Dans un musée des sciences, une boule de laiton est suspendue à un fil très long. Elle oscille toute la journée au-dessus d'un sol marqué, sans être touchée. Chaque oscillation dure le même temps que la précédente.…
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7.1
Définir le mouvement harmonique simple
Programme
Objectif d'apprentissage 7.1.A : Décrire le mouvement harmonique simple.
7.1.A.1 Le mouvement harmonique simple est un cas particulier du mouvement périodique.
7.1.A.2 Le MHS résulte lorsque la grandeur de la force de rappel exercée sur un objet est proportionnelle au déplacement de cet objet par rapport à sa position d'équilibre.
Équation dérivée :$ma_x = -k\Delta x$
7.1.A.2.i Une force de rappel est une force exercée dans une direction opposée au déplacement de l'objet par rapport à une position d'équilibre.
7.1.A.2.ii Une position d'équilibre est un endroit où la force nette exercée sur un objet ou un système est nulle.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Mouvement harmonique simple
Mouvement harmonique simple 简谐运动 (SHM) est un cas particulier du mouvement périodique 周期运动. Il apparaît dès lors que deux conditions sont réunies : il existe une position d'équilibre 平衡位置 où la force nette est nulle, et déplacer l'objet produit une force de rappel 回复力 – une force pointant vers l'équilibre – dont l'amplitude est proportionnelle au déplacement :
$$F=-k\,\Delta x.$$
La deuxième loi de Newton donne alors l'équation différentielle 微分方程 définissante :
Sa solution est sinusoidale, $x(t)=A\cos(\omega t+\phi)$. Vous n'avez pas besoin de prouver cette solution – vous devez la reconnaître : tout système dont le mouvement obéit à "$\ddot{x}=-\omega^2x$" est un oscillateur harmonique simple, peu importe sa composition. (Une masse suspendue à un ressort vertical fonctionne de la même manière : la gravité déplace simplement le point d'équilibre ; l'oscillation autour de celui-ci reste inchangée.)
Dans le SHM, l'accélération pointe toujours vers l'équilibre, opposée au déplacement
7.2
Fréquence et période du SHM
Programme
Objectif d'apprentissage 7.2.A : Décrire la fréquence et la période d'un objet présentant un MHS.
7.2.A.1 La période du MHS est liée à la pulsation, $\omega$, du mouvement de l'objet par l'équation suivante :
Deux pièges conceptuels classiques : la période du SHM ne dépend jamais de l'amplitude 振幅, et chaque système ignore une variable évidente – la période du pendule n'implique pas sa masse, et la période du ressort n'implique pas $g$ (un oscillateur masse-ressort garde un temps parfait en orbite ; une horloge à pendule non).
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Mesurer la période d'oscillation d'un pendule
La période d'un pendule dépend de sa longueur et de la gravité, pas de sa masse ou de son (petit) amplitude : $T=2\pi\sqrt{L/g}$. Allongez-le et chaque oscillation prend plus de temps.
Objectif d'apprentissage 7.3.A : Décrire le déplacement, la vitesse et l'accélération d'un objet présentant un MHS.
7.3.A.1 Pour un objet présentant un MHS, le déplacement de cet objet mesuré par rapport à sa position d'équilibre peut être représenté par les équations $x = A\cos(2\pi ft)$ ou $x = A\sin(2\pi ft)$.
7.3.A.1.i Les minima, maxima et zéros du déplacement, de la vitesse et de l'accélération sont des caractéristiques du mouvement harmonique.
7.3.A.1.ii Reconnaître les positions ou les moments où le déplacement, la vitesse et l'accélération pour un MHS ont des extrema ou des zéros peut aider à décrire qualitativement le comportement du mouvement.
7.3.A.2 La position en fonction du temps pour un objet présentant un MHS est une solution de l'équation différentielle du second ordre dérivée de l'application de la deuxième loi de Newton.
7.3.A.3 Les caractéristiques du MHS, telles que la vitesse et l'accélération, peuvent être déterminées ou dérivées à partir de l'équation $x = A\cos(\omega t + \phi).$
7.3.A.3.i L'accélération d'un objet présentant un MHS est liée à la pulsation et à la position de l'objet.
Équation dérivée:$a = -\omega^2 x$
7.3.A.3.ii Il peut être démontré que la vitesse maximale et l'accélération maximale d'un objet présentant un MHS sont liées à la pulsation du mouvement de l'objet.
