QM.1 · Scattering, degeneracy and Pauli operators

Une onde quantique peut se réfléchir sur un échelon de potentiel descendant bien qu'une particule classique n'y ait pas de point de rebroussement.

Prérequis : 5.

• Correspondre les ondes voyantes et les flux à travers des changements de potentiel finis
• Compter les états de l'oscillateur isotrope dégénéré
• Évaluer les produits de Pauli et distinguer l'anticommutation de l'égalité

Pour un potentiel constant V et une énergie E>V, les solutions spatiales sont des facteurs d'ondes voyantes exp(±ikx), avec k=sqrt[2m(E−V)]/$\hbar$. Aux échelons finis avec la même masse de particule, la fonction d'onde et sa première dérivée sont continues. Dans un problème de diffusion avec incidence depuis la gauche et sans faisceau entrant depuis la droite, la solution à l'extrême droite contient uniquement le facteur d'onde voyant vers la droite Ae^(ikx). Si un puits fini retourne au potentiel externe d'origine, le nombre d'onde externe transmis est égal à celui de l'incident, bien que le nombre d'onde intérieur diffère. Les solutions exponentiellement décroissantes décrivent les régions E<V, pas tous les puits de potentiel.

Pour un échelon de V1 à V2 avec les deux régions classiquement autorisées, écrivez l'amplitude incidente-réfléchie dans la région 1 et l'amplitude transmise dans la région 2. La continuité donne r=(k1−k2)/(k1+k2) et t=2k1/(k1+k2). La probabilité de réflexion est R=|r|² ; la transmission est T=(k2/k1)|t|² car le courant de probabilité dépend du nombre d'onde. Ainsi R+T=1 pour un échelon sans perte. N'ajoutez pas l'amplitude transmise brute carrée à R sans son facteur de courant. Avec k2=3k1, R=1/4 et T=3/4 malgré un échelon descendant.

Un oscillateur isotrope tridimensionnel se sépare en modes x, y, z avec des entiers non négatifs n_x, n_y, n_z. Son énergie est (N+3/2)$\hbar$ω, où N=n_x+n_y+n_z. Pour une particule distinguishable à spin zéro, la dégénérescence spatiale correspond au nombre de tels triplets : (N+1)(N+2)/2. Cela compte les différentes attributions, et non seulement les partitions non ordonnées distinctes. Pour N=2, les six états sont des permutations de (2,0,0) et (1,1,0). Pour N=3, la dégénérescence est 10. Des contraintes supplémentaires sur le spin ou sur l'identité des particules modifieraient le problème de comptage.

Les matrices de Pauli sont σ_x=[[0,1],[1,0]], σ_y=[[0,−i],[i,0]], σ_z=[[1,0],[0,−1]]. Chacune d'elles équivaut à l'identité au carré. La multiplication directe donne σ_xσ_y=iσ_z et σ_yσ_x=−iσ_z, donc les matrices de Pauli distinctes s'anticommutent. Les produits cycliques x→y→z ont un i positif ; inverser l'ordre change le signe. L'identité générale est σ_iσ_j=δ_ijI+iΣε_ijkσ_k. L'ordre des matrices importe : σ_xσ_z=−iσ_y, pas iσ_y ou simplement σ_y. Ces matrices sans dimension deviennent des opérateurs de spin S_i=$\hbar$σ_i/2, ajoutant des unités physiques et des facteurs.

À un échelon de potentiel fini, faire coïncider la fonction d'onde et sa dérivée pour la même masse de particule.

La probabilité de transmission utilise le courant, et non uniquement l'amplitude. Pour $k_2=3k_1$, $r=-1/2$, $t=1/2$. La réflexion se produit même pour un échelon descendant. Son signe de phase disparaît lors du calcul de la probabilité.

La probabilité de transmission nécessite le rapport des courants de nombre d'onde. La dégénérescence de l'oscillateur compte les triplets de modes ordonnés. Ne renversez pas l'ordre des matrices de Pauli sans changer son signe.

coefficient de réflexion : Fraction du courant de probabilité réfléchi par rapport au courant incident.

dégénérescence : Nombre d'états indépendants partageant l'énergie spécifiée.