Alcance y requisitos previos
Basado en el marco del Digital SAT. Estas tareas en papel no son adaptativas ni predicen una puntuación escalada.
- Usar relaciones proporcionales preservando las unidades
- Convertir tasas y distinguir relaciones directas de inversas
- Calcular cambios sucesivos y comparaciones porcentuales usando la base correcta
Prerrequisitos: Fracciones; conversión de unidades; base porcentual.
Explicar y elegir el método
Una razón compara cantidades en un orden elegido. Si rojo:azul=3:5 y el total es 64, las ocho partes iguales contienen cada una ocho unidades, por lo tanto rojo es 24 y azul 40. La razón 3/5 describe el rojo en relación con el azul; 3/8 describe el rojo en relación con el total. Lea el denominador solicitado en lugar de usar la primera fracción visible.
Una tasa unitaria divide la cantidad por su tiempo, distancia o cuenta correspondiente. Escriba factores de conversión para que las unidades no deseadas se cancelen: 72 km/hora multiplicado por 1000 m/km dividido entre 3600 s/hora da 20 m/s. Las conversiones de área y volumen elevan al cuadrado y al cubo el factor de longitud. Un cuadrado de un centímetro no es un metro cuadrado dividido por cien.
En proporción directa y=kx, al duplicar x se duplica y; en proporción inversa xy=k, al duplicar x se reduce a la mitad y. El trabajo constante compartido por trabajadores idénticos da un modelo de tiempo inverso solo cuando la productividad y las condiciones son fijas. Una tarifa inicial fija sumada a una tasa crea un modelo lineal afín, no una proporción directa que pase por el origen.
Un cambio porcentual divide la variación por la base de comparación original. Los cambios porcentuales sucesivos multiplican sus factores: un descuento del 20% seguido de un aumento del 20% da como resultado un $0.8\times1.2=0.96$ del valor original. Distinga entre puntos porcentuales y porcentaje relativo: pasar de 30% a 36% son seis puntos, pero representa un aumento relativo del 20%.
Una tasa compara cantidades con sus unidades. $v=d/t=(90\,\mathrm{km})/(1.5\,\mathrm{h})=60\,\mathrm{km/h}$. Convierta usando unidades que se cancelen: $v=(60\,\mathrm{km/h})(1000\,\mathrm{m/km})/(3600\,\mathrm{s/h})=50/3\,\mathrm{m/s}$. No convierta solo el numerador de una tasa compuesta.
Ejemplo resuelto. Un precio de 250 unidades con un descuento del 20% resulta en 200; aumentar ese resultado en un 20% produce 240, cuatro puntos porcentuales por debajo de 250. Una bomba entrega 18 litros en 3 minutos, por lo que su caudal es 6 L/min o 0.1 L/s. A caudal constante, 45 litros tardan 7.5 minutos. Si una acción sube del 40% al 50%, el aumento es de 10 puntos porcentuales y representa un 25% respecto a la cotización anterior.
Material de práctica
Cada pregunta de práctica a continuación establece todos los datos necesarios.
Práctica de razonamiento
Práctica 1
Mezcle pintura roja y azul en proporción 4:7 para obtener 33 litros. Calcule cada cantidad. La pintura roja cuesta 18 yuanes por litro y la azul 12. Calcule el costo total.
Razonamiento. Hay 11 partes, por lo que cada una es 3 L. Volumen rojo $V_r=33(4/11)=12\,\mathrm{L}$; volumen azul $V_b=33(7/11)=21\,\mathrm{L}$. Costo $C=p_rV_r+p_bV_b=(18\,\mathrm{yuan/L})(12\,\mathrm{L})+(12\,\mathrm{yuan/L})(21\,\mathrm{L})=468\,\mathrm{yuan}$.
Práctica 2
Un artículo de 400 yuanes desciende un 15% y luego sube un 10%. Encuentre el precio final y el cambio porcentual único global.
Razonamiento. Use multiplicadores sucesivos. $P=P_0(1-0.15)(1+0.10)=(400\,\mathrm{yuan})(0.85)(1.10)=374\,\mathrm{yuan}$. Cambio relativo $r=(P-P_0)/P_0=(374-400)/400=-0.065$, una disminución del 6.5%.
Práctica 3
Una bomba suministra 0.15 litros por segundo. ¿Cuánto tiempo tarda en llenar 54 litros? Si un cuadrado tiene lado 30 cm, dé su área en metros cuadrados.
Razonamiento. $t=V/q=(54\,\mathrm{L})/(0.15\,\mathrm{L/s})=360\,\mathrm{s}=6\,\mathrm{min}$. Convierta el lado antes de elevar al cuadrado: $A=s^2=(0.30\,\mathrm{m})^2=0.09\,\mathrm{m^2}$; el factor de conversión de área es 10000, no 100.
Límites y próximo uso
Indica cuál es la base porcentual y cancela las unidades visiblemente. Los cambios porcentuales positivos y negativos iguales usan bases diferentes.
Estas son tareas de práctica originales escritas para este curso, no preguntas de examen oficiales.