4 · Geometry and trigonometry

4MA1 tema 4 (especificación Edición 2, Noviembre 2017) es el tema más grande: Filas de Fundamentos 4.1–4.11 cubren hechos angulares, polígonos, medidas, construcciones, lenguaje circular, Pitágoras y trigonometría 2D, mensuración y semejanza; Nivel Superior añade las propiedades de cuerdas intersectantes, el programa completo de razonamiento del teorema circular, ángulos obtusos y propiedades de cuerdas, el programa completo de razonamiento del teorema del círculo, ángulos obtusos y trigonometría no rectángula, problemas 3D, sectores, conos, esferas y la $k^2/k^3$ razones de semejanza. En los exámenes Higher de junio 2024, esta sección proporcionó el AO3 multietapa y una ecuación de sólidos semejantes 3. Conocimiento esencial para el tema $k^3$ (La hoja de fórmulas de Nivel Superior proporciona las reglas de seno/coseno, ½ab sin C,

Imprescindible para el tema 4 (la hoja de fórmulas de Nivel Superior incluye las reglas del seno/coseno, ½ab sen C, y las fórmulas de volumen y superficie de conos/esferas):

($< 90°$). Los ángulos sobre una línea recta suman $90°$°, alrededor de un punto $180°$°, los ángulos ($> 180°$). Los ángulos sobre una línea recta suman 180°, alrededor de un punto 360°, verticalmente opuestos son iguales, y las líneas paralelas producen ángulos correspondientes iguales y alternos (los ángulos adyacentes suman 180°). El ángulo exterior de un El ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores opuestos, y la suma de los ángulos interiores es 180°; un triángulo isósceles tiene dos lados iguales y dos ángulos en la base iguales; un triángulo equilátero tiene tres de cada uno en 60°.

Los polígonos se nombran según su número de lados; un cuadrilátero tiene una suma de ángulos interiores de 360°, y la suma de los ángulos interiores de cada polígono es $(n-2) \times 180°$. Un polígono regular tiene todos sus lados y ángulos iguales: el ángulo exterior es $= 360°/n$, el interior es $= 180° - 360°/n$ —un pentágono regular tiene ángulos interiores de 108°. Los cuadriláteros especiales se anidan: paralelogramo (lados y ángulos opuestos iguales, diagonales que se bisecan), rectángulo (también con ángulos rectos), rombo (también con todos los lados iguales, diagonales perpendiculares), cuadrado, cometa, trapecio (con un par de lados paralelos). Dos figuras son congruentes cuando tienen idéntica forma y tamaño (condiciones LLL, LAL, ALA, Hipothenus-Cateto); las figuras similares tienen ángulos iguales y lados correspondientes en proporción.

La línea de simetría de una figura lo refleja sobre sí mismo; su orden de simetría rotacional es el número de coincidencias consigo mismo en una vuelta completa (un rectángulo: 2 líneas, orden 2; un hexágono regular: 6 líneas, orden 6).

Lea las escalas de los instrumentos con sentido y haga estimaciones antes de calcular; los intervalos de tiempo funcionan en relojes de ambas escalas 12-horas y 24-horas. Una medida angular incluye rumbo de tres cifras: medido en sentido horario desde el norte, escrito como tres dígitos — 040°, no 40°. El retorno reversión de rumbo: si Q se encuentra a 040° desde P, entonces P se encuentra a 220° desde Q (suma 180°, tomando el respuesta módulo 360).

La velocidad promedio es distancia sobre tiempo; la densidad es masa sobre volumen; presión es fuerza sobre área — todos son una familia de mediciones compuestas: fije el vocabulario de unidades (km/h, g/cm³, N/m²) y convierta con cuidado. Un automóvil que recorre 234 km en 2 h 36 min tiene un promedio de $234 \div 2.6 = 90$ km/h.

Mida y trace líneas al milímetro más cercano; construya triángulos mediante SSS, SAS o ASA con regla y transportador. Con regla sin escalas y compás construya (i) la mediatriz de un segmento de recta y (ii) la bisectriz de un ángulo; estos también construyen ángulos específicos (60° mediante construcción de arco equilátero, 90° por perpendicular, 45° por bisecado). Las construcciones responden preguntas de lugar geométrico: el conjunto de puntos a una distancia fija de un punto (círculo), de una línea (par de paralelas), equidistantes de dos puntos (mediatriz) o de dos líneas (bisectriz del ángulo) — sombree la región que satisface varias condiciones simultáneamente.

Los dibujos a escala y mapas llevan una proporción (1 : 50 000): convierta la distancia en el mapa a distancia real a través del factor de escala, manteniendo las unidades explícitas.

