Cinématique

Un sprinter parcourt 100 m en moins de 10 s, mais n'atteint sa vitesse maximale qu'après environ 60 m. Le temps de vol d'un sauteur en longueur dure moins d'une seconde, et la distance dépend d'un seul nombre : la vitesse et l'angle au départ. La cinématique transforme ces instants en nombres prévisibles.

La cinématique décrit comment les objets se déplacent, sans s'interroger sur pourquoi. D'abord, deux types de grandeurs :

• Un scalaire n'a que grandeur (magnitude) : distance, vitesse, temps, masse.
• Un vecteur possède une magnitude et une direction : déplacement, vitesse vectorielle, accélération, force.

La différence est importante. La distance est la longueur totale du parcours parcouru – un scalaire qui ne fait qu'augmenter. Le déplacement est le changement de position en ligne droite, avec une direction. Marchez $3\ \text{m}$ vers l'est puis $1\ \text{m}$ vers l'ouest : la distance est $4\ \text{m}$, mais le déplacement n'est que $2\ \text{m}$ vers l'est.

En une dimension, la direction est simplement un signe (+ ou −) le long d'un axe choisi. Choisir la direction positive en premier est essentiel : le signe de tout vecteur en dépend. Une vitesse de $-5\ \text{m/s}$ ne signifie pas « lent » ; elle signifie $5\ \text{m/s}$ dans la direction négative.

Un vecteur est représenté par une flèche : sa direction indique celle du vecteur, et sa longueur est proportionnelle à son intensité. Une vitesse de 10 m/s est dessinée deux fois plus longue qu'une vitesse de 5 m/s. Dans les équations, un vecteur porte une flèche au-dessus de son symbole, $\vec v$. Le long d'un axe, on omet la flèche et on laisse le signe porter la direction, comme dans $v_x$.

Dans cette unité, un objet est traité comme un point unique, le modèle de l'objet : sa taille, sa forme et ce qu'il contient sont ignorés. Une voiture, une balle et une planète peuvent toutes être considérées comme des « points » lorsque seule leur mouvement global importe.

Trois vecteurs liés décrivent le mouvement le long d'une ligne :

• Le déplacement $\Delta x$ correspond au changement de position – un vecteur allant du point de départ au point final (et non la longueur totale du parcours, qui est la distance).
• La vitesse est le taux de variation de la position, $v=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}$. Son signe indique la direction ; sa magnitude est la vitesse scalaire.
• L'accélération est le taux de variation de la vitesse, $a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}$.

Il faut faire attention à distinguer la vitesse moyenne (déplacement total divisé par le temps total) de la vitesse instantanée (la vitesse à un instant précis, soit la pente de la courbe position–temps en ce point). Lorsque la vitesse est constante, elles coïncident à chaque instant. Avec une vitesse variable, une valeur instantanée peut encore correspondre à la moyenne à un moment particulier. En taking la moyenne sur un intervalle de temps de plus en plus court, on s'approche de plus en plus de la valeur instantanée.

Un objet accélère dès que sa vitesse change, en grandeur ou en direction. Une voiture tournant à un virage à une vitesse constante de 20 m/s accélère, car sa direction change.

Un objet accélère lorsque $v$ et $a$ ont le même signe, et ralentit (décélération) lorsqu'ils ont des signes opposés. Notez qu'une accélération négative ne signifie pas toujours un ralentissement – une balle tombant de plus en plus vite a une vitesse négative et une accélération négative.

Pour une accélération constante, les quatre équations cinématiques (souvent appelées SUVAT) s'appliquent :

Choisissez l'équation contenant les trois quantités connues plus celle que vous cherchez, afin qu'il ne reste qu'une seule inconnue. Elles s'appliquent uniquement tant que $a$ est constant.

Exemple résolu. Une voiture part du repos et accélère uniformément à $2.0\ \text{m/s}^2$ pendant $6.0\ \text{s}$. Trouvez sa vitesse finale et la distance parcourue.

