| Les candidats doivent être capables de : | Notes et orientations |
|---|---|
| 1 Identifier et utiliser les symboles standards pour les portes logiques | • Voir la section 4 pour les symboles des portes logiques |
| 2 Définir et comprendre les fonctions des portes logiques | • Incluant : – NON – ET – OU – NAND – NOR – XOR (EOR) – la sortie binaire produite à partir de toutes les entrées binaires possibles • NON est une porte à une seule entrée • Toutes les autres portes sont limitées à deux entrées |
| 3 (a) Utiliser des portes logiques pour créer des circuits logiques donnés à partir d'une : (i) énoncé de problème (ii) expression logique (iii) table de vérité (b) Remplir une table de vérité à partir d'une : (i) énoncé de problème (ii) expression logique (iii) circuit logique | • Les circuits doivent être dessinés pour l'énoncé donné, sans simplification • Les circuits logiques seront limités à un maximum de trois entrées et une sortie • Un exemple de table de vérité avec trois entrées, à compléter : A B C Sortie | 0 0 0 | 0 0 1 | 0 1 0 | 0 1 1 | 1 0 0 | 1 0 1 | 1 1 0 | 1 1 1 |
| (c) Rédiger une expression logique à partir d'une : (i) énoncé de problème (ii) circuit logique (iii) table de vérité |
Logique booléenne
Informatique IGCSE · Sujet 10
8:30
Logique booléenne
Regardez bien cette puce. Il n'y a rien de spécial à l'intérieur. Elle ne peut pas penser. À l'intérieur se trouvent des millions de petits interrupteurs, et chaque interrupteur ne peut être que l'un des deux…
Narration en anglais · sous-titres en anglais et en 中文 au choix
Programme
Source : Programme Cambridge International
10.1
Qu'est-ce que la logique booléenne ?
La logique booléenne travaille avec des valeurs qui sont soit vraies, soit fausses. En électronique, elles sont représentées par 1 (vrai) et 0 (faux). Une porte logique prend une ou plusieurs de ces entrées et produit une seule sortie, selon une règle fixe.
Une table de vérité répertorie chaque ensemble possible d'entrées ainsi que la sortie correspondante pour chacune. On l'établit en listant toutes les combinaisons possibles des entrées.
10.2
Les six portes logiques
Vous devez connaître six portes. NOT a une entrée ; toutes les autres ont deux entrées (A et B).
Porte NOT
La porte NOT inverse l'entrée. La sortie est 1 lorsque l'entrée est 0.
| A | Sortie |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
Porte AND
La porte AND produit une sortie 1 uniquement si les deux entrées sont 1.
| A | B | Sortie |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Porte OR
La porte OR produit une sortie 1 lorsque au moins une entrée est 1.
| A | B | Sortie |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Porte NAND
La porte NAND est une porte AND suivie d'une porte NOT. La sortie est l'inverse de celle d'une porte AND.
| A | B | Sortie |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
Porte NOR
La porte NOR est une porte OR suivie d'une porte NOT. La sortie est l'inverse de celle d'une porte OR.
| A | B | Sortie |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 |
Porte XOR
La porte XOR (OU exclusif) produit une sortie 1 lorsque les entrées sont différentes.
| A | B | Sortie |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
Explorer
Les portes logiques
Changez les entrées et choisissez une porte pour voir sa sortie — AND, OR, NOT, NAND, NOR, XOR.
