Pour une grandeur V dépendant d'une profondeur h(t) variable, la règle de chaîne donne dV/dt=V′(h) dh/dt. Un réservoir qui se vide a dh/dt<0, donc le taux de variation signed de V est négatif ; son module d'écoulement sortant est l'opposé. Tracer la géométrie et nommer la profondeur instantanée avant de substituer les nombres. Ne pas traiter ce taux comme un volume statique divisé par le temps écoulé, sauf si la situation spécifie explicitement un taux moyen constant.
Un réservoir sphérique de rayon R a une section transversale de rayon carré R²−(R−h)²=2Rh−h² à la profondeur h depuis le fond. L'intégration de ces aires circulaires donne le volume du cap V(h)=π(Rh²−h³/3), pour 0≤h≤2R. Sa dérivée π(2Rh−h²) est l'aire de la section transversale actuelle. À R=3, h=1, dh/dt=−1/4, le taux de volume signé est −5π/4 et le débit sortant en magnitude 5π/4. La formule fonctionne pour les caps peu profonds et profonds dans la plage spécifiée.
Si f et g sont continûment différentiables près de zéro, f(0)=g(0)=0 et g′(0)≠0, alors f(x)/g(x) tend vers f′(0)/g′(0). Cela découle de f(x)=f′(0)x+o(x) et g(x)=g′(0)x+o(x) ; la continuité de g′ maintient le quotient défini à proximité sauf en zéro. Remplir cette limite donne une extension continue. L'argument ne nécessite pas f′(0) non nul, et il ne prouve pas que le quotient étendu soit différentiable.
Pour f(x)=x|x| et g(x)=x, tous deux sont continûment différentiables, f(0)=g(0)=0 et g′(0)=1. Leur quotient pour x≠0 est |x|, qui s'étend continuellement en zéro mais possède des dérivées latérales inégales là. Pour (f²−f)/(2g−g³), factoriser en (f/g)(f−1)/(2−g²) ; sa limite supprimable est −f′(0)/(2g′(0)). Des facteurs supplémentaires tendent vers −1 et 2. Distincter la limite du quotient de la dérivée de son extension.