Listez ce que vous savez : $v_0=0$, $a=2.0\ \text{m/s}^2$, $t=6.0\ \text{s}$.

Exemple résolu (chute libre). Une balle est lancée verticalement vers le haut à $15\ \text{m/s}$. En prenant $g=9.8\ \text{m/s}^2$ et le haut comme positif, quelle hauteur atteint-elle et combien de temps reste-t-elle en l'air avant de revenir dans la main du lanceur ?

Au point le plus haut, la vitesse est momentanément nulle, et $a=-g=-9.8\ \text{m/s}^2$ tout au long (c'est une chute libre, en négligeant la résistance de l'air) :

Temps pour atteindre le sommet : $0=15-9.8\,t \Rightarrow t=1.53\ \text{s}$. Par symétrie, la descente dure le même temps, donc le total est $3.1\ \text{s}$.

Lors de l'examen AP, vous pouvez utiliser $g\approx10\ \text{m/s}^2$ ; avec celui-ci, cette balle monte de 11.25 m en 1.5 s. Chaque valeur est acceptée, si vous l'utilisez de manière cohérente.

Le même mouvement apparaît comme une description, un graphique, un tableau ou une équation, et vous devez pouvoir passer de l'un à l'autre :

• Sur un graphique position–temps–, la pente est la vitesse (plus raide = plus rapide ; une courbe = vitesse variable).
• Sur un graphique vitesse–temps–, la pente est l'accélération, et la surface sous la ligne représente le déplacement.

Lire les pentes et les aires sur les graphiques est une compétence d'examen essentielle. Pour obtenir le déplacement à partir d'un graphique vitesse-temps, divisez l'aire en triangles et rectangles et additionnez-les ; l'aire en dessous de l'axe du temps compte comme un déplacement négatif (mouvement dans l'autre sens).

Exemple résolu. Un cycliste accélère uniformément du repos à $8.0\ \text{m/s}$ en $4.0\ \text{s}$, puis maintient $8.0\ \text{m/s}$ pendant $6.0\ \text{s}$. Trouver la distance totale à partir du graphique vitesse–temps.

La surface est un triangle suivi d'un rectangle :

Exemple résolu (un graphique qui traverse l'axe). Un chariot est poussé vers le haut d'une rampe puis relâché. Sa vitesse est $v = 6.0 - 2.0t$ (vers le haut positif) pendant $5.0\ \text{s}$. Trouvez (a) son accélération, (b) quand il change de sens, (c) son déplacement et (d) la distance parcourue.

(a) La pente est de $\dfrac{-4.0 - 6.0}{5.0} = -2.0\ \text{m/s}^2$ — la même des deux côtés de $t = 3\ \text{s}$. L’accélération ne change pas de signe lorsque la vitesse change de signe.

(b) Le chariot change de sens lorsque $v = 0$ : $t = 3.0\ \text{s}$.

(c) Au-dessus de l'axe : $\tfrac12 \times 3.0 \times 6.0 = +9.0\ \text{m}$. En dessous : $\tfrac12 \times 2.0 \times (-4.0) = -4.0\ \text{m}$. Déplacement $= 9.0 - 4.0 = +5.0\ \text{m}$ (toujours au-dessus du point de départ sur la rampe).

(d) La distance additionne les valeurs absolues : $9.0 + 4.0 = 13\ \text{m}$.

Vérifiez (c) avec $\Delta x = v_0 t + \tfrac12 a t^2 = 6.0(5.0) + \tfrac12(-2.0)(5.0)^2 = 30 - 25 = 5.0\ \text{m}$. L'équation cinématique donne le déplacement, jamais la distance, lorsque le mouvement s'inverse.

Vitesse moyenne sur un graphique. La vitesse moyenne sur un intervalle est la vitesse constante qui produit la même aire (même déplacement) sur la même durée. Sur les 5.0 s ci-dessus, elle est de $\dfrac{+5.0}{5.0}=+1.0$ m/s. Sur un graphique vitesse–temps, la tracer comme une ligne horizontale à $v=1.0$ m/s ; l'aire sous cette ligne égale l'aire nette sous le graphique réel.