Vocabulaire
Entrainer
| English | Français |
|---|---|
| Boolean logic/ˈbuːlɪən ˈlɒdʒɪk/ | logique booléenne |
| logic gate/ˈlɒdʒɪk ɡeɪt/ | porte logique |
| truth table/truːθ ˈteɪbl/ | table de vérité |
| NOT gate/nɒt ɡeɪt/ | porte NON |
| AND gate/ænd ɡeɪt/ | porte ET |
| OR gate/ɔː ɡeɪt/ | porte OU |
| NAND gate/nænd ɡeɪt/ | porte NON-ET |
| NOR gate/nɔː ɡeɪt/ | porte NON-OU |
| XOR gate/ˈeksɔː ɡeɪt/ | porte XOR |
| logic expression/ˈlɒdʒɪk ekˈspreʃn/ | expression logique |
10.3
Expressions logiques
Une expression logique écrit un circuit à l'aide de lettres et de noms de portes. Voici la notation usuelle pour les portes :
| Porte | En mots |
|---|---|
| NON A | NON A |
| A ET B | A ET B |
| A OU B | A OU B |
| A NAND B | A NAND B, équivalent à NOT (A AND B) |
| A NOR B | A NOR B, équivalent à NOT (A OR B) |
| A XOR B | A XOR B |
Par exemple, l'expression (A AND B) OR (NOT C) signifie : faire A ET B, faire NON C, puis mettre ensemble les deux résultats par un OU.
Explorer
Tables de vérité
Construisez la table de vérité pour AND, OR, XOR et NOT — la logique derrière chaque expression.
10.4
Circuits logiques
Un circuit logique associe des portes entre elles pour exécuter une tâche. La sortie d'une porte peut servir d'entrée à une autre. Au IGCSE, un circuit comporte jusqu'à trois entrées et une sortie.
Vous devez être capable de passer d'une forme à quatre formes différentes :
- une énoncé du problème (une description en mots),
- une expression logique,
- un circuit logique,
- une table de vérité.
D'un énoncé de problème à un circuit
Lisez l'énoncé et identifiez les conditions et les mots logiques (and, or, not). Par exemple :
Une alarme (X) se déclenche lorsque la porte est ouverte (A) ET que le système est allumé (B).
C'est X = A AND B, donc vous dessinez une porte AND avec les entrées A et B.
Certains mots indiquent les autres portes logiques :
| L’énoncé dit… | Porte |
|---|---|
| « soit A, soit B, mais pas les deux », « exactement l’un des deux » | XOR |
| « ni A ni B » | NOR |
| « pas à la fois A et B » | NAND |
| « A est éteint », « A n'est pas allumé » | NOT A |
Par exemple, « une lumière de couloir (X) est allumée lorsqu'exactement un des deux interrupteurs (A, B) est en position haute » correspond à X = A XOR B ; « un voyant d'avertissement (X) est allumé lorsque ni le frein (A) ni l'embrayage (B) n'est enfoncé » correspond à X = A NOR B.
Remplir une table de vérité à partir d'un circuit ou d'une expression
Pour remplir une table de vérité :
- Écrivez toutes les combinaisons d'entrées. Pour trois entrées, il y a 8 lignes (de 000 à 111).
- Calculez la sortie de chaque porte dans l'ordre, colonne par colonne.
- La dernière colonne est la sortie finale.
| A | B | C | A ET B | (A ET B) OU C |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Ajouter une colonne intermédiaire de calcul pour chaque porte facilite le remplissage de la colonne de sortie finale. Dessinez toujours le circuit exactement comme l'énoncé l'indique, sans le simplifier.
Exemple résolu. Complétez la table de vérité pour X = (A AND B) OR (NOT C) pour la ligne A = 1, B = 0, C = 0. Travaillez à partir des parenthèses vers l'extérieur, une porte à la fois. D'abord A AND B = 1 ET 0 = 0, car AND nécessite que les deux entrées soient 1. Ensuite NOT C = NON 0 = 1. Enfin, mettez ensemble les deux résultats par un OU : 0 OU 1 = 1. Donc X = 1. Donnez à chaque porte intermédiaire sa propre colonne plutôt que de tenter de calculer toute l'expression en une seule étape : avec trois entrées, il y a $2^3 = 8$ lignes, et ces colonnes intermédiaires sont là que les points de la méthode s'appliquent même si la réponse finale manque.
Exemple résolu (les quatre formes). Un ventilateur de serre (X) s'allume si la température est élevée (T) et que la fenêtre est fermée (W), ou si l'humidité est élevée (H).
Étape 1 : expression. « et la fenêtre est fermée » correspond à T AND NOT W ; « ou » relie H : X = (T AND NOT W) OR H.
