C.11 · Intégration par parties, inversion d'ordre et symétrie

Préparation GRE niveau universitaire. Objectifs locaux dans le périmètre ETS examiné ; il s'agit d'un enseignement original, pas d'un test officiel ni d'un prédicteur de score.

Prérequis : Règle du produit, limites impropres et régions d'intégration planes.

• Déduire des réductions d'intégration par parties avec des limites aux bornes valides
• Inverser une intégrale double en reconstruisant sa région
• Utiliser la symétrie de réflexion tout en vérifiant le comportement des bornes amovibles

intégration par parties : Une identité d'intégration dérivée de la règle du produit avec un terme aux bornes.

symétrie de réflexion : Une relation entre les valeurs de l'intégrande en des points miroirs de part et d'autre du milieu d'un intervalle.

L'intégration par parties découle de la règle du produit : ∫u dv=uv−∫v du. Pour les intégrales définies, incluez le terme aux bornes aux deux extrémités. Avec I_n(x)=∫₁ˣ(ln t)^n dt, choisissez u=(ln t)^n et dv=dt. Pour n≥1, la borne inférieure s'annule, donnant I_n=x(ln x)^n−n I_(n−1). Un signe plus violerait l'identité dérivée. Conservez la même limite inférieure dans une récurrence ; la changer modifie les constantes.

Pour les intégrales impropères, appliquez d'abord l'identité sur des bornes finies, puis justifiez la limite aux bornes et l'intégrale restante. Si ∫₋∞^∞e^(−x²)dx=√π, posez u=x et dv=x e^(−x²)dx pour ∫x²e^(−x²)dx. Puisque v=−e^(−x²)/2 et que x e^(−x²)→0 aux deux infinis, le second moment complet est √π/2. La parité donne le moment sur la demi-droite positive √π/4. L'annulation du terme aux bornes fait partie de l'argument, pas une propriété automatique de toute intégrale impropre.

Pour inverser ∫₀¹∫ₓ¹F(x,y)dy dx, décrivez le triangle 0≤x≤y≤1, puis réécrivez-le comme ∫₀¹intégrale de 0 à yF(x,y)dx dy. Tant l'intervalle extérieur que les bornes intérieures changent ; échanger uniquement les symboles modifie la région. Pour F=e^(y²), intégrer d'abord selon x donne ∫₀¹y e^(y²)dy=(e−1)/2. La continuité sur ce triangle compact rend l'inversion d'ordre valide ; les cas singuliers ou conditionnellement convergents nécessitent une plus grande précaution.

Si une fonction intégrable sur [a,b] satisfait f(a+b−x)=−f(x), la réflexion rend son intégrale égale à son opposé, donc nulle. Pour sin(2mx)/sin x sur [0,π] avec m entier positif, la réflexion x↦π−x change le signe du numérateur et conserve le dénominateur. Les singularités apparentes aux bornes sont amovibles : les limites sont 2m à zéro et −2m à π. Vérifiez ces limites avant d'invoquer la symétrie ; l'annulation ne remplace pas l'intégrabilité.

Pour I₂(x)=∫₁ˣ(ln t)²dt, la récurrence donne x(ln x)²−2I₁(x), avec I₁(x)=x ln x−x+1. Par conséquent I₂=x[(ln x)²−2ln x+2]−2. La constante −2 assure que I₂(1)=0. À part, inverser l'intégrale triangulaire e^(y²) produit un facteur y provenant de la longueur intérieure x ; supprimer ce facteur restaurerait la difficulté originale et modifierait la valeur.

L'intégration impropre par parties nécessite des limites aux bornes. Reconstruisez la région avant d'inverser l'ordre. Un intégrande reflété d'apparence impaire doit être intégrable, y compris pour les bornes amovibles éventuelles.

Évaluez $\int_0^1\int_x^1 e^{y^2}\,dy\,dx$ en inversant l'ordre. Décrivez la région avant et après inversion. Dérivez une formule pour $I_2(x)=\int_1^x(\ln t)^2\,dt$, $x>0$.

Solution détaillée

La région est $0\le x\le y\le1$. Dans l'ordre inversé, y varie de zéro à un et x de zéro à y. La continuité sur le triangle compact permet l'inversion d'ordre, donnant $\int_0^1 ye^{y^2}\,dy=(e-1)/2$. L'intégration par parties avec $u=(\ln t)^2$, $dv=dt$ donne $I_2=x(\ln x)^2-2I_1$. Puisque $I_1=x\ln x-x+1$,

Pour m entier positif, évaluer $\int_0^{\pi}\sin(2mx)/\sin x\,dx$. Justifier l'intégrabilité aux bornes avant d'invoquer la symétrie.

Vérification après tentative

Les limites aux bornes sont 2m en zéro et -2m en pi, par la limite du sinus du premier ordre. Les deux singularités sont amovibles, donc l'intégrande continûment étendu est intégrable. La réflexion $x\mapsto\pi-x$ préserve le dénominateur et inverse le numérateur. L'intégrale égale son opposé et est donc nulle. Une annulation symétrique n'établirait pas la convergence pour une borne véritablement divergente ; les limites amovibles sont essentielles.