Quand l’accélération n’est pas constante. Le cours AP de physique 1 ne vous demande pas de calculer avec une accélération variable, mais vous devez la représenter et l’expliquer. Un chariot qui roule sur une série de bosses accélère dans chaque descente et ralentit dans chaque montée : son graphique vitesse-temps monte et descend. Sur un graphique position-temps, la pente de la tangente en un point est la vitesse instantanée ; sur un graphique vitesse-temps, la pente de la tangente est l’accélération instantanée. Là où un graphique $v$–$t$ devient plus pentu, la valeur absolue de l’accélération augmente ; une pente descendante plus raide signifie une accélération plus négative.

Déterminer $a$ à partir des données : tracer une droite. Un chariot est lâché au repos depuis le haut d'une rampe, et le temps $t$ pour parcourir chaque distance $x$ est mesuré. Puisque $x=\tfrac12at^2$, un graphique de $x$ en fonction de $t^2$ est une droite passant par l'origine avec une pente $\tfrac12a$.

1. Tracer $x$ sur l'axe vertical et $t^2$ sur l'axe horizontal, avec étiquettes et unités.
2. Tracer une droite de tendance qui passe près de tous les points ; ne pas relier les points entre eux.
3. Prendre la pente à partir de deux points sur la droite éloignés l'un de l'autre, puis $a=2\times\text{slope}$. Une pente de $0.60\ \text{m/s}^2$ donne $a=1.2\ \text{m/s}^2$.

Choisir les axes de sorte que l'équation attendue devienne $y=(\text{constant})\times x$ ; ainsi, la constante ou la pente contient la grandeur recherchée.

Tout mouvement est mesuré par rapport à un référentiel. Les vitesses mesurées dans différents référentiels diffèrent, et on les combine par addition vectorielle. La vitesse de A par rapport à C est

Une personne marchant dans un train en mouvement a une vitesse par rapport au train et une autre par rapport au sol – c'est le mouvement relatif. Un raccourci utile : la vitesse de A par rapport à B est $\vec{v}_{A/B}=\vec{v}_A-\vec{v}_B$ (en soustrayant la vitesse de B).

Un référentiel qui n'accélère pas est un référentiel inertiel : un système dans lequel un objet libre (sans force nette) obéit à la première loi de Newton, restant au repos ou se déplaçant à vitesse constante. Un référentiel qui accélère – comme une voiture freinant – est non inertiel, où les objets semblent accélérer sans aucune force agissant dessus.

Les observateurs dans différents référentiels inertiels mesurent des vitesses différentes mais la même accélération. Une balle lancée verticalement dans un train se déplaçant uniformément tombe en ligne droite pour un passager et selon une courbe pour quelqu'un sur le quai, mais les deux mesurent son accélération comme étant $g$ vers le bas.

Exemple résolu (une dimension). Un train se déplace vers l'est à $20\ \text{m/s}$ par rapport au sol. Un passager marche vers l'arrière du train à $1.5\ \text{m/s}$ par rapport au train. Prendre l'est comme positif.

1. $v_{P/T}=-1.5\ \text{m/s}$ et $v_{T/G}=+20\ \text{m/s}$.
2. $v_{P/G}=v_{P/T}+v_{T/G}=-1.5+20=+18.5\ \text{m/s}$ : vers l'est à 18.5 m/s.
3. Une voiture sur une route parallèle aux voies se déplaçant vers l'est à $25\ \text{m/s}$ voit le passager se déplacer à $v_{P/C}=18.5-25=-6.5\ \text{m/s}$, c'est-à-dire vers l'arrière (ouest) à 6.5 m/s.

AP Physics 1 limite les questions de vitesse relative à une dimension. L'exemple ci-dessous, avec des vitesses perpendiculaires, constitue un entraînement supplémentaire à l'addition vectorielle.

