Énergie et moment cinétique des systèmes en rotation

AP Physique C : Mécanique · Sujet 6

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6.1

Énergie cinétique rotative

Programme

Objectif d'apprentissage 6.1.A : Décrire l'énergie cinétique de rotation d'un système rigide en termes de son inertie de rotation et de sa vitesse angulaire.

6.1.A.1 L'énergie cinétique de rotation d'un objet ou d'un système rigide est liée à l'inertie de rotation et à la vitesse angulaire du système rigide et est donnée par l'équation $K_{\text{rot}} = \dfrac{1}{2} I \omega^2$.
- Équation : $K_{\text{rot}} = \dfrac{1}{2} I \omega^2$
- 6.1.A.1.i L'inertie de rotation d'un objet autour d'un axe fixe peut être utilisée pour montrer que l'énergie cinétique de rotation de cet objet est équivalente à son énergie cinétique de translation, qui est son énergie cinétique totale.
- 6.1.A.1.ii L'énergie cinétique totale d'un système rigide est la somme de son énergie cinétique de rotation due à sa rotation autour de son centre de masse et de son énergie cinétique de translation due au mouvement linéaire de son centre de masse.
6.1.A.2 Un système rigide peut avoir de l'énergie cinétique de rotation alors que son centre de masse est au repos, en raison des points individuels à l'intérieur du système rigide ayant une vitesse linéaire et donc de l'énergie cinétique.
6.1.A.3 L'énergie cinétique de rotation est une grandeur scalaire.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Un corps en rotation possède une énergie cinétique de rotation 转动动能

$$K_{\text{rot}}=\tfrac12 I\omega^2,$$

le jumeau rotatif de $\tfrac12mv^2$, avec l'inertie de rotation 转动惯量 $I$ jouant le rôle de la masse. Un corps qui bouge et tourne porte les deux termes :

$$K=\tfrac12 mv_{\text{cm}}^2+\tfrac12 I\omega^2.$$

Exemple résolu. Un cylindre uniforme ($I=\tfrac12mr^2$) roule à une vitesse $v$. Son énergie cinétique est $K=\tfrac12mv^2+\tfrac12\big(\tfrac12mr^2\big)\big(\tfrac{v}{r}\big)^2=\tfrac34mv^2$ – un tiers est de nature rotative. Le même bilan énergétique dicte chaque problème de roulement.

6.2

Couple et travail

Programme

Objectif d'apprentissage 6.2.A : Décrire le travail effectué sur un système rigide par un couple donné ou un ensemble de couples.

6.2.A.1 Un couple peut transférer de l'énergie vers ou hors d'un objet ou d'un système rigide si le couple est exercé sur un déplacement angulaire.
6.2.A.2 La quantité de travail effectué sur un système rigide par un couple est liée à la magnitude de ce couple et au déplacement angulaire par lequel le système rigide tourne pendant l'intervalle durant lequel ce couple est exercé.
- Équation : $W = \displaystyle\int_{\theta_1}^{\theta_2} \tau \, d\theta$
6.2.A.3 Le travail effectué sur un système rigide par un couple donné peut être trouvé à partir de l'aire sous la courbe d'un graphique du couple en fonction de la position angulaire.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Un couple 力矩 agissant sur un déplacement angulaire 角位移 effectue un travail, et la puissance est le couple multiplié par la vitesse angulaire :

$$W=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\tau\,d\theta,\qquad P=\tau\omega.$$

Ce sont les formes rotatives de $W=\int F\,dx$ et $P=Fv$ – toute la boîte à outils énergétique de translation se transmet avec $F\to\tau$, $x\to\theta$, $v\to\omega$.

Exemple résolu. Un moteur applique un couple constant $8.0\ \text{N}\cdot\text{m}$ à un volant pendant $5.0$ tours complets : $W=\tau\,\Delta\theta=8.0(5.0)(2\pi)=250\ \text{J}$, qui apparaît sous forme d'énergie cinétique de rotation si les frottements sont négligeables.

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Équilibrer les couples sur une poutre

Le couple est le produit de la force par la distance perpendiculaire, $\tau=Fd$. Des couples égaux de chaque côté maintiennent la poutre en équilibre rotationnel.

6.3

Quantité de mouvement angulaire et impulsion angulaire

Programme

Objectif d'apprentissage 6.3.A : Décrire le moment cinétique d'un objet ou d'un système rigide.