Étape 2 : circuit. W passe d'abord par une porte NOT ; sa sortie et T entrent dans une porte AND ; la sortie de cette porte AND et H entrent dans une porte OR.
Étape 3 : table de vérité. Huit lignes, avec une colonne de calcul pour chaque porte :
| T | W | H | NON W | T ET NON W | X |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
Étape 4 : vérification par rapport aux énoncés. Chaque fois que H = 1, le ventilateur est allumé (lignes 2, 4, 6, 8) ; sinon, il n'est allumé que pour T = 1, W = 0 (ligne 5). Cinq lignes donnent X = 1.
Dans l'autre sens, d'un circuit vers une expression, commencez par les entrées et écrivez la sortie de chaque porte sur son fil, puis assemblez-les à la dernière porte. Utilisez des parenthèses autour de la sortie de chaque porte pour clarifier l'ordre.
Exemple détaillé (du circuit à l'expression). Dans un circuit, A et B entrent dans une porte NAND ; B et C entrent dans une porte XOR ; les sorties de ces deux portes entrent dans une porte AND, dont la sortie est X. Écrivez l'expression. Étiquetez chaque fil au fur et à mesure : la sortie de la porte NAND est (A NAND B), celle de la porte XOR est (B XOR C), donc X = (A NAND B) AND (B XOR C). Pour la ligne A = 1, B = 1, C = 0 : A NAND B = 0 (les deux entrées valent 1), donc X = 0 quelle que soit la sortie de la porte XOR.
D'une table de vérité à une expression ou à un circuit
Ne regardez que les lignes où la sortie vaut 1. Pour chacune de ces lignes, écrivez les entrées reliées par AND, en plaçant NOT devant toute entrée qui vaut 0. Reliez ensuite les termes des lignes par OR.
Exemple détaillé. Écrivez une expression logique pour cette table de vérité et décrivez le circuit.
| A | B | C | X |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
X = 1 dans deux lignes. Ligne 0 1 1 : A vaut 0, donc on écrit (NOT A AND B) AND C. Ligne 1 1 0 : C vaut 0, donc on écrit (A AND B) AND NOT C. Reliez-les par OR :
X = ((NOT A AND B) AND C) OR ((A AND B) AND NOT C)
Le circuit suit l'expression : deux portes NOT (pour A et pour C), quatre portes AND à deux entrées (chaque terme de ligne en nécessite deux, car les portes ont au plus deux entrées) et une porte OR pour combiner les deux termes. Vérifiez une ligne : pour 0 1 1, le premier terme vaut (1 AND 1) AND 1 = 1, donc X = 1, comme dans la table.
Une expression construite ainsi n'est pas toujours la plus courte, mais elle est toujours correcte et l'examen ne vous demande pas de la simplifier.
Vocabulaire
Entrainer
| English | Français |
|---|---|
| logic circuit/ˈlɒdʒɪk ˈsɜːkɪt/ | circuit logique |
| problem statement/ˈprɒbləm ˈsteɪtmənt/ | énoncé du problème |
10.5
Conseils d'examen
- Apprenez les six portes et leurs tables de vérité : NOT, AND, OR, NAND (NON ET), NOR (NON OR), XOR (sortie 1 lorsque les entrées sont différentes).
- Construisez une table de vérité avec toutes les lignes d'entrées (2 entrées → 4 lignes, 3 entrées → 8), en comptant en binaire, et ajoutez une colonne de travail pour chaque porte.
- Transformez un énoncé de problème en expression logique en identifiant les mots AND / OR / NOT, puis dessinez-le exactement tel qu'il est écrit — ne le simplifiez pas.
- NAND et NOR donnent la sortie inverse de AND et OR ; un petit cercle sur la sortie d'une porte signifie que le résultat est inversé.
- À partir d'une table de vérité, prenez chaque ligne dont la sortie vaut 1, reliez ses entrées par AND (avec NOT pour chaque 0), puis reliez les termes des lignes par OR.
- « Exactement un » ou « mais pas les deux » signifie XOR ; « ni … ni » signifie NOR.
Leçons interactives sur ce sujet
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