Champ d'application et prérequis
Basé sur le cadre du Digital SAT. Ces tâches imprimées ne sont pas adaptatives et ne prédisent pas de score normalisé.
- Factoriser et développer des expressions sans en modifier leur valeur
- Simplifier les expressions rationnelles et radicales sur le domaine d'origine
- Utiliser la structure de l'expression pour identifier les zéros et les coefficients
Prérequis : Loi distributive ; différence de deux carrés ; racines carrées réelles.
Expliquer et choisir la méthode
Le développement distribue chaque facteur sur les autres ; la factorisation inverse ce processus. x²-5x+6=(x-2)(x-3), donc la forme produit met en évidence les zéros tandis que la forme développée met en évidence les coefficients. Choisissez la forme qui sert la question plutôt que de traiter une représentation comme toujours préférable.
Simplifier les facteurs, jamais les termes dans une somme. (x²-4)/(x-2) devient x+2 uniquement pour x≠2, car l'expression originale est indéfinie en 2. Une restriction peut subsister après la disparition de tout dénominateur dans la formule simplifiée. Indiquez-la avant de simplifier, puis conservez-la lors des comparaisons ou de la résolution d'équations.
Les règles des exposants dépendent du contexte : a^m a^n=a^(m+n) et (a^m)^n=a^(mn) dans le domaine réel autorisé. Les exposants négatifs forment des réciproques et nécessitent des bases non nulles. Avec les racines carrées réelles, √(x²)=|x|, car la racine carrée principale est positive ou nulle ; elle n'est pas égale à x pour tout réel x.
Pour vérifier l'équivalence, une substitution numérique peut révéler une erreur, mais une seule valeur correspondante ne prouve pas que deux expressions sont égales. Une identité algébrique valide associée à un domaine correspondant le fait. Lorsqu'une question demande un coefficient, développez seulement jusqu'à ce qui est nécessaire et tenez compte de toutes les contributions à cette puissance.
Les expressions équivalentes doivent coïncider sur le domaine spécifié. $E(x)=(x^2-25)/(x-5)=(x+5)$ uniquement pour $x\ne5$. La simplification élimine un facteur, mais elle ne peut pas restaurer une valeur d'entrée exclue. Aussi $\sqrt{x^2}=|x|$, car la racine carrée principale ne peut pas être négative.
*Étapes détaillées : (x²-25)/(x-5) → x ≠ 5 avant simplification → x+5, toujours avec x ≠ 5
Exemple résolu. (x²-9)/(x-3)=(x-3)(x+3)/(x-3)=x+3 pour x≠3. En x=3, l'expression originale est indéfinie. Pour x=-5, √(x²)=5=|x|. Dans (2x+1)(x-4), le coefficient de x est -8+1=-7 et l'expression complète est 2x²-7x-4.
Matériel d'entraînement
Chaque question de pratique ci-dessous énonce toutes les données nécessaires.
Entraînement au raisonnement
Entraînement 1
Simplifier $F(x)=(x^2-4x)/(x^2-16)$. Énoncer toutes les restrictions originales et expliquer pourquoi $F$ n'est pas identique à $x/(x+4)$ sur tout le domaine de cette dernière formule.
Raisonnement. Factoriser le numérateur $x(x-4)$ et le dénominateur $(x-4)(x+4)$. Le domaine original exclut $x=4,-4$. La simplification donne $F(x)=x/(x+4)$ pour $x\ne4,-4$. Cette dernière formule seule admet $4$, où elle donne $1/2$, tandis que $F(4)$ est indéfini.
Pratique 2
Trouver le coefficient de $x$ dans $(3x-2)(x+5)$ et évaluer $\sqrt{(x-5)^2}$ lorsque $x=1$.
Raisonnement. Le développement donne $3x^2+15x-2x-10=3x^2+13x-10$, donc le coefficient est 13. La racine est $|x-5|$ ; à $x=1$, elle vaut $|-4|=4$, et non $-4$ ou 16.
Pratique 3
Un élève teste $x=2$ et conclut que $x^2$ et $2x$ sont équivalents. Réfuter cette conclusion et résoudre où ils coïncident réellement.
Raisonnement. À $x=3$, les sorties sont 9 et 6, donc un seul test correspondant ne constitue pas une preuve. Résoudre $x^2=2x$ comme $x(x-2)=0$, ne donne que $x=0,2$.
Limites et prochaine utilisation
Une formule simplifiée n'est pas automatiquement une fonction équivalente sur un domaine plus large ; l'annulation de termes à travers une addition est invalide.
Il s'agit de tâches pratiques originales écrites pour ce cours, et non de questions d'examen officielles.