Alcance y requisitos previos
Basado en el marco del Digital SAT. Estas tareas en papel no son adaptativas ni predicen una puntuación escalada.
- Resolver y clasificar ecuaciones lineales de una variable con parámetros
- Interpretar ecuaciones lineales de dos variables como conjuntos de pares ordenados
- Interpretar la pendiente y la intersección de una función lineal contextualizada
- Clasificar sistemas lineales de dos ecuaciones y verificar sus intersecciones
- Representar desigualdades estrictas e inclusivas en una o dos variables
Prerrequisitos: Agrupar términos semejantes; sustituir pares ordenados; aritmética con signo.
Explicar y elegir el método
Agrupen los términos variables y las constantes por separado. Una ecuación ax+b=cx+d se convierte en (a-c)x=d-b. Si a-c es distinto de cero hay una solución; si ambos lados se reducen a cero hay infinitas soluciones; si el coeficiente de la variable es cero pero la constante es distinta de cero no hay solución. Nunca divida por un parámetro antes de verificar si puede ser cero.
Una ecuación de dos variables da un conjunto de pares ordenados. En y=mx+b, m es el cambio en y por unidad de x y b es y cuando x=0. Para un modelo contextualizado, asigne unidades a ambas: un cargo de taxi C=3t+5 tiene una tarifa inicial de unidad 5 y unidades por unidad de tiempo 3. La intersección puede estar fuera del dominio práctico aunque exista algebraicamente.
Para un sistema, compare ambos coeficientes y constantes. Multiplicar toda una ecuación por un número distinto de cero produce la misma línea; igualar coeficientes de variables con constantes distintas da líneas paralelas distintas. De lo contrario, una intersección proporciona el par que satisface ambas ecuaciones. Sustituya el par en ambas ecuaciones originales para verificarlo.
Multiplicar o dividir una desigualdad por un número negativo invierte su dirección. Una desigualdad estricta excluye el límite, mientras que ≤ o ≥ lo incluye. Para dos variables, dibuje la línea correspondiente y pruebe un punto alejado de ella para identificar el semiplano permitido. El diagrama es una representación de todas las soluciones, no de un único punto preferido.
Una identidad se cumple para cada entrada permitida. Comience con $ax+b=cx+d$. Agrupar términos: $(a-c)x=d-b$. Inspeccionar $a-c$ antes de dividir. Si $a=c$ y $b=d$, todas las entradas reales funcionan. Si solo $a=c$, ninguna entrada funciona. De lo contrario, $x=(d-b)/(a-c)$ da una solución.
*Pasos resueltos: (a-c)x = d-b → a-c = 0: inspeccione d-b → a-c ≠ 0: divida con seguridad
Ejemplo resuelto. Para kx+6=2x+6, k=2 da 0=0 e infinitas soluciones; k≠2 da x=0. Para -2x+3<11, subtract 3 and divide by -2 to get x>-4. Para y≤2x+1, (0,0) funciona y se incluye la frontera sólida. El sistema 2x+4y=10 y x+2y=6 no tiene solución porque duplicar la segunda ecuación da el mismo lado izquierdo igual a 12, no 10.
Material de práctica
Cada pregunta de práctica a continuación establece todos los datos necesarios.
Práctica de razonamiento
Práctica 1
Clasificar las soluciones de $(p-1)x+3=2x+p$ para cada real $p$.
Razonamiento. Agrupar términos para obtener $(p-3)x=p-3$. En $p=3$, la ecuación es $0=0$, por lo que todo real $x$ funciona. En $p\ne3$, divida por $p-3$ para obtener $x=1$. No hay valor de $p$ que dé sin solución. La sustitución de $x=1$ da $p+2$ en ambos lados.
Práctica 2
Un cargo de alquiler $C$ yuanes tiene una tarifa fija $f$ yuanes y una tasa de $r$ yuanes por hora. Tres horas cuestan 31 yuanes; siete horas cuestan 59 yuanes. Encontrar $f,r$ y el mayor número entero asequible de horas con 80 yuanes.
Razonamiento. Use $C=f+rt$. Las ecuaciones son $31=f+r(3\,\mathrm{h})$ y $59=f+r(7\,\mathrm{h})$. Restando: $r=(59-31)\,\mathrm{yuan}/(7-3)\,\mathrm{h}=7\,\mathrm{yuan/h}$. Luego $f=31\,\mathrm{yuan}-(7\,\mathrm{yuan/h})(3\,\mathrm{h})=10\,\mathrm{yuan}$. Presupuesto: $10+7t\le80$, por lo tanto $t\le10$ horas. Diez horas enteras son asequibles; once cuestan 87 yuanes.
Práctica 3
Describa todos los puntos que satisfacen $y>2x-1$ y $y\le-x+5$. ¿Está incluido $(2,3)$? Indique los posibles valores de $x$.
Razonamiento. El primer límite es discontinuo y el segundo sólido. La región común está por encima de la primera línea y en o por debajo de la segunda. En $(2,3)$ la primera condición es $3>3$, lo cual falla. Para que exista el intervalo vertical, $2x-1<-x+5$, por consiguiente $x<2$. Las líneas se encuentran en $(2,3)$ pero su punto de encuentro está excluido.
Límites y próximo uso
No confunda x=0 con un coeficiente de variable anulado, invierta solo al multiplicar/dividir por un negativo, ni sombre un semiplano basado únicamente en la pendiente de la línea.
Estas son tareas de práctica originales escritas para este curso, no preguntas de examen oficiales.