Alcance y requisitos previos
Basado en el marco del Digital SAT. Estas tareas en papel no son adaptativas ni predicen una puntuación escalada.
- Resolver ecuaciones cuadráticas, de valor absoluto, racionales y radicales
- Rechazar raíces candidatas que violen la ecuación original o el dominio
- Encontrar intersecciones entre una recta y una curva no lineal
Prerrequisitos: Factorización; sustitución; restricciones del dominio.
Explicar y elegir el método
Use la estructura antes de expandir. Un cuadrático factorizado es igual a cero cuando al menos uno de sus factores es cero. Una ecuación de valor absoluto |u|=a no tiene solución real para a<0, one condition u=0 when a=0 and two conditions u=±a when a>0. Considere todos los casos permitidos, no solo la rama positiva.
Para una ecuación racional, excluya los ceros del denominador antes de multiplicar. La multiplicación puede crear una candidata en un valor excluido. Para una ecuación radical, observe que una raíz cuadrada principal es no negativa, aíslela y eleve al cuadrado con cuidado. Elevar al cuadrado es una implicación de una sola dirección hasta que cada candidata resultante se verifique en la original.
Para resolver un sistema de recta-parábola, sustituya la expresión de la recta en la cuadrática. Las raíces reales dan los valores de x; use la recta para recuperar cada y. Sin raíces reales significa sin intersección real. Una raíz cuadrática repetida da tangencia, mientras que dos raíces reales distintas dan dos intersecciones.
Un gráfico o calculadora pueden ayudar a localizar candidatos y verificar la escala, pero las intersecciones redondeadas no son prueba exacta cuando la pregunta pide un valor exacto o conteo de soluciones. Relacione el comportamiento gráfico con la ecuación algebraica. Una raíz doble no debe contarse dos veces como dos pares ordenados diferentes.
Una raíz candidata debe satisfacer la ecuación original. En $\sqrt{x+6}=x$, el lado derecho debe ser no negativo. Elevar al cuadrado da $x^2-x-6=0$, por lo que los candidatos son $3,-2$. Solo $3$ sobrevive a la verificación original: $\sqrt9=3$.
Ejemplo resuelto. √(x+2)=x requiere x≥0. Al elevar al cuadrado se obtiene x²-x-2=0, por lo que x=2 o -1; solo 2 es válido en la ecuación original. Para y=x+2 y y=x², resolver x²-x-2=0: x=2,-1, obteniendo (2,4) y (-1,1). Para |2x-1|=5, resolver 2x-1=5 o -5 para obtener x=3 o -2.
Material de práctica
Cada pregunta de práctica a continuación establece todos los datos necesarios.
Práctica de razonamiento
Práctica 1
Resuelva $\sqrt{2x+3}=x$ sobre los números reales, mostrando por qué se rechaza cualquier candidata.
Razonamiento. Se requiere $x\ge0$. Al elevar al cuadrado se obtiene $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)=0$. Los candidatos son 3 y -1. La ecuación original da $\sqrt9=3$ en 3, pero $\sqrt1=1\ne-1$ en -1. Solo $x=3$ funciona.
Práctica 2
Resuelva simultáneamente $y=x+2$ y $y=(x-1)^2$. Proporcione pares ordenados exactos y verifique el número de intersecciones.
Razonamiento. Igualar las expresiones da $x+2=x^2-2x+1$, o $x^2-3x-1=0$. Así $x=(3\pm\sqrt{13})/2$ y $y=(7\pm\sqrt{13})/2$ con signos coincidentes. El discriminante 13 es positivo, por lo que hay dos intersecciones reales distintas; ambas expresiones para $y$ coinciden mediante la ecuación derivada.
Práctica 3
Resuelve $|3x+2|=7$ y $(x^2-9)/(x-3)=6$. Explica por qué estas ecuaciones tienen diferente número de soluciones.
Razonamiento. El valor absoluto da $3x+2=7$ o $-7$, luego $x=5/3$ o $-3$. La ecuación racional requiere $x\ne3$ y se simplifica a $x+3=6$, cuyo único candidato 3 se descarta. No tiene solución.
Límites y próximo uso
No informe todas las raíces de una ecuación transformada antes de verificar la restricción y rama originales.
Estas son tareas de práctica originales escritas para este curso, no preguntas de examen oficiales.