6.3.A.1 La magnitude du moment cinétique d'un système rigide par rapport à un axe spécifique peut être décrite avec l'équation $L = I\omega$.
- Équation : $L = I\omega$
6.3.A.2 Le moment cinétique d'un objet par rapport à un point donné est $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$.
- Équation : $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$
- 6.3.A.2.i Le choix de l'axe autour duquel un objet est considéré en rotation influence la détermination du moment cinétique de cet objet.
- 6.3.A.2.ii Le moment cinétique mesuré d'un objet se déplaçant en ligne droite dépend de la distance entre le point de référence et l'objet, de la masse de l'objet, de la vitesse de l'objet et de l'angle entre la distance radiale et la vitesse de l'objet.

Objectif d'apprentissage 6.3.B : Décrire l'impulsion angulaire délivrée à un objet ou à un système rigide par un couple.

6.3.B.1 L'impulsion angulaire est définie comme le produit du couple exercé sur un objet ou un système rigide et de l'intervalle de temps durant lequel le couple est exercé.
- Équation : $\text{angular impulse} = \displaystyle\int \tau \, dt$
6.3.B.2 L'impulsion angulaire a la même direction que le couple qui lui est appliqué.
6.3.B.3 L'impulsion angulaire délivrée à un objet ou à un système rigide par un couple peut être trouvée à partir de l'aire sous la courbe d'un graphique du couple en fonction du temps.

Objectif d'apprentissage 6.3.C : Relier le changement de moment cinétique d'un objet ou d'un système rigide à l'impulsion angulaire donnée à cet objet ou à ce système rigide.

6.3.C.1 La grandeur du changement de moment cinétique peut être décrite en comparant les grandeurs des moments finaux et initiaux de l'objet ou du système rigide.
- Équation : $\Delta L = L - L_0$
6.3.C.2 Une forme de rotation du théorème de l'impulsion et de la quantité de mouvement relie l'impulsion angulaire délivrée à un objet ou à un système rigide et le changement de moment cinétique de cet objet ou de ce système rigide.
- 6.3.C.2.i L'impulsion angulaire exercée sur un objet ou un système rigide est égale au changement de moment cinétique de cet objet ou de ce système rigide.
  - Équation: $\Delta L = \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \tau \, dt$
- 6.3.C.2.ii La forme rotationnelle du théorème de l'impulsion-quantité de mouvement est une conséquence directe de la deuxième loi du mouvement de Newton pour les cas où l'inertie rotative est constante.
  - Équation: $\tau_{\text{net}} = \dfrac{dL}{dt} = I\dfrac{d\omega}{dt} = I\alpha$
6.3.C.3 Le couple net exercé sur un objet ou un système rigide est égal à la pente du graphique du moment cinétique d'un objet en fonction du temps.
6.3.C.4 L'impulsion angulaire fournie à un objet ou un système rigide est égale à l'aire sous la courbe d'un graphique du couple externe net exercé sur un objet en fonction du temps.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Le moment cinétique 角动量 pour une particule est

$$\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p},\qquad |L|=mvr\sin\theta,$$

ainsi même une particule se déplaçant en ligne droite possède un moment cinétique par rapport à n'importe quel point hors de cette ligne ($L=mv\,d$, avec $d$ la distance perpendiculaire). Pour un corps rigide tournant autour d'un axe fixe, $L=I\omega$. La deuxième loi de Newton sous forme rotative est

$$\vec{\tau}_{\text{net}}=\frac{d\vec{L}}{dt}\quad(=I\alpha\ \text{when }I\text{ is constant}),$$

et un couple net agissant sur une durée délivre une impulsion angulaire 角冲量 $\int\tau\,dt=\Delta L$ – le théorème de l'impulsion et de la quantité de mouvement rotatifs.

6.4

Conservation de la quantité de mouvement angulaire

Programme

Objectif d'apprentissage 6.4.A : Décrire le comportement d'un système en utilisant la conservation du moment cinétique.

6.4.A.1 Le moment cinétique total d'un système par rapport à un axe de rotation est la somme des moments cinétiques des parties constitutives du système par rapport à cet axe de rotation.
6.4.A.2 Tout changement du moment cinétique d'un système doit être dû à une interaction entre le système et son environnement.
- 6.4.A.2.i L'impulsion angulaire exercée par un objet ou un système sur un second objet ou système est égale et opposée à l'impulsion angulaire exercée par le second objet ou système sur le premier. C'est une conséquence directe de la troisième loi de Newton.
- 6.4.A.2.ii Un système peut être choisi de sorte que le moment cinétique total de ce système soit constant.
- 6.4.A.2.iii La vitesse angulaire d'un système non rigide peut changer sans que le moment cinétique du système ne change si le système modifie sa forme en déplaçant de la masse plus près ou plus loin de l'axe de rotation.
- 6.4.A.2.iv Si le moment cinétique total d'un système change, ce changement sera équivalent à l'impulsion angulaire exercée sur le système.

