3 · Sequences, functions and graphs

4MA1 tema 3 (especificación Edición 2, Noviembre 2017). Las filas de Nivel Básico 3.1 y 3.3 comparten con el Nivel Superior; el bloque de notación de funciones 3.2 y el bloque de cálculo 3.4 son exclusivos del Nivel Superior, y el Nivel Superior 3.3 amplía los trabajos sobre gráficos a cúbicas, recíprocas, curvas trigonométricas, transformaciones e intersecciones. En los exámenes Superiores de Junio 2024 esta rama es la más pesada de los seis temas (aproximadamente un tercio de cada examen) y contiene los discriminadores A/A*: sumas de series algebraicas, funciones