Alcance y requisitos previos
Basado en el marco del Digital SAT. Estas tareas en papel no son adaptativas ni predicen una puntuación escalada.
- Factorizar y expandir expresiones sin alterar sus valores
- Simplificar expresiones racionales y radicales en el dominio original
- Utilizar la estructura de la expresión para identificar ceros y coeficientes
Requisitos previos: Ley distributiva; diferencia de cuadrados; raíces cuadradas reales.
Explicar y elegir el método
La expansión distribuye cada factor sobre los demás; la factorización invierte ese proceso. x²-5x+6=(x-2)(x-3), por lo que la forma producto expone los ceros mientras que la forma desarrollada expone los coeficientes. Elija la forma que sirva a la pregunta en lugar de tratar una representación como siempre preferible.
Simplifique factores, nunca términos en una suma. (x²-4)/(x-2) se convierte en x+2 solo para x≠2, porque la expresión original está indefinida en 2. Una restricción puede permanecer después de que todos los denominadores desaparezcan de la fórmula simplificada. Indíquela antes de simplificar y consérvela en comparaciones o al resolver ecuaciones.
Las reglas de exponentes dependen del contexto: a^m a^n=a^(m+n) y (a^m)^n=a^(mn) en el dominio real permitido. Los exponentes negativos forman recíprocos y requieren bases distintas de cero. Con raíces cuadradas reales, √(x²)=|x|, porque la raíz principal es no negativa; no es x para todo número real x.
Para verificar equivalencia, una sustitución numérica puede revelar un error, pero un solo valor coincidente no prueba que dos expresiones sean iguales. Una identidad algebraica válida más un dominio coincidente sí lo hacen. Cuando la pregunta solicita un coeficiente, expanda solo hasta donde sea necesario y considere todas las contribuciones a esa potencia.
Las expresiones equivalentes deben coincidir en el dominio indicado. $E(x)=(x^2-25)/(x-5)=(x+5)$ solo para $x\ne5$. La cancelación elimina un factor, pero no puede restaurar una entrada excluida. También $\sqrt{x^2}=|x|$, porque la raíz cuadrada principal no puede ser negativa.
Ejemplo resuelto. (x²-9)/(x-3)=(x-3)(x+3)/(x-3)=x+3 para x≠3. En x=3 la expresión original no está definida. Para x=-5, √(x²)=5=|x|. En (2x+1)(x-4), el coeficiente de x es -8+1=-7 y la expresión completa es 2x²-7x-4.
Material de práctica
Cada pregunta de práctica a continuación establece todos los datos necesarios.
Práctica de razonamiento
Práctica 1
Simplifique $F(x)=(x^2-4x)/(x^2-16)$. Enuncie cada restricción original y explique por qué $F$ no es idéntico a $x/(x+4)$ en todo el dominio de esta última fórmula.
Razonamiento. Factorizar el numerador $x(x-4)$ y el denominador $(x-4)(x+4)$. El dominio original excluye $x=4,-4$. La cancelación da $F(x)=x/(x+4)$ para $x\ne4,-4$. Esta última fórmula sola permite $4$, donde produce $1/2$, mientras que $F(4)$ no está definido.
Práctica 2
Encuentre el coeficiente de $x$ en $(3x-2)(x+5)$ y evalúe $\sqrt{(x-5)^2}$ cuando $x=1$.
Razonamiento. La expansión da $3x^2+15x-2x-10=3x^2+13x-10$, por lo que el coeficiente es 13. La raíz es $|x-5|$; en $x=1$, vale $|-4|=4$, no $-4$ ni 16.
Práctica 3
Un estudiante prueba $x=2$ y concluye que $x^2$ y $2x$ son equivalentes. Refute la conclusión y resuelva donde realmente coinciden.
Razonamiento. En $x=3$ las salidas son 9 y 6, por lo que una prueba de coincidencia no es prueba. Resuelva $x^2=2x$ como $x(x-2)=0$, dando solo $x=0,2$.
Límites y próximo uso
Una fórmula simplificada no es automáticamente una función equivalente en un dominio más amplio; cancelar términos a través de una suma es inválido.
Estas son tareas de práctica originales escritas para este curso, no preguntas de examen oficiales.