Objectif d'apprentissage 6.4.B : Décrire comment le choix d'un système détermine si le moment cinétique de ce système change.

6.4.B.1 Le moment cinétique est conservé dans toutes les interactions.
6.4.B.2 Si le couple externe net exercé sur un objet ou un système rigide choisi est nul, le moment cinétique total de ce système est constant.
6.4.B.3 Si le couple externe net exercé sur un objet ou un système rigide choisi est non nul, le moment cinétique est transféré entre le système et l'environnement.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Moment cinétique : rapprochez, tournez plus vite

Avec un couple externe net nul, le moment cinétique total est conservé 守恒 :

$$L_{\text{before}}=L_{\text{after}},\qquad I_1\omega_1=I_2\omega_2\ \text{(one rigid body reshaping)}.$$

Oui $I$ diminue, $\omega$ augmente – une patineuse accélère en ramenant ses bras. La règle survit aux chocs et aux changements de forme, ce qui la rend si utile : choisissez l'axe de sorte que chaque force externe (gravité, force du pivot) n'exerce aucun couple autour de celui-ci.

Exemple résolu. Une patineuse tourne à $2.0\ \text{rev/s}$ avec une inertie $I_1=4.0\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$. En ramenant ses bras, celle-ci chute à $I_2=1.6\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$ : $\omega_2=\dfrac{4.0}{1.6}(2.0)=5.0\ \text{rev/s}$. Son énergie cinétique augmente – l'énergie supplémentaire provient du travail effectué par ses muscles pour ramener ses bras vers l'intérieur.

Tirer la masse vers l'intérieur réduit I, donc ω augmente pour conserver L = Iω — Ramener de la masse vers l'intérieur diminue I, donc ω augmente pour conserver L = Iω

Le moment cinétique autour du pivot est conservé lorsque la balle s'enfonce dans la tige

Exemple résolu (collision rotative). Une balle de $0.020\ \text{kg}$ à une vitesse $300\ \text{m/s}$ frappe l'extrémité d'une tige uniforme (masse $M=1.5\ \text{kg}$, longueur $l=0.60\ \text{m}$) suspendue à un pivot, et s'y enfonce. Autour du pivot, la gravité et la force du pivot n'exercent aucun couple durant l'impact, donc le $L$ est conservé : $L=mvl=0.020(300)(0.60)=3.6\ \text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}$. Après l'impact, le $I=\tfrac13Ml^2+ml^2=0.18+0.0072=0.187\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$, donc $\omega=\dfrac{3.6}{0.187}\approx19\ \text{rad/s}$. (La quantité de mouvement linéaire n'est pas conservée ici – le pivot pousse sur la tige – et l'énergie cinétique ne l'est certainement pas : vérifiez avant d'affirmer qu'ils le sont.)

Patineuses artistiques sur glace — Patinage artistique et moment cinétique : une patineuse qui ramène ses bras lors d'une rotation réduit son inertie de rotation, donc elle tourne plus vite

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
rotational kinetic energy/rəʊˈteɪʃənl kɪˈnetɪk ˈenədʒi/	转动动能	zhuǎn dòng dòng néng
rotational inertia/rəʊˈteɪʃənl ɪˈnɜːʃə/	转动惯量	zhuǎn dòng guàn liàng
torque/tɔːk/	力矩	lì jǔ
angular displacement/ˈæŋɡjʊlə dɪˈspleɪsmənt/	角位移	jiǎo wèi yí
Angular momentum/ˈæŋɡjʊlə məʊˈmentəm/	角动量	jiǎo dòng liàng
angular impulse/ˈæŋɡjʊlə ˈɪmpʌls/	角冲量	jiǎo chōng liàng
conserved/kənˈsɜːvd/	守恒	shǒu héng

6.5

Roulement

Programme

Objectif d'apprentissage 6.5.A : Décrire l'énergie cinétique d'un système présentant un mouvement de translation et de rotation.

6.5.A.1 L'énergie cinétique totale d'un système est la somme des énergies cinétiques de translation et de rotation du système.
- Équation : $K_{\text{tot}} = K_{\text{trans}} + K_{\text{rot}}$

Objectif d'apprentissage 6.5.B : Décrire le mouvement d'un système qui roule sans glisser.

6.5.B.1 Lors du roulement sans glissement, le mouvement de translation du centre de masse d'un système est lié au mouvement de rotation du système lui-même par les équations suivantes :
- Équation : $\Delta x_{\text{cm}} = r\Delta\theta$
- Équation : $v_{\text{cm}} = r\omega$
- Équation : $a_{\text{cm}} = r\alpha$
6.5.B.2 Pour les cas idéaux, le roulement sans glissement implique que la force de frottement ne dissipe aucune énergie du système roulant.