Équations dérivées :$v_{\max} = A\omega$
$a_{\max} = A\omega^2$
7.3.A.4 En présence d'une force extérieure sinusoïdale, un système peut présenter des résonances.
7.3.A.4.i La résonance se produit lorsqu'une force extérieure est exercée à la fréquence propre d'un système oscillant.
7.3.A.4.ii La résonance augmente l'amplitude du mouvement oscillant.
7.3.A.4.iii La fréquence propre d'un système est la fréquence à laquelle le système oscillera lorsqu'il est déplacé de sa position d'équilibre.
7.3.A.5 Changer l'amplitude d'un système présentant un MHS ne changera pas sa période.
7.3.A.6 Les propriétés du MHS peuvent être déterminées et analysées à l'aide de représentations graphiques.
Énoncé de limite : AP Physics C: Mécanique s'attend uniquement à ce que les étudiants connaissent la solution de l'équation différentielle du second ordre qui décrit le MHS, ainsi qu'à pouvoir identifier le MHS. AP Physics C: Mécanique ne s'attend pas à ce que les étudiants prouvent mathématiquement que la solution est correcte.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Ainsi, aux extrémités de l'oscillation ($x=\pm A$), la vitesse est nulle et l'accélération est maximale ; en passant par l'équilibre ($x=0$), l'accélération est nulle et la vitesse est maximale, $v_{\max}=A\omega$. L'amplitude $A$ et la constante de phase 相位常数$\phi$ proviennent des conditions initiales : où l'objet commence et à quelle vitesse il se déplace. En éliminant $t$ (ou en utilisant l'énergie, ci-dessous), on obtient la vitesse en fonction de la position :
$$v=\pm\,\omega\sqrt{A^2-x^2}.$$
Le déplacement varie sinusoïdalement avec le temps dans un mouvement harmonique simple
Exemple résolu. Une masse $0.50\ \text{kg}$ sur un ressort $k=200\ \text{N/m}$ : $\omega=\sqrt{k/m}=20\ \text{rad/s}$, $T=2\pi/\omega=0.31\ \text{s}$. Avec $A=0.10\ \text{m}$ : $v_{\max}=A\omega=2.0\ \text{m/s}$ à l'équilibre, et à $x=0.050\ \text{m}$ la vitesse est $v=\omega\sqrt{A^2-x^2}=20\sqrt{0.10^2-0.050^2}=1.7\ \text{m/s}$.
7.4
Énergie des oscillateurs harmoniques simples
Programme
Objectif d'apprentissage 7.4.A : Décrire l'énergie mécanique d'un système présentant un MHS.
7.4.A.1 L'énergie totale d'un système présentant un MHS est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle.
Équation pertinente :$E_{\text{total}} = U + K$
7.4.A.2 La conservation de l'énergie indique que l'énergie totale d'un système présentant un MHS est constante.
7.4.A.3 L'énergie cinétique d'un système présentant un MHS est maximale lorsque son énergie potentielle est minimale.
7.4.A.4 L'énergie potentielle d'un système présentant un MHS est maximale lorsque son énergie cinétique est minimale.
7.4.A.4.i L'énergie cinétique minimale d'un système présentant un MHS est nulle.
7.4.A.4.ii Changer l'amplitude d'un système présentant un MHS changera l'énergie potentielle maximale du système et, par conséquent, l'énergie totale du système.
Équation pertinente pour un système ressort-objet :$E_{\text{total}} = \dfrac{1}{2}kA^2$
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
L'énergie totale de l'oscillateur est la somme $E=U+K$, et sans frottement elle est constante – l'énergie se transfère simplement entre l'énergie potentielle du ressort et l'énergie cinétique de la masse :
$$E=\tfrac12kA^2=\tfrac12kx^2+\tfrac12mv^2.$$
Toute l'énergie potentielle aux extrémités (où $K=0$), toute l'énergie cinétique à l'équilibre (où $U$ est minimum). Comme $E\propto A^2$, doubler l'amplitude quadruple l'énergie.
L'énergie cinétique et potentielle s'échangent au cours d'un cycle tandis que l'énergie totale reste constante
Exemple résolu. Où l'énergie est-elle partagée équitablement ? Poser $\tfrac12kx^2=\tfrac12E=\tfrac14kA^2$, donc $x=A/\sqrt2\approx0.71A$ – beaucoup plus proche de l'extrémité que du milieu. Pour le système ci-dessus ($A=0.10\ \text{m}$) : $x=0.071\ \text{m}$.
