Une voiture s'arrête dans un crash. Avec un airbag, le conducteur se relève. Sans, il ne le fait pas. Dans les deux cas, le changement de quantité de mouvement est exactement le même — de plein…
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4.1
Quantité de mouvement linéaire
Programme
Objectif d'apprentissage 4.1.A : Décrire l'impulsion linéaire d'un objet ou d'un système.
4.1.A.1 L'impulsion linéaire est définie par l'équation $\vec{p} = m\vec{v}$.
4.1.A.2 L'impulsion est une grandeur vectorielle et a la même direction que la vitesse.
4.1.A.3 L'impulsion peut être utilisée pour analyser les collisions et les explosions.
4.1.A.3.i Une collision est un modèle pour une interaction où les forces exercées entre les objets impliqués dans le système sont beaucoup plus grandes que la force externe nette exercée sur ces objets pendant l'interaction.
4.1.A.3.ii Comme seuls les états initial et final d'une collision sont analysés, le modèle objet peut être utilisé pour analyser les collisions.
4.1.A.3.iii Une explosion est un modèle pour une interaction dans laquelle des forces internes au système éloignent les objets au sein de ce système.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Quantité de mouvement linéaire 动量 est la masse fois la vitesse :
$$\vec{p}=m\vec{v}.$$
C'est un vecteur 矢量 pointant le long de la vitesse, et c'est la grandeur pour analyser les collisions 碰撞 et les explosions 爆炸. Un ensemble d'objets peut être traité comme un seul système se déplaçant avec la vitesse de son centre de masse 质心 :
ainsi la quantité de mouvement totale du système est sa masse totale fois $\vec{v}_{\text{cm}}$ – une seule tenue de compte pour un nombre quelconque de pièces.
4.2.A.3 L'impulsion est une grandeur vectorielle et a la même direction que la force nette exercée sur le système.
4.2.A.4 L'impulsion fournie à un système par une force externe nette est égale à l'aire sous la courbe d'un graphique de la force externe nette exercée sur le système en fonction du temps.
4.2.A.5 La force externe nette exercée sur un système est égale à la pente d'un graphique de l'impulsion du système en fonction du temps.
Objectif d'apprentissage 4.2.B : Décrire la relation entre l'impulsion exercée sur un objet ou un système et le changement de quantité de mouvement de l'objet ou du système.
4.2.B.1 Le changement d'impulsion est la différence entre l'impulsion finale d'un système et son impulsion initiale.
Équation :$\Delta\vec{p} = \vec{p} - \vec{p}_0$
4.2.B.2 Le théorème de l'impulsion-quantité de mouvement relie l'impulsion délivrée à un objet et le changement de quantité de mouvement de l'objet.
4.2.B.2.i L'impulsion exercée sur un objet est égale au changement de quantité de mouvement de l'objet.
4.2.B.2.ii La deuxième loi du mouvement de Newton est une conséquence directe du théorème de l'impulsion-quantité de mouvement appliqué aux systèmes à masse constante.
4.2.B.2.iii Le théorème de l'impulsion-quantité de mouvement décrit également le comportement d'un système où la vitesse est constante mais la masse change avec le temps.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
La deuxième loi de Newton est en réalité une affirmation sur la quantité de mouvement :
$$\vec{F}_{\text{net}}=\frac{d\vec{p}}{dt},$$
ce qui se réduit à $m\vec{a}$ lorsque la masse est constante – et gère une masse variable lorsqu'elle ne l'est pas (le cas particulier $\vec{F}=\dfrac{dm}{dt}\vec{v}$ n'est valide que si la vitesse est constante, ex. : une chaîne s'empilant sur une balance ou du sable atterrissant sur une bande transporteuse à vitesse fixe ; une fusée ne rentre pas dedans, car elle accélère). L'impulsion 冲量 fournie par une force est son intégrale temporelle, et le théorème de l'impulsion-quantité de mouvement 冲量-动量定理 dit qu'elle est égale à la variation de la quantité de mouvement :
L'impulsion est un vecteur le long de la force nette. Lisez-la sur les graphiques des deux manières :
Sur un graphique force–temps, l'impulsion est l'aire sous la courbe.
Sur un graphique quantité de mouvement–temps, la force nette est la pente 斜率 à chaque instant.
L'impulsion est la surface sous la courbe force-temps, égale à la force moyenne multipliée par le temps de contact
Répartir la même $\Delta p$ sur une durée plus longue diminue la force – c'est pourquoi les coussins gonflables, les zones de déformation et les atterrissages amortis fonctionnent, et pourquoi on fléchit les genoux à l'atterrissage.