Exemple résolu. Un bateau pointe droit vers l'autre rive et se déplace à $3.0\ \text{m/s}$ par rapport à l'eau. Le courant s'écoule à $4.0\ \text{m/s}$ le long de la rivière. Trouver la vitesse et la direction du bateau par rapport à la berge.

Les deux vitesses sont perpendiculaires, donc on les ajoute comme un triangle rectangle :

En deux dimensions, décomposez chaque vecteur en composantes le long d'axes perpendiculaires ($x$ et $y$), traitez chaque axe séparément, puis recomposez. Une vitesse $v$ formant un angle $\theta$ avec l'horizontale a pour composantes $v_x=v\cos\theta$ et $v_y=v\sin\theta$.

Pour un mouvement de projectile (objet en chute libre uniquement) : les mouvements horizontal et vertical sont indépendants. Horizontalement, la vitesse est constante ($a_x=0$) ; verticalement, l'accélération est $-g$ (vers le bas). Les deux mouvements ne partagent que le temps. Ainsi, la trajectoire d'un projectile est une parabole, et on la résout comme deux problèmes unidimensionnels reliés par $t$.

Exemple résolu. Une balle est lancée à $20\ \text{m/s}$, à $30^{\circ}$ au-dessus de l'horizontale. En prenant $g=9.8\ \text{m/s}^2$, trouvez le temps de vol, la hauteur maximale et la portée horizontale (en supposant qu'elle atterrit à la hauteur de lancement).

Décomposer la vitesse de lancement en composantes :

Mouvement vertical définit le temps. Au sommet $v_y=0$, donc $0=10-9.8\,t \Rightarrow t_{\text{up}}=1.02\ \text{s}$, et le vol total est $2t_{\text{up}}=2.0\ \text{s}$. La hauteur maximale est Mouvement horizontal se fait à vitesse constante $v_{0x}$ tout au long du vol, donc la portée est

Un piège courant : au sommet du vol, la vitesse verticale est zéro, mais la balle n'est pas au repos – sa vitesse horizontale $v_{0x}$ ne change jamais. La vitesse au sommet est égale à $v_{0x}=17.3\ \text{m/s}$.

Graphiques des composantes. Les FRQ demandent souvent de dessiner $v_x$ et $v_y$ en fonction du temps pour un projectile. Avec $g = 10\ \text{m/s}^2$ et la même launch :

Expliquer en un paragraphe. Certaines questions demandent une « réponse de longueur d'un paragraphe ». Exemple : deux sphères quittent une table au même instant, l'une tombant librement et l'autre étant lancée horizontalement. Expliquer pourquoi elles atterrissent simultanément bien qu'elles parcourent des distances différentes.

Les deux sphères partent avec une vitesse verticale nulle, et dès qu'elles quittent la table, la seule force agissant sur chacune est la gravité, donc les deux ont la même accélération vers le bas, $g$. Les mouvements vertical et horizontal sont indépendants : la vitesse horizontale de la sphère lancée ne modifie pas sa vitesse de chute. Partant de la même hauteur avec la même vitesse et accélération verticales, les deux couvrent la même distance verticale en le même temps. La sphère lancée se déplace également latéralement à vitesse constante, elle atterrit donc plus loin, mais au même moment.

Un bon paragraphe nomme le principe physique, l'applique à cette situation spécifique, et relie les étapes avec « donc » ou « parce que », en terminant par l'affirmation.

Répondez à chaque question avant de lire les réponses ci-dessous. Prenez $g=9.8\ \text{m/s}^2$ et négligez la résistance de l'air.

1. Une voiture roulant à $12\ \text{m/s}$ freine uniformément à $3.0\ \text{m/s}^2$ jusqu'à l'arrêt. Trouvez le temps d'arrêt et la distance d'arrêt.
2. Une balle est lâchée du repos à $20\ \text{m}$ au-dessus du sol. Trouvez le temps mis pour atteindre le sol et sa vitesse juste avant l'impact.
3. Une balle roule hors d'une table haute de $1.25\ \text{m}$ avec une vitesse horizontale de $8.0\ \text{m/s}$. À quelle distance de la table atterrit-elle ?
4. Un bateau va tout droit en traversant une rivière à $3.0\ \text{m/s}$ par rapport à l'eau. Le courant s'écoule à $4.0\ \text{m/s}$. Trouvez la vitesse du bateau par rapport à la rive.
5. Un étudiant dit : « Au sommet de sa trajectoire, une balle lancée verticalement a une accélération nulle. » Corrigez l'étudiant.