Lenguaje del círculo: centro, radio, diámetro, cuerda, circunferencia, tangente (toca en un punto, perpendicular al radio allí), arco, sector, segmento. Nivel básico usa las propiedades de la cuerda y la tangente de forma informal; Nivel avanzado requiere el programa completo con justificaciones estándar. El cuadrilátero cíclico tiene ángulos opuestos que suman 180°; el ángulo en el centro es el doble del ángulo en la circunferencia sobre el mismo arco; los ángulos en el mismo segmento son iguales; el ángulo inscrito en una semicircunferencia (formado sobre un diámetro) es recto; y el ángulo entre una tangente y una cuerda es igual al ángulo en el segmento alterno (teorema del segmento alterno). Propiedades de la cuerda: la perpendicular desde el centro biseca la cuerda; dos cuerdas que se intersectan satisfacen $AE \times EB = CE \times ED$, y las versiones interna/externa potencian esta familia.

Ejemplo resuelto: 1HR Junio 2024 P13, adaptado. $A$, $B$, $C$, $D$ están sobre una circunferencia con centro $O$ y radio $\angle BCD = 128°$; encuentre $\angle OBD$. Los ángulos opuestos del cuadrilátero cíclico suman 180°, por lo tanto $\angle BAD = 180 - 128 = 52°$. El ángulo en el centro es el doble del ángulo en la circunferencia sobre el mismo arco: $\angle BOD = 104°$. Triángulo $OBD$ es isósceles ($OB = OD$, radios), así que $\angle OBD = \tfrac{180 - 104}{2} = 38°$. Cada paso numérico nombra su razón — eso es lo que paga la lista de criterios de calificación.

Teorema de Pitágoras: $a^2 + b^2 = c^2$ en triángulos rectángulos (6-8-10 es una terna de números enteros; 5-12-13 otra). SOH CAH TOA proporciona $\sin\theta = \tfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}$, $\cos\theta = \tfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}$, $\tan\theta = \tfrac{\text{opp}}{\text{adj}}$ — usado hacia adelante para lados y hacia atrás (Shift-sin) para ángulos. El ángulo de elevación sube desde la horizontal, el ángulo de depresión desciende desde ella (los ángulos alternos lo transportan al triángulo).

Niveles superiores amplían las razones a ángulos obtusos: $\sin 130° = \sin 50°$ (el seno se mantiene positivo), $\cos 130° = -\cos 50°$ (el coseno se vuelve negativo). Cualquier triángulo ahora se ajusta a la ley de senos $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}$ (un par — lado sobre ángulo opuesto — más una parte adicional) o la ley de cosenos $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ (dos lados y el ángulo comprendido, o tres lados), y la fórmula del área $\tfrac12 ab\sin C$ funciona a la inversa: área 15 con $a = 6$, $b = 10$ da $\sin C = \tfrac{2 \times 15}{60} = 0.5$, por lo tanto $C = 30°$ (o $150°$ si el diagrama muestra un ángulo obtuso).

Ejemplo resuelto: regla del seno. En el triángulo $ABC$, $\angle A = 40°$, $\angle B = 65°$ y $a = BC = 8$ cm. Hallar $b = AC$. Usar el par lado/seno del ángulo opuesto dos veces:

Ejemplo resuelto: regla del coseno con un ángulo obtuso. Dos lados $7$ cm y $9$ cm se encuentran en $110°$. Hallar el tercer lado $a$:

Como $\cos 110°$ es negativo, el último término se suma; el lado opuesto a un ángulo obtuso es el más largo. Verificar que la calculadora esté en modo grados.

Los problemas en 3D son problemas en 2D dentro de un sólido: nombra el triángulo rectángulo, luego aplica Pitágoras o trigonometría como de costumbre. En un prisma rectangular con base de 6 cm × 8 cm y altura de 10 cm, la diagonal de la base es de $\sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ cm, y la diagonal espacial es de $\sqrt{6^2 + 8^2 + 10^2} = \sqrt{200} \approx 14.1$ cm; el ángulo entre la diagonal espacial y la diagonal de la base satisface $\tan\theta = \tfrac{10}{10}$, por lo tanto $\theta = 45°$.

Ejemplo resuelto: 1HR Junio 2024 P22, adaptado. Los puntos $B$, $M$, $P$ en un sólido rectangular tienen $BM = \sqrt{200}$, $BP = \sqrt{244}$ y $MP = 10$ (cada longitud se encuentra a su vez por Pitágoras en un triángulo rectángulo del cubo). El ángulo $BMP$ requiere la ley de cosenos en triángulo $BMP$:

Orden de ataque: identificar el triángulo objetivo, encontrar sus tres lados (cada uno posiblemente por su propio Pitágoras), luego aplicar la ley de cosenos o senos, manteniendo el ángulo deseado en el centro de la notación.

Conversiones métricas: lineal cm↔m por 100, área por $100^2$, volumen por $100^3$ (1 m³ = 10⁶ cm³). Los perímetros y áreas se construyen desde triángulos ($\tfrac12 bh$), rectángulos, paralelogramos ($bh$) y trapecios ($\tfrac12(a+b)h$); el círculo tiene circunferencia $2\pi r$ y área $\pi r^2$ (semicírculos incluidos). Las figuras compuestas se dividen en estas partes.

Ejemplo resuelto: 2HR Junio 2024 P10, adaptado. Hexágono $ABCDEF$ donde $AB \parallel FC \parallel ED$ with $AB = 11$, $ED = FC = 23$, the perpendicular distance between $FC$ y $ED$ igual a 4.7 (cm) y el lado oblicuo $BC = 5$ formando $30°$ con $FC$. La tira entre $FC$ y $ED$ es un rectángulo; sobre él la altura del trapecio $ABCF$ es $5\sin 30° = 2.5$. División: rectángulo $23 \times 4.7 = 108.1$ más trapecio $\tfrac12(11 + 23) \times 2.5 = 42.5$, por lo que el área es $150.6\ \text{cm}^2$ (exacta $\tfrac{753}{5}$). Dibuje las líneas de división antes de calcular.

Higher añade sectores: arco $= \tfrac{\theta}{360} \times 2\pi r$, área del sector $= \tfrac{\theta}{360} \times \pi r^2$ — for $r = 9$, $\theta = 40°$: arc $= 2\pi \approx 6.28$, area $= 9\pi \approx 28.3$. El perímetro del sector suma los dos radios. Sólidos: prismas $V = \text{cross-section} \times \text{length}$ (prisma rectangular, cilindro $V = \pi r^2 h$, superficie $2\pi r^2 + 2\pi rh$); el cono $V = \tfrac13 \pi r^2 h$ con superficie curva $\pi r l$ ($l$ la generatriz); la esfera $V = \tfrac43\pi r^3$, superficie $4\pi r^2$. Un cono $r = 3$, $h = 4$ tiene $l = 5$ (Teorema de Pitágoras), $V = 12\pi$, superficie curva $15\pi$.

Las figuras similares tienen longitudes correspondientes en una proporción fija $k$ (el factor de escala ): luego las áreas se escalan por $k^2$ y los volúmenes por $k^3$ — y viceversa, una proporción de área $4 : 9$ significa una razón de longitudes $2 : 3$. Mapas y modelos usan $k$ directamente.

Ejemplo resuelto: 2HR Junio 2024 P24 familia, adaptado. El sólido $B$ es semejante al sólido $A$ con cada longitud $k$ veces $A$'. Los volúmenes luego se escalan por $k^3$: el papel par cono-misosfera da como resultado $k^3 = \tfrac{125}{8}$, así que $k = \sqrt[3]{\tfrac{125}{8}} = \tfrac52 = 2.5$. A second pair with length ratio $4$ has volume ratio $4^3 = 64$ — el El sólido más grande contiene 64 veces el volumen del más pequeño. Establece primero la proporción en las longitudes y luego eleva al cuadrado o al cubo una vez.

Ejemplo resuelto: área a volumen. Dos botellas similares tienen áreas superficiales $180\ \text{cm}^2$ y $405\ \text{cm}^2$. La más pequeña contiene $320\ \text{cm}^3$. Encuentra el volumen de la más grande. Calcula el factor de escala de longitud:

El error común es multiplicar el volumen por la razón de áreas $2.25$ (lo que da $720\ \text{cm}^3$).

• Clasificar ángulos; usar hechos sobre líneas, puntos, líneas paralelas y triángulos, incluyendo ángulos exteriores y sumas de polígonos con ángulos interiores/exteriores de polígonos regulares (F 4.1, 4.2).
• Usar rumbos, velocidad/distancia/tiempo, densidad y presión como medidas compuestas (F 4.3).
• Usar rumbos, velocidad/distancia/tiempo, densidad y presión como medidas compuestas (F 4.4).
• Construir triángulos, bisectrices y perpendiculares; responder preguntas de lugar geométrico y dibujo a escala (F 4.5, F 4.11 B).
• Usar terminología circular y propiedades de cuerdas/tangentes; Superior: cuadriláteros cíclicos, ángulos en el centro/circunferencia, cuerdas secantes — cada paso con su razón estándar (F 4.6–4.7, H 4.6–4.7; Junio 2024 1HR Q13).
• Pitágoras y SOH CAH TOA en 2D con elevaciones y depresiones; razones obtusas, ley de senos, ley de cosenos y ½ab sin C, incluyendo inversas (F 4.8, H 4.8 A–C, E).
• Resolver problemas 3D extrayendo triángulos rectángulos; ley de cosenos en el triángulo extraído (H 4.8 D, F; Junio 2024 1HR Q22).
• Perímetros y áreas incluyendo trapecios, círculos y sectores; áreas superficiales y volúmenes de prismas, cilindros, conos y esferas con conversiones de unidades (F 4.9–4.10, H 4.9, H 4.10; Junio 2024 2HR Q10).
• Razones longitud : área : volumen $k : k^2 : k^3$, usadas en ambos sentidos (F 4.11, H 4.11; Junio 2024 2HR Q24 familia).

Notas de límite: los rumbos son de tres cifras; las construcciones se juzgan por arcos visibles. (dejarlos así); los radianes están excluidos — solo grados; el caso ambiguo de la ley de senos y 3D los trabajos circulares están fuera de la lista. Foundation solo cumple filas de Foundation 4.1–4.11. Los ejemplos resueltos están adaptados del par Superior de Junio 2024 revisado (ver el meta's evidencia de evaluación); las preguntas de hoja son originales a menos que estén etiquetadas.