Exemple résolu. Une force variable $F(t)=10t\ \text{N}$ agit sur un objet de $2.0\ \text{kg}$ pendant $2.0\ \text{s}$. L'impulsion est $J=\displaystyle\int_0^2 10t\,dt=\big[5t^2\big]_0^2=20\ \text{N}\cdot\text{s}$, donc la vitesse change de $\Delta v=J/m=10\ \text{m/s}$.
Objectif d'apprentissage 4.3.A : Décrire le comportement d'un système en utilisant la conservation de la quantité de mouvement linéaire.
4.3.A.1 Un ensemble d'objets ayant chacun leur propre quantité de mouvement peut être décrit comme un seul système possédant une vitesse unique du centre de masse.
4.3.A.1.i Pour un ensemble d'objets, la vitesse du centre de masse d'un système peut être calculée à l'aide de l'équation
4.3.A.1.ii La vitesse du centre de masse d'un système reste constante en l'absence de force externe nette.
4.3.A.2 La quantité de mouvement totale d'un système est la somme des quantités de mouvement des parties qui le composent.
4.3.A.3 En l'absence de forces externes nettes, toute modification de la quantité de mouvement d'un objet au sein d'un système doit être compensée par une variation équivalente et opposée de quantité de mouvement ailleurs dans le système. Toute variation de la quantité de mouvement d'un système résulte d'un transfert de quantité de mouvement entre le système et son environnement.
4.3.A.3.i L'impulsion exercée par un objet sur un second objet est égale et opposée à l'impulsion exercée par le second objet sur le premier. Il s'agit d'une conséquence directe de la troisième loi de Newton.
4.3.A.3.ii Un système peut être choisi de telle sorte que sa quantité de mouvement totale soit constante.
4.3.A.3.iii Si la quantité de mouvement totale d'un système change, cette variation sera équivalente à l'impulsion exercée sur le système.
Équation:$\vec{J} = \Delta\vec{p}$
4.3.A.4 Une application correcte de la conservation de la quantité de mouvement permet de déterminer la vitesse d'un système immédiatement avant et immédiatement après des collisions ou des explosions.
Énoncé de limite : AP Physics C: Mécanique attend seulement des étudiants qu'ils analysent quantitativement les collisions et les interactions en une ou deux dimensions. Les collisions tridimensionnelles peuvent être analysées qualitativement.
Objectif d'apprentissage 4.3.B : Décrire comment le choix d'un système détermine si la quantité de mouvement de ce système change.
4.3.B.1 La quantité de mouvement est conservée dans toutes les interactions.
4.3.B.2 Si la force externe nette agissant sur le système choisi est nulle, la quantité de mouvement totale du système est constante.
4.3.B.3 Si la force externe nette agissant sur le système choisi est non nulle, la quantité de mouvement est transférée entre le système et l'environnement.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Les forces internes viennent par paires de la troisième loi de Newton, donc elles s'annulent à l'intérieur de tout système : elles peuvent redistribuer la quantité de mouvement entre les parties mais jamais changer le total. La quantité de mouvement n'entre ou ne sort d'un système que par une force externe nette ($\vec{J}=\Delta\vec{p}$). Donc, avec une force externe nette nulle, la quantité de mouvement totale est conservée 守恒 :
La quantité de mouvement est conservée dans toute collision, aussi violente soit-elle – choisissez un système assez large pour que les forces de collision soient internes. Appliquez la conservation séparément selon chaque axe ; AP demande un travail quantitatif en une ou deux dimensions.
Une collision frontale : la quantité de mouvement totale avant est égale à la quantité de mouvement totale après
Exemple résolu (explosion). Une coquille de $6.0\ \text{kg}$ au repos se divise en un morceau de $2.0\ \text{kg}$ se déplaçant à $9.0\ \text{m/s}$ vers l'est et un morceau de $4.0\ \text{kg}$. La quantité de mouvement totale reste nulle, donc le lourd morceau se déplace vers l'ouest à $v=\dfrac{2.0(9.0)}{4.0}=4.5\ \text{m/s}$. L'énergie cinétique provenait d'une énergie stockée (chimique ou de ressort) – la conservation de la quantité de mouvement n'exige pas la conservation de l'énergie cinétique.
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Entrer en collision deux chariots et conserver la quantité de mouvement
Dans toute collision, la quantité de mouvement totale$\sum mv$ avant est égale à celle après. Réglez les masses et les vitesses et vérifiez la comptabilité de la quantité de mouvement.
4.4
Collisions élastiques et inélastiques
Programme
Objectif d'apprentissage 4.4.A : Décrire si une interaction entre des objets est élastique ou inélastique.
4.4.A.1 Une collision élastique entre des objets est une collision où l'énergie cinétique initiale du système est égale à l'énergie cinétique finale du système.
4.4.A.2 Lors d'une collision élastique, les énergies cinétiques finales de chaque objet au sein du système peuvent être différentes de leurs énergies cinétiques initiales.
4.4.A.3 Une collision inélastique entre des objets est une collision où l'énergie cinétique totale du système diminue.
4.4.A.4 Lors d'une collision inélastique, une partie de l'énergie cinétique initiale n'est pas restituée sous forme d'énergie cinétique, mais est transformée par des forces non conservatives en d'autres formes d'énergie.
4.4.A.5 Lors d'une collision parfaitement inélastique, les objets restent collés ensemble et se déplacent avec la même vitesse après la collision.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Conservation de la quantité de mouvement lors d'une collision
Toutes les collisions conservent la quantité de mouvement ; elles diffèrent par ce qui arrive à l'énergie cinétique 动能 :
type
quantité de mouvement
énergie cinétique
collision élastique 弹性碰撞
conservée
totale conservée (les parts individuelles peuvent changer)
collision inélastique 非弹性碰撞
conservée
diminue – une partie devient chaleur, bruit, déformation 形变
collision parfaitement inélastique 完全非弹性碰撞
conservée
perte maximale possible – les objets restent collés et partagent une vitesse unique
Stratégie : écrivez toujours la conservation de la quantité de mouvement en premier ; ajoutez l'équation de l'énergie cinétique uniquement si le problème dit « élastique ». Deux faits utiles sur l'élasticité : des masses égales dans une collision élastique 1D échangent simplement leurs vitesses, et dans le référentiel du centre de masse, chaque objet inverse simplement sa vitesse.
Exemple résolu. Une voiture de $1000\ \text{kg}$ à $20\ \text{m/s}$ percute une voiture immobile de $1500\ \text{kg}$ et elles se bloquent ensemble – parfaitement inélastique. Quantité de mouvement : $v=\dfrac{1000(20)}{2500}=8.0\ \text{m/s}$. L'énergie cinétique chute de $2.0\times10^5\ \text{J}$ à $\tfrac12(2500)(8.0)^2=8.0\times10^4\ \text{J}$ : environ $60\%$ est perdu, bien que la quantité de mouvement soit exactement conservée.
Exemple résolu (2D). Un puck se déplaçant vers l'est à $4.0\ \text{m/s}$ percute un puck identique au repos ; après le choc latéral, l'un se déplace à $2.0\ \text{m/s}$ à $60^\circ$ nord de l'est. Conservez chaque axe : est-ouest, $m(4.0)=m(2.0)\cos60^\circ+mv_x$, donc $v_x=3.0\ \text{m/s}$ ; nord-sud, $0=m(2.0)\sin60^\circ-mv_y$, donc $v_y=1.7\ \text{m/s}$. Le second puck se déplace à $\sqrt{3.0^2+1.7^2}=3.5\ \text{m/s}$, environ $30^\circ$ sud de l'est.
Une collision rasante, résolue selon deux axes perpendiculaires
Compétence d'examen. Sur les FRQ, justifiez avec la condition, pas le slogan : « la force externe nette sur le système des deux pucks est nulle pendant la collision, donc sa quantité de mouvement totale est constante. » Si on vous demande si la collision est élastique, calculez l'énergie cinétique avant et après et comparez – ne supposez jamais.
Un jeu de boules Newton montre le passage de la quantité de mouvement et de l'énergie cinétique à travers une collision quasi-élastique
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Comparer les collisions élastiques et inélastiques
La quantité de mouvement est toujours conservée, mais l'énergie cinétique n'est conservée que dans une collision élastique. Dans une collision inélastique, les chariots collent ensemble et une partie de l'énergie devient de la chaleur.
4.4
Conseils d'examen
L'impulsion est égale à la variation de la quantité de mouvement : $\vec J=\int \vec F\,dt=\Delta\vec p$, et c'est l'aire sous un graphique force–temps.
La quantité de mouvement est conservée dès que la force externe nette est nulle – toujours le point de départ pour les collisions.
Distinguez les collisions élastiques (énergie cinétique conservée) des collisions inélastiques (énergie cinétique diminue) ; dans une collision parfaitement inélastique, les objets restent collés et se déplacent avec une seule vitesse.
Appliquez la conservation à chaque composante (x et y) séparément en 2-D.
Reliez au centre de masse : quantité de mouvement totale $=M\vec v_{cm}$.
Leçons interactives sur ce sujet
Traversez-le étape par étape, avec des exercices à vérification instantanée.