1. $t=\dfrac{12}{3.0}=4.0\ \text{s}$. Distance $=\dfrac{v^2}{2a}=\dfrac{144}{6.0}=24\ \text{m}$.
2. $t=\sqrt{2(20)/9.8}=2.0\ \text{s}$; $v=gt=9.8(2.02)=20\ \text{m/s}$.
3. Temps de chute $\sqrt{2(1.25)/9.8}=0.51\ \text{s}$, donc elle atterrit à $8.0(0.51)=4.0\ \text{m}$ de là. La vitesse horizontale ne change pas pendant la chute.
4. Les vitesses sont perpendiculaires : $\sqrt{3.0^2+4.0^2}=5.0\ \text{m/s}$, à un angle de $\tan^{-1}(3.0/4.0)=37°$ par rapport à la rive.
5. Au sommet, la vitesse est nulle un instant, mais la gravité agit toujours, donc l'accélération reste encore $9.8\ \text{m/s}^2$ vers le bas. Si l'accélération était nulle, la balle resterait suspendue au sommet.

• Choisir la bonne équation cinématique en listant les trois quantités connues plus celle que l'on cherche, pour qu'il ne reste qu'une seule inconnue ; les équations SUVAT s'appliquent uniquement lorsque l'accélération est constante.
• Définir un sens positif d'abord – chaque déplacement, vitesse et accélération porte alors un signe ; une vitesse négative signifie « aller dans l'autre sens », pas « lent ».
• Traiter un projectile comme deux problèmes 1-D indépendants partageant uniquement le temps $t$ : vitesse constante horizontalement, $a=-g$ verticalement. Au sommet $v_y=0$ mais $v_x$ reste inchangé.
• Sur un graphique vitesse–temps, la pente est l'accélération et l'aire est le déplacement (l'aire sous l'axe est négative).
• Distuer entre distance (scalaire, chemin total) et déplacement (vectoriel, du départ à l'arrivée), et entre vitesse et vitesse vectorielle.

Erreurs courantes

• Dire que l'accélération est nulle au sommet d'un lancer, ou là où un graphique vitesse–temps traverse l'axe. La vitesse y est nulle ; l'accélération est la pente, qui n'est pas nulle.
• Interpréter un graphique position–temps comme s'il s'agissait d'un graphique vitesse–temps. Vérifiez l'étiquette de l'axe avant d'utiliser une pente ou une surface.
• Ajouter les aires sous l'axe du temps comme positives lorsque la question demande le déplacement. L'aire sous l'axe représente un déplacement négatif ; on n'additionne que les valeurs absolues pour la distance parcourue.
• Utiliser $v_0 = 20\ \text{m/s}$ dans les équations verticales d'un projectile lancé à $20\ \text{m/s}$ avec un angle. Il faut d'abord décomposer : la composante verticale utilise $v_0\sin\theta$, et l'horizontale utilise $v_0\cos\theta$.
• Appliquer les équations cinématiques sur une portion où l'accélération change (par exemple, le freinage qui débute après un temps de réaction). Diviser le mouvement en phases présentant une accélération constante.
• Relier les points de données entre eux point par point, ou calculer la pente à partir de deux points de données plutôt que de la droite de tendance.
• Dessiner $v_y$ pour un projectile comme une courbe, ou sous forme de V rebondissant au sommet. C'est une seule droite de pente $-g$ passant par zéro.
• Attribuer à $g$ un signe incompatible avec votre sens positif. Avec le haut comme positif, $a = -9.8\ \text{m/s}^2$ est négatif tant sur la montée que sur la descente.