T.12 · Complétude métrique et fermeture à partir d'une base

Préparation GRE niveau universitaire. Objectifs locaux dans le périmètre ETS examiné ; il s'agit d'un enseignement original, pas d'un test officiel ni d'un prédicteur de score.

Prérequis : axiomes de la métrique, suites de Cauchy et topologie à partir d'une base.

• Vérifier une métrique tirée par les propriétés de sa carte définissante
• Décider de la complétude via l'image d'une isométrie
• Déterminer la fermeture en utilisant tous les voisinages de base plutôt que l'intuition euclidienne

espace métrique complet : Un espace métrique dans lequel toute suite de Cauchy converge vers un point de cet espace.

base de voisinages : Voisinages de base suffisants pour tester les propriétés topologiques locales.

Pour une application injective h:X→R, d(x,y)=|h(x)−h(y)| est une métrique : la symétrie et l'inégalité triangulaire proviennent de R, et l'injectivité garantit que d(x,y)=0 seulement si x=y. La carte h est une isométrie sur son image h(X). Si h n'est pas injective, cette construction peut être seulement une pseudo-métrique. Des distances bornées ne prouvent pas qu'un espace est complet, et un ensemble familier de points peut avoir un comportement de Cauchy très différent sous différentes métriques.

La métrique tirée est complète exactement lorsque l'image h(X) est complète pour la distance réelle ordinaire. Une partie fermée de R est complète. Pour h(x)=arctan x sur R, l'image est (−π/2,π/2), qui omet ses extrémités. La suite n est de Cauchy dans la métrique tirée car arctan n → π/2, mais aucun réel x n'a arctan x=π/2, donc la métrique est incomplète. Pour h(x)=x³, l'image est tout R et la métrique tirée est complète. L'équivalence topologique seule ne préserve pas la complétude.

Dans une topologie avec une base, x appartient à la fermeture de A lorsque chaque voisinage ouvert élémentaire de x rencontre A. C'est un critère d'appartenance, pas automatiquement une opération d'extrémité euclidienne. La base doit recouvrir l'espace, et pour un point appartenant à deux ensembles de base, il doit exister un plus petit ensemble de base le contenant dans leur intersection. Un point peut appartenir à la fermeture d'un singleton même s'il n'en est pas le point ; cette possibilité dépend de la topologie.

Sur X={2,3,4,…}, prendre les ensembles élémentaires U_k={n in X: n divides k}, pour k≥2. Ils couvrent X car x∈U_x ; leurs intersections sont U_gcd(k,l) lorsque le pgcd est au moins 2, ou vides. Un point x appartient à la fermeture de {n} exactement lorsque tout k divisible par x est aussi divisible par n : équivalentement n divise x. Plus directement, le plus petit voisinage élémentaire U_x contient n précisément quand n divise x, et tout autre voisinage contenant x inclut ces diviseurs. Ainsi la fermeture de {8} consiste en les multiples positifs de 8, et non les diviseurs de 8.

Sous d(x,y)=|arctan x−arctan y|, la suite d'entiers tend vers une extrémité d'image manquante plutôt que vers un point de ℝ, donc elle est de Cauchy sans convergence dans cet espace. Dans la base des diviseurs, 16 appartient à la fermeture de {8}, car tout ensemble élémentaire contenant 16 contient aussi 8. Mais 4 non : U_4={2,4} est un voisinage de 4 qui exclut 8. Cela sépare explicitement les multiples des diviseurs.

Une limite de Cauchy doit appartenir au même espace. La complétude est une propriété métrique, pas seulement topologique. Pour la fermeture, tester chaque voisinage du point candidat, plutôt que chaque voisinage de la valeur singleton.

Sur $\mathbb R$ comparer $d_1(x,y)=|x^3-y^3|$ et $d_2(x,y)=|\arctan x-\arctan y|$. Prouver qu'ils sont des métriques et décider de la complétude.

Solution détaillée

Les deux cartes définissantes sont injectives, assurant une séparation positive ; la distance absolue donne la symétrie et l'inégalité triangulaire. Chaque carte est une isométrie sur son image réelle. La cubique a pour image tout $\mathbb R$, un espace complet, donc d1 est complète. L'image de l'arctangente est l'intervalle ouvert $(-\pi/2,\pi/2)$, qui est incomplet. La suite n est d2-de Cauchy car arctan n tend vers pi/2, mais aucun point réel n'a cette image, donc elle n'a pas de limite d2. Des valeurs de métrique bornées n'impliquent pas la complétude.

Sur $X=\{2,3,4,\ldots\}$ utiliser la base des diviseurs $U_k=\{n\in X:n\mid k\}$. Trouver la fermeture de $\{6\}$ et l'intérieur de $\{6\}$. Vérifier les conditions de base, y compris les intersections vides.

Vérification après tentative

Tout x appartient à Ux. Une intersection est $U_{\gcd(k,l)}$ si le pgcd est au moins deux, et est vide pour un pgcd de un. Ainsi un point dans une intersection possède un voisinage élémentaire contenu dedans. Le plus petit voisinage élémentaire de x est Ux, inclus dans tout Uk qui contient x. Il rencontre {6} exactement quand $6\mid x$. Par conséquent la fermeture est $\{6,12,18,\ldots\}$, les multiples de six. Le point six n'est pas intérieur à son singleton car U6 contient aussi deux et trois. Aucun autre point n'est dans ce singleton, donc son intérieur est vide. Ce calcul de fermeture utilise tous les voisinages de base, pas l'intuition euclidienne.