Objectif d'apprentissage 6.5.C : Décrire le mouvement d'un système qui roule tout en glissant.

6.5.C.1 Lors du glissement, le mouvement de translation du centre de masse d'un système et le mouvement de rotation du système ne peuvent pas être directement liés.
6.5.C.2 Lorsqu'un système en rotation glisse par rapport à une autre surface, le point d'application de la force de frottement cinétique exercée sur le système se déplace par rapport à la surface, donc la force de frottement cinétique dissipera de l'énergie du système.

Énoncé de limite : Le frottement de roulement est hors programme d'AP Physics C: Mécanique.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Roulement sans glissement

Le roulement sans glissement 无滑滚动 lie la translation à la rotation : le point de contact est momentaniquement au repos, donc

$$\Delta x_{\text{cm}}=r\,\Delta\theta,\qquad v_{\text{cm}}=r\omega,\qquad a_{\text{cm}}=r\alpha.$$

Lors d'un roulement sans patin, le point de contact est au repos, donc v = rω

La friction statique fournit le couple qui maintient la rotation synchronisée avec le mouvement, mais au niveau d'un point qui ne glisse pas – donc pour un roulement pur, la friction ne fait aucun travail, et la conservation de l'énergie peut être utilisée en toute sécurité. (Les frottements de roulement sortent du programme AP.)

Des voitures de course descendant une pente illustrent le partage d'énergie. Avec $I=\beta mr^2$, la conservation de l'énergie donne

$$a_{\text{cm}}=\frac{g\sin\theta}{1+\beta}:$$

une sphère ($\beta=\tfrac25$) bat un disque 圆盘 ($\beta=\tfrac12$), qui bat un cerceau 圆环 ($\beta=1$) – la masse et le rayon s'annulent complètement. Plus d'énergie du cerceau est stockée en rotation, donc son centre se déplace plus lentement.

Course de roulement : la forme avec le plus petit I/mr² atteint le fond en premier

Exemple résolu. Une sphère pleine roule à partir du repos sur une pente de $30^\circ$ : une vitesse de $a=\dfrac{g\sin30^\circ}{1+\tfrac25}=\dfrac{9.8(0.50)}{1.4}=3.5\ \text{m/s}^2$, contre $4.9\ \text{m/s}^2$ pour un glisseur sans frottement – les objets roulants perdent toujours face aux objets qui glissent.

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
Rolling without slipping/ˈrəʊlɪŋ wɪˈðaʊt ˈslɪpɪŋ/	无滑滚动	wú huá gǔn dòng
disk/dɪsk/	圆盘	yuán pán
hoop/huːp/	圆环	yuán huán
centripetal force/senˈtrɪpɪtl fɔːs/	向心力	xiàng xīn lì

6.6

Mouvement des satellites en orbite

Programme

Objectif d'apprentissage 6.6.A : Décrire les mouvements d'un système composé de deux objets ou systèmes n'interagissant que par des forces gravitationnelles.

6.6.A.1 Dans un système composé uniquement d'un objet central massif et d'un satellite en orbite dont la masse est négligeable par rapport à la masse de l'objet central, le mouvement de l'objet central lui-même est négligeable.
6.6.A.2 Le mouvement des satellites en orbite est contraint par les lois de conservation.
- 6.6.A.2.i Dans les orbites circulaires, l'énergie mécanique totale du système, l'énergie potentielle gravitationnelle du système et le moment cinétique ainsi que l'énergie cinétique du satellite sont constants.
- 6.6.A.2.ii Dans les orbites elliptiques, l'énergie mécanique totale du système et le moment cinétique du satellite sont constants, mais l'énergie potentielle gravitationnelle du système et l'énergie cinétique du satellite peuvent chacune changer.
- 6.6.A.2.iii L'énergie potentielle gravitationnelle d'un système constitué d'un satellite et d'un objet central massif est définie comme étant nulle lorsque le satellite se trouve à une distance infinie de l'objet central.
  - Équation: $U_g = -G\dfrac{m_1 m_2}{r}$
6.6.A.3 L'énergie totale d'un système composé d'un satellite en orbite circulaire autour d'un objet central peut s'écrire en termes d'énergie potentielle gravitationnelle de ce système ou d'énergie cinétique du satellite.
- Équation : $K = -\dfrac{1}{2}U$
- Équation : $E_{total} = \dfrac{1}{2}U = -\dfrac{GMm}{2r}$
6.6.A.4 La vitesse d'échappement d'un satellite est la vitesse du satellite telle que l'énergie mécanique du système satellite-objet central soit égale à zéro.
- 6.6.A.4.i Lorsque la seule force exercée sur un satellite est la gravité d'un objet central, un satellite atteignant la vitesse d'échappement s'éloignera du corps central jusqu'à ce que sa vitesse atteigne zéro à une distance infinie du corps central.
- 6.6.A.4.ii La vitesse d'échappement d'un satellite d'un corps central de masse $M$ peut être dérivée en utilisant les lois de conservation de l'énergie.
  - Équation: $v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}}$