Laisonné seul, un système oscille à sa propre fréquence naturelle 固有频率 (déterminée par $k$ et $m$ : $f_0=\frac{1}{2\pi}\sqrt{k/m}$). Le faire osciller avec une force périodique à cette même fréquence fait augmenter l'amplitude considérablement – résonance 共振. Chaque poussée bien synchronisée ajoute de l'énergie plus vite que l'amortissement ne l'enlève, de sorte que l'amplitude forcée atteint un pic net lorsque la fréquence d'excitation correspond à $f_0$ (une balançoire actionnée à bon escient, un pont secoué par le vent).
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Échanger énergie cinétique et potentielle dans un mouvement harmonique simple
Dans le mouvement harmonique simple, l'énergie alterne entre cinétique (maximum au centre) et potentielle (maximum aux extrémités), tandis que le total reste constant.
7.5
Pendules simples et physiques
Programme
Objectif d'apprentissage 7.5.A : Décrire les propriétés d'un pendule physique.
7.5.A.1 Un pendule physique est un corps rigide qui subit une oscillation autour d'un axe fixe.
7.5.A.2 Pour de petites amplitudes de mouvement, la période d'un pendule physique est dérivée de l'application de la deuxième loi de Newton sous forme rotationnelle.
7.5.A.2.i Lorsqu'il est déplacé de l'équilibre, la force gravitationnelle exercée sur le centre de masse d'un pendule physique fournit un couple de rappel.
Équation dérivée:$\tau = -mgd\sin\theta$
7.5.A.2.ii Pour de petites amplitudes de mouvement, l'approximation des petits angles peut être appliquée au couple de rappel.
Équation dérivée:$\sin\theta \approx \theta$
$\tau = -mgd\theta = I\alpha$
7.5.A.2.iii L'approximation des petits angles et la deuxième loi de Newton sous forme rotationnelle donnent une équation différentielle du second ordre qui décrit le MHS :
7.5.A.3 Un pendule simple est un cas particulier de pendules physiques où l'objet suspendu peut être modélisé comme une masse ponctuelle située à une distance, $l$, du point d'appui.
7.5.A.4 Un pendule de torsion est un cas de MHS où le couple de rappel est proportionnel au déplacement angulaire d'un système en rotation. Par exemple, un disque horizontal suspendu à un fil attaché à son centre de masse peut subir des oscillations rotatives autour du fil dans le plan horizontal.
Équation dérivée :$I\alpha = -k\Delta\theta$
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Conservation de l'énergie : KE ⇄ PE
Un pendule physique 物理摆 est tout corps rigide oscillant autour d'un pivot fixe. Le déplacer d'un angle $\theta$ et la gravité, agissant au centre de masse à une distance $d$ du pivot, fournit un couple de rappel
$$\tau=-mgd\sin\theta.$$
Pour les petits angles, appliquer l'approximation des petits angles 小角度近似$\sin\theta\approx\theta$ et la deuxième loi de Newton sous forme rotative ($\tau=I\alpha$) :
C'est le même schéma "$\ddot\theta=-\omega^2\theta$" qu'auparavant – le reconnaître est la démonstration. Un pendule simple 单摆 est le cas particulier d'une masse ponctuelle attachée à une corde légère : $I=m\ell^2$ et $d=\ell$ donnent $T=2\pi\sqrt{\ell/g}$.
La gravité agissant au centre de masse fournit le couple de rappel d'un pendule physique
Exemple résolu. Une tige uniforme (masse $M$, longueur $L$) oscillant depuis une extrémité : $I=\tfrac13ML^2$, $d=\tfrac{L}{2}$, donc
– plus court qu'un pendule simple de longueur $L$, car la masse de la tige est plus proche du pivot.
Un pendule de torsion 扭摆 – un disque suspendu à un fil qui se tord – est encore une fois un mouvement harmonique simple (SHM) : le couple de rappel du fil est proportionnel à l'angle de torsion, $I\alpha=-\kappa\,\Delta\theta$, donnant $T=2\pi\sqrt{I/\kappa}$.
Compétence d'examen. Chaque FRQ de pendule exige les mêmes trois étapes : écrire le couple de rappel par rapport au pivot, appliquer l'approximation des petits angles, et comparer le résultat à $\ddot\theta=-\omega^2\theta$ pour lire $\omega$. Énoncer explicitement l'étape des petits angles – c'est un point attribué, et c'est pourquoi les oscillations de grande amplitude ne sont pas harmoniques simples.
Un pendule de Foucault : un long pendule lourd dont l'oscillation lente révèle la rotation de la Terre en dessous
