Alcance y requisitos previos
Marco Digital SAT; la práctica basada en papeles originales es no adaptativa y no ofrece predicción de puntuación escalonada.
- Comparar cualitativamente media, mediana, rango y desviación estándar
- Predecir el efecto de sumar o multiplicar cada valor de datos
- Leer información de frecuencia sin confundir valores y recuentos
Prerrequisitos: Datos ordenados; frecuencia; media y mediana.
Explicar y elegir el método
La media usa la suma de todas las observaciones dividida por su recuento; la mediana es el valor central de las observaciones ordenadas. Frecuencia significa que un valor se repite: si 2 ocurre tres veces y 8 una vez, la media es (3·2+8)/4=3.5, no (2+8)/2. Las posiciones horizontales en una gráfica son los valores y las frecuencias determinan cuántas observaciones representan.
El rango es máximo menos mínimo; la desviación estándar describe las distancias típicas desde la media. No es necesario memorizar una fórmula completa para comparar distribuciones simples centradas igualmente: los datos agrupados cerca de la media tienen menor desviación estándar que aquellos alejados simétricamente. Un valor atípico puede alterar sustancialmente la media y la dispersión mientras mantiene la mediana estable.
Sumar c a cada observación eleva tanto la media como la mediana en c, pero deja el rango y la desviación estándar sin cambios, porque las distancias entre pares no varían. Multiplicar cada observación por un positivo k multiplica la media, la mediana, el rango y la desviación estándar por k. En general, la dispersión se escala por |k|, mientras que un multiplicador negativo invierte el orden.
Al comparar gráficos, inspeccione la escala y el número de observaciones antes de juzgar el ancho aparente. Un gráfico estirado horizontalmente puede parecer más variable sin representar valores diferentes. Una afirmación sobre la igualdad de desviaciones estándar requiere las distribuciones reales, no simplemente rangos iguales o medias iguales.
Una frecuencia cuenta observaciones repetidas. Los valores 1, 3, 7 con frecuencias 2, 1, 1 representan cuatro observaciones: 1, 1, 3, 7. $\bar x=\sum fx/\sum f=(2(1)+1(3)+1(7))/4=3$. La mediana es $(1+3)/2=2$; no necesariamente igual a la media.
Ejemplo resuelto existente: A={4,5,6} y B={0,5,10} tienen ambos media y mediana 5, pero B tiene mayor dispersión. Sumar 7 da A+7={11,12,13}, con media 12 y la misma desviación estándar que A. Multiplicar A por 2 da {8,10,12}; su media es 10 y su rango y desviación estándar se duplican. El rango igual solo no garantiza una desviación estándar igual.
Contexto original completo
Cada pregunta de transferencia establece todos los datos necesarios.
Práctica independiente y razonamiento verificado
Transferencia 1
Los valores 2, 5, 8 tienen frecuencias 3, 2, 1. Encuentre la media, la mediana y el rango.
Razonamiento: Los datos son ⟨2,2,2,5,5,8⟩, ⟨$\bar x=(3(2)+2(5)+1(8))/6=4$⟩. La mediana es el promedio de las posiciones ⟨3⟩ y ⟨4⟩, es decir, ⟨$(2+5)/2=3.5$⟩. Rango ⟨$R=8-2=6$⟩.
Transferencia 2
Cada observación anterior cambia en $z=3x-4$. Encuentre la nueva media, mediana y rango. Indique cómo cambia la desviación estándar sin calcularla.
Razonamiento: Media ⟨$\bar z=3\bar x-4=3(4)-4=8$⟩. La mediana es ⟨$3(3.5)-4=6.5$⟩. El rango es ⟨$3(6)=18$⟩. La desviación estándar se triplica; restar 4 no cambia ninguna distancia respecto a la media.
Transferencia 3
Compare A = {0, 0, 10, 10} y B = {0, 5, 5, 10}. Ambos tienen rango ⟨10⟩. ¿Deben tener las mismas desviaciones estándar? Justifique.
Razonamiento: Ambas medias son 5. Cada observación A está 5 de su media; las distancias B son 5,0,0,5. Por tanto, B tiene menor desviación cuadrática media y menor desviación estándar. El rango igual solo es insuficiente.
Límites y próximo uso
No promedie etiquetas de categorías distintas cuando las frecuencias difieren, ni confunda una distribución desplazada con una más dispersa.
Todas las tareas aquí son prácticas originales públicas con orientación redactada. No son preguntas oficiales ni diagnósticos nuevos. Las pruebas y simulacros existentes protegidos permanecen separados.