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Mouvement orbital (loi de Kepler 2)

La gravité fournit la force centripète 向心力 pour un satellite 卫星 en orbite circulaire :

$$\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}\quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$$

– les orbites plus grandes sont plus lentes. Avec l'énergie potentielle gravitationnelle 引力势能 $U_g=-\dfrac{GMm}{r}$, une orbite circulaire obéit à $K=-\tfrac12U$, donc l'énergie mécanique totale 总机械能 est

$$E=K+U=\frac{U}{2}=-\frac{GMm}{2r},$$

négative car le satellite est lié. Pour s'échapper d'un rayon $r$, l'énergie totale doit atteindre zéro, donnant la vitesse d'éjection 逃逸速度

$$v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{r}}.$$

La gravité fournit la force centripète qui maintient un satellite en orbite

Dans une orbite elliptique 椭圆轨道, $E$ et $L$ sont fixes : la gravité pointe vers le foyer, donc elle n'exerce aucun couple autour de celui-ci. La conservation du $L$ signifie que le satellite balaye des surfaces égales en temps égaux – la deuxième loi de Kepler 开普勒第二定律 – et se déplace donc le plus vite au périastre et le plus lentement à l'apoastre. La conservation de l'énergie relie les vitesses aux deux extrémités.

Exemple résolu. Pour un satellite à un rayon $r=7.0\times10^{6}\ \text{m}$ autour de la Terre (masse $GM=4.0\times10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2$) : vitesse orbitale $v=\sqrt{GM/r}=7.6\times10^{3}\ \text{m/s}$, tandis que s'échapper de ce rayon nécessite $v_{\text{esc}}=\sqrt{2GM/r}=1.1\times10^{4}\ \text{m/s}$ – exactement $\sqrt2$ fois la vitesse circulaire.

Compétence d'examen. Les questions à réponse développée (FRQ) sur les orbites sont en réalité des problèmes d'énergie et de moment cinétique : écrivez $E=\tfrac12mv^2-\dfrac{GMm}{r}$ et $L=mvr\sin\theta$ aux deux points d'intérêt et résolvez le système – ne jamais supposer que les formules pour les orbites circulaires s'appliquent à une ellipse.

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Comparer les orbites à différents rayons

Un satellite en orbite est en chute libre, la gravité fournissant la force centripète. Une orbite plus grande signifie une vitesse plus lente et une période plus longue (troisième loi de Kepler).

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
satellite/ˈsætəlaɪt/	卫星	wèi xīng
gravitational potential energy/ˌɡrævɪˈteɪʃənl pəˈtenʃl ˈenədʒi/	引力势能	yǐn lì shì néng
total mechanical energy/ˈtəʊtl mɪˈkænɪkl ˈenədʒi/	总机械能	zǒng jī xiè néng
escape velocity/eˈskeɪp vəˈlɒsɪti/	逃逸速度	táo yì sù dù
elliptical orbit/ɪˈlɪptɪkl ˈɔːbɪt/	椭圆轨道	tuǒ yuán guǐ dào
Kepler's second law/ˈkepləz ˈsekənd lɔː/	开普勒第二定律	kāi pǔ lēi dì èr dìng lǜ

6.6

Conseils d'examen

Calculer le moment d'inertie $I=\int r^2\,dm$ et décaler les axes avec le théorème des axes parallèles $I=I_{cm}+Md^2$.
L'énergie cinétique de rotation est $\tfrac12 I\omega^2$ ; un corps roulant possède à la fois une énergie cinétique de translation et de rotation.
Conserver le moment cinétique $L=I\omega$ lorsque le couple externe net est nul (un patineur qui rapproche ses bras).
Utiliser la conservation de l'énergie pour les problèmes de roulement sans glissement ($v=r\omega$ lie les deux mouvements).
Connaître les valeurs standards de $I$ (cerceau, disque, tige, sphère) et où se trouve l'axe.

Leçons interactives sur ce sujet

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Épreuves Passées

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