Représentation des données

Un ordinateur ne peut fonctionner qu'avec deux états : marche et arrêt. On écrit ces états comme 1 et 0. Un système qui n'utilise que deux chiffres 数字 est appelé binaire 二进制 (base 2).

Tout type de données 数据 — nombres, texte, son et images — doit être converti en binaire avant qu'un ordinateur puisse l'utiliser. L'ordinateur traite ce binaire à l'aide de portes logiques 逻辑门, et le stocke dans des registres 寄存器 (petits stocks rapides à l'intérieur du processeur 处理器).

Un système de numération 数制 est une façon d'écrire les nombres en utilisant un ensemble fixe de chiffres. Il vous en faut trois.

• Le décimal 十进制 est le système de comptage normal (aussi appelé décimal).
• Le binaire utilise uniquement 0 et 1.
• Le hexadécimal 十六进制 (hex) utilise seize chiffres : 0–9, puis A, B, C, D, E, F valent respectivement 10, 11, 12, 13, 14, 15.

La base 基数 indique combien de chiffres différents un système utilise.

Valeur positionnelle

Chaque colonne d'un nombre a une valeur positionnelle 位值. En binaire, les valeurs doubles de droite à gauche. Pour un nombre sur 8 bits, elles sont :

128  64  32  16  8  4  2  1

Un bit 位 est un 0 ou un 1 unique. Huit bits font un octet 字节. Quatre bits (la moitié d'un octet) forment un nibble 半字节.

Conversion entre systèmes de numération

Décimal → binaire. Écrire les valeurs positionnelles. Mettre un 1 sous chaque valeur nécessaire pour atteindre votre nombre ; mettre un 0 sous les autres.

Exemple : convertir le décimal 150 en binaire. $150 = 128 + 16 + 4 + 2$.

128 64 32 16 8 4 2 1
  1  0  0  1 0 1 1 0

Donc $150$ = 10010110.

Binaire → décimal. Additionner les valeurs positionnelles où il y a un 1. 10010110 $= 128 + 16 + 4 + 2 = 150$.

Hexadécimal → binaire. Convertir chaque chiffre hexadécimal en son propre groupe de 4 bits (un nibble).

Exemple : hex F08. $F = 1111$, $0 = 0000$, $8 = 1000$, donc F08 = 1111 0000 1000.

Binaire → hexadécimal. Regrouper les bits en nibbles de 4, en commençant par la droite. Convertir chaque nibble en un chiffre hexadécimal.

Décimal → hexadécimal. La méthode facile consiste d'abord à convertir en binaire, puis en hex.

Ce tableau aide avec les lettres hex :

Les questions Cambridge utilisent des nombres binaires allant jusqu'à 16 bits.

Exemple résolu. Convertir le décimal 100 en binaire sur 8 bits, puis en hexadécimal.

$100 = 64 + 32 + 4$, donc le binaire est 01100100. En divisant en nibbles, 0110 0100 $= 6$ et $4$, donc l'hexadécimal est 64.

Pourquoi utiliser l'hexadécimal

L'hex est plus court que le binaire et plus facile à lire et écrire pour les humains. Un chiffre hex remplace 4 chiffres binaires, réduisant ainsi les erreurs. La valeur ne change pas — l'hex est simplement une façon plus courte d'afficher le même binaire.

Les informaticiens utilisent l'hex pour :

• Adresses MAC et adresses IPv6
• codes couleur en HTML (par exemple #FF0000 est rouge)
• adresses mémoire 内存地址 et codes d'erreur
• affichage du contenu de la mémoire (un « memory dump »)

On peut additionner deux nombres binaires sur 8 bits, colonne par colonne de droite à gauche, comme en décimal. Les règles pour une colonne sont :

Quand un report arrive également, $1 + 1 + 1 = 1$ avec un report de 1.

Exemple : additionner 01110110 (118) et 00110000 (48).

  0 1 1 1 0 1 1 0    (118)
+ 0 0 1 1 0 0 0 0    (48)
-------------------
  1 0 1 0 0 1 1 0    (166)

Débordement

Un registre de 8 bits peut contenir des valeurs décimales allant de 0 à 255 uniquement. Si une addition donne un résultat supérieur à 255, la réponse nécessite un 9e bit. Le registre ne pouvant pas contenir ce bit supplémentaire, il est perdu. On appelle cela overflow 溢出 (une erreur de dépassement). Cela se produit lorsqu'une valeur sort de la limite que le registre peut stocker.

Exemple : 11001000 (200) $+$ 01001000 (72) $= 272$. En binaire, cela correspond à 1 00010000, ce qui nécessite 9 bits. Le 1 en position de poids fort ne tiendra pas dans 8 bits, donc la réponse stockée sera fausse.

Un décalage binaire logique 逻辑二进制移位 déplace tous les bits vers la gauche ou vers la droite d'un certain nombre de positions.

• Les bits qui sortent du registre sont perdus.
• Des zéros sont ajoutés à l'extrémité vide.

Un décalage vers la gauche multiplie le nombre par 2 pour chaque position déplacée. Un décalage vers la droite le divise par 2 pour chaque position ; les bits de droite (les bits de poids faible(s) 最低有效位) sont perdus.

Exemple : décalage vers la gauche de 00110101 (53) de 2 positions.

start:         0 0 1 1 0 1 0 1
left shift 2:  1 1 0 1 0 1 0 0

Le résultat est 11010100 (212), ce qui correspond à $53 \times 4$. Les deux bits les plus à gauche ont été perdus et deux zéros sont entrés sur la droite. Si un 1 est expulsé par la sortie, cette information est définitivement perdue.

Jusqu'à présent, les nombres étaient positifs. Le complément à deux 补码 permet à un registre de 8 bits de contenir également des nombres négatifs.

Dans le complément à deux, le bit de poids fort (le bit de poids le plus élevé 最高有效位, ou MSB) a une valeur de position négative :

-128  64  32  16  8  4  2  1

• Si le MSB est 0, le nombre est positif.
• Si le MSB est 1, le nombre est négatif.

Pour rendre un nombre positif négatif : écrivez le binaire positif, inversez chaque bit (0↔1), puis ajoutez 1.

Exemple : rendre $-40$ négatif.

• $+40$ = 00101000
• inverser les bits = 11010111
• ajouter 1 = 11011000

Ainsi $-40$ = 11011000. Vérification en additionnant les valeurs de position : $-128 + 64 + 16 + 8 = -40$.

Pour lire un nombre en complément à deux négatif, il suffit d'additionner les valeurs de position (le MSB compte pour $-128$). La plage d'un nombre en complément à deux sur 8 bits va de $-128$ à $+127$.

Les ordinateurs stockent le texte en attribuant un numéro à chaque caractère, puis en stockant ce numéro en binaire. L'ensemble des caractères qu'un ordinateur peut utiliser, ainsi que leurs numéros, constituent un ensemble de caractères 字符集.

• ASCII utilise 7 bits par caractère, offrant ainsi 128 caractères différents. C'est suffisant pour les lettres anglaises, les chiffres et les symboles courants.
• Unicode utilise davantage de bits par caractère. Il peut représenter bien plus de caractères — de nombreuses langues, ainsi que des symboles et des emoji 表情符号.

Comme Unicode contient plus de caractères, il nécessite plus de bits par caractère que ASCII, donc le même texte occupe plus d'espace de stockage 存储。

Une onde sonore 声波 est continue et change toujours. Pour la stocker, l'ordinateur mesure la hauteur de l'onde à des moments réguliers. On appelle cela l'échantillonnage 采样, et chaque mesure est un échantillon.

• Le taux d'échantillonnage 采样率 est le nombre d'échantillons prélevés par seconde (mesuré en Hz).
• La résolution d'échantillonnage 采样分辨率 est le nombre de bits utilisés pour chaque échantillon. La hauteur de l'onde à un point d'échantillonnage est son amplitude 振幅。

Un taux d'échantillonnage plus élevé et une résolution d'échantillonnage plus élevée offrent un enregistrement plus précis, mais un fichier plus volumineux.

Une image informatique est constituée d'une grille de petits points appelés pixels 像素。

• La résolution 分辨率 est le nombre de pixels dans l'image (par exemple $1920 \times 1080$)。
• La profondeur de couleur 颜色深度 est le nombre de bits utilisés pour stocker la couleur de chaque pixel。

Une résolution plus élevée et une profondeur de couleur plus élevée offrent une meilleure qualité d'image, mais un fichier plus volumineux。

Le stockage de données est mesuré en unités ci-dessous. Un nibble correspond à 4 bits et un octet à 8 bits ; à partir du kibibyte vers le haut, chaque unité est 1024 fois plus grande que la précédente (car $1024 = 2^{10}$, ce qui s'adapte au binaire)。

Taille de fichier image (en bits) $=$ résolution $\times$ profondeur de couleur $=$ largeur $\times$ hauteur $\times$ profondeur de couleur。

Exemple : une image a une résolution de $1024 \times 1024$ pixels avec une profondeur de couleur de 2 octets ($= 16$ bits)。

• bits $= 1024 \times 1024 \times 16 = 16\,777\,216$ bits
• octets $= \div 8 = 2\,097\,152$ octets
• KiB $= \div 1024 = 2048$ KiB
• MiB $= \div 1024 = 2$ MiB

Taille de fichier sonore (en bits) $=$ taux d'échantillonnage $\times$ résolution d'échantillonnage $\times$ durée en secondes。

Divisez toujours par 1024 (et non 1000) pour convertir en KiB, MiB, etc. Donnez votre réponse dans l'unité demandée par la question。

Exemple résolu. Un son est enregistré pendant 30 secondes à un taux d'échantillonnage de 8,000 Hz avec une résolution d'échantillonnage de 16 bits. Calculez la taille du fichier en kibioctets (KiB).

• bits $= 8\,000 \times 16 \times 30 = 3\,840\,000$ bits
• octets $= 3\,840\,000 \div 8 = 480\,000$ octets
• KiB $= 480\,000 \div 1024 \approx 469$ KiB

La compression 压缩 rend un fichier plus petit. Un fichier plus petit :

• occupe moins d'espace de stockage,
• nécessite moins de bande passante 带宽 (la quantité de données qu'une connexion peut transporter),
• prend moins de temps à envoyer (un temps de transmission 传输 plus court)。

Il existe deux types.

Compression sans perte

Sans perte 无损 compression rend le fichier plus petit avec aucune perte permanente de données. Le fichier original peut être reconstruit exactement.

Une méthode est le codage par longueur de série 行程编码 (RLE). Il remplace une suite de valeurs répétées par une copie unique de la valeur suivie d'un compteur indiquant combien de fois elle se répète. Par exemple, WWWWWWWW (8 blancs) est stocké sous la forme « 8 W ». Cela fonctionne bien lorsque les données comportent de nombreuses répétitions。

Compression avec perte

Avec perte 有损 compression réduit considérablement la taille du fichier en supprimant définitivement certaines données. Les données supprimées ne peuvent pas être récupérées. Par exemple :

• réduction de la résolution ou de la profondeur de couleur d'une image,
• réduction du taux d'échantillonnage ou de la résolution d'échantillonnage d'un son。

Utilisez une compression sans perte lorsque vous devez conserver chaque détail (fichiers texte et programmes). Utilisez une compression avec perte pour les photos, la musique et la vidéo, où une petite perte de qualité est acceptable pour obtenir un fichier beaucoup plus petit。

• Convertir décimal → binaire en soustrayant les valeurs de position (128, 64, 32…) ; binaire → décimal en additionnant les valeurs de position correspondant aux 1。
• Pour convertir en hexadécimal, regroupez le binaire en nibbles de 4 bits à partir de la droite ; chaque nibble correspond exactement à un chiffre hexadécimal。
• Overflow se produit lorsqu'un résultat nécessite plus de bits que le registre n'en possède (un registre de 8 bits ne contient que 0–255), donc le bit supplémentaire est perdu。
• Taille de fichier en bits : pour une image, largeur × hauteur × profondeur de couleur ; pour un son, taux d'échantillonnage × résolution × secondes. Divisez par 8 pour obtenir des octets, puis par 1024 pour chaque unité supérieure。
• Sans perte compression conserve chaque bit (texte ; codage par longueur de série) ; avec perte supprime définitivement les données (photos, musique) pour un fichier beaucoup plus petit。