prérequis : Factorisation ; substitution ; restrictions du domaine.
Expliquer et choisir la méthode
Utiliser la structure avant de développer. Un polynôme quadratique factorisé est nul lorsque l'un au moins de ses facteurs est nul. Une équation à valeur absolue |u|=a n'a pas de solution réelle si a<0, one condition u=0 when a=0 and two conditions u=±a when a>0. Tenez compte de tous les cas autorisés, pas seulement de la branche positive.
Pour une équation rationnelle, excluez les zéros du dénominateur avant de multiplier par le dénominateur commun. La multiplication peut créer une candidate en une valeur exclue. Pour une équation radicale, notez qu'une racine carrée principale est positive ou nulle, isolez-la et élevez au carré soigneusement. Élever au carré est une implication unidirectionnelle jusqu'à ce que chaque candidate résultante soit vérifiée dans l'original.
Pour résoudre un système droite-parabole, substituez l'expression de la droite dans le polynôme quadratique. Les racines réelles donnent les valeurs de x ; utilisez la droite pour retrouver chaque y. Aucune racine réelle signifie aucune intersection réelle. Une racine double du polynôme quadratique donne une tangence, tandis que deux racines réelles distinctes donnent deux intersections.
Un graphique ou une calculatrice peut aider à localiser des candidats et vérifier l'échelle, mais des intersections arrondies ne constituent pas une preuve exacte lorsque la question demande une valeur exacte ou un nombre de solutions. Reliez le comportement graphique à l'équation algébrique. Une racine double ne doit pas être comptée deux fois comme deux paires ordonnées différentes.
Une racine candidate doit satisfaire l'équation originale. Dans $\sqrt{x+6}=x$, le côté droit doit être non négatif. Élever au carré donne $x^2-x-6=0$, donc les candidats sont $3,-2$. Seul $3$ survit à la vérification originale : $\sqrt9=3$.
*Une droite peut rencontrer une parabole deux fois ; les deux couples ordonnés satisfont les deux relations
Exemple résolu. √(x+2)=x nécessite x≥0. Au carré, on obtient x²-x-2=0, soit x=2 ou -1 ; seule 2 fonctionne dans l'expression originale. Pour y=x+2 et y=x², résoudre x²-x-2=0 : x=2,-1, donnant (2,4) et (-1,1). Pour |2x-1|=5, résoudre 2x-1=5 ou -5 pour obtenir x=3 ou -2.
Matériel d'entraînement
Chaque question de pratique ci-dessous énonce toutes les données nécessaires.
Entraînement au raisonnement
Entraînement 1
Résoudre $\sqrt{2x+3}=x$ sur les nombres réels, en expliquant pourquoi tout candidat est rejeté.
Raisonnement. Exiger $x\ge0$. Le carré donne $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)=0$. Les candidats sont 3 et -1. L'original donne $\sqrt9=3$ en 3, mais $\sqrt1=1\ne-1$ en -1. Seul $x=3$ fonctionne.
Pratique 2
Résolvez simultanément $y=x+2$ et $y=(x-1)^2$. Donnez les paires ordonnées exactes et vérifiez le nombre d'intersections.
Raisonnement. Égaliser les sorties pour obtenir $x+2=x^2-2x+1$, ou $x^2-3x-1=0$. Ainsi $x=(3\pm\sqrt{13})/2$ et $y=(7\pm\sqrt{13})/2$ avec des signes correspondants. Le discriminant 13 est positif, donc il y a deux intersections réelles distinctes ; les deux expressions pour $y$ concordent grâce à l'équation dérivée.
Pratique 3
Résoudre $|3x+2|=7$ et $(x^2-9)/(x-3)=6$. Expliquer pourquoi ces équations ont un nombre différent de solutions.
Raisonnement. La valeur absolue donne $3x+2=7$ ou $-7$, donc $x=5/3$ ou $-3$. L'équation rationnelle nécessite $x\ne3$ et se simplifie en $x+3=6$, dont le seul candidat 3 est exclu. Elle n'a pas de solution.
Limites et prochaine utilisation
Ne pas rapporter toutes les racines d'une équation transformée avant de vérifier la restriction originale et la branche.
Il s'agit de tâches pratiques originales écrites pour ce cours, et non de questions d'examen officielles.