I · Numerical methods

AQA A-level Mathematics 7357, section I (Méthodes numériques), version 1.3 (première évaluation 2018). Notes pédagogiques originales.

Prérequis : évaluation de fonctions et analyse de signes des sections B et G.

Ce sont des exemples d'enseignement originaux, pas du matériel officiel AQA.

La question

• L'équation x³ − x − 1 = 0 n'a pas de solution algébrique simple, pourtant un ingénieur a besoin de la racine à quatre décimales près. Comment une réponse approximative peut-elle être PROUVÉE correcte jusqu'à une précision spécifiée ?
• Avant de continuer, dites ce qu'un changement de signe indique et ce qui pourrait rendre une réponse décimale digne de confiance.

La méthode

• Une fonction continue changeant de signe entre deux extrémités possède une racine entre elles. La dichotomie divise l'intervalle par deux et conserve le demi-intervalle dont les extrémités ont encore des signes opposés ; on s'arrête si le milieu est lui-même une racine.
• Itération x suivant = g(x) affine une estimation issue d'une réarrangement ; une limite doit satisfaire L = g(L) et être vérifiée dans l'équation originale. Newton-Raphson utilise x suivant = x − f(x)/f′(x) avec une dérivée non nulle. La règle des trapèzes estime une intégrale définie : (h/2)(y₀ + 2y₁ + … + 2yₙ₋₁ + yₙ).
• Bisection : diviser par la moitié un encadrement de racine en conservant la moitié où il y a un changement de signe ; itération : répéter une mise à jour x_next = g(x) à partir de l'estimation précédente ; Newton-Raphson : la mise à jour de racine est x_next = x − f(x)/f′(x) ; règle des trapèzes : estimer une intégrale en additionnant des bandes trapézoïdales.

Vérification de votre travail

• Un changement de signe prouve une racine uniquement si la fonction est CONTINUE : 1/x change de signe autour de x = 0 sans y avoir de racine. Indiquez une racine arrondie avec son encadrement, par exemple 1.3247 à quatre décimales donné par un changement de signe de f sur [1.32465, 1.32475], afin que la précision soit démontrable.
• L'itération peut diverger ou former un cycle : vérifiez les itérés, le domaine et l'équation originale. La règle des trapèzes surestime ou sous-estime selon la courbure, et non simplement parce que la fonction croît.

Cas résolu

• Données : f(x) = x² − 2 et x₀ = 1.5 pour Newton-Raphson. f′(x) = 2x, donc x₁ = x₀ − f(x₀)/f′(x₀) = 1.5 − (2.25 − 2)/3 = 1.5 − 0.0833… = 1.4166667. Une deuxième étape : f(1.4166667) ≈ 0.0069444, f′ ≈ 2.8333333, donc x₂ ≈ 1.4142157, convergeant vers √2.

Exemple :

Estimez ∫₀² x² dx avec deux bandes trapézoïdales égales et comparez avec la valeur exacte, en utilisant la même séquence. (Réponse : h = 1, hauteurs 0, 1, 4, donc A = (1/2)(0 + 2 × 1 + 4) = 3. La valeur exacte est 8/3 ≈ 2.667 — la courbe convexe rend l'estimation une surestimation.)

Limites et pièges

• Chaque méthode a ses conditions : la dichotomie exige un changement de signe continu, Newton nécessite une dérivée non nulle et peut échouer depuis un mauvais point de départ, et |g′(L)| < 1 est une condition suffisante de convergence locale lorsque g′ est continue près du point fixe L et que la valeur initiale est suffisamment proche ; elle n'est pas nécessaire. Plus de bandes améliorent une estimation trapézoïdale mais ne la rendent jamais exacte par simple affirmation.

Avertissement :

Chaque changement de signe prouve l'existence d'une racine, y compris celui traversant une discontinuité. Cette affirmation est fausse : le raisonnement de valeur intermédiaire exige la continuité sur tout l'intervalle — à travers une asymptote, la fonction peut passer de négatif à positif sans qu'il y ait de racine du tout.

Clé :

Méthodes numériques : encadrer une racine avec un changement de signe continu et diviser par la bisection ; itérer avec convergence vérifiée ; Newton-Raphson utilise la tangente ; la règle des trapèzes estime les intégrales dont la courbure détermine la direction de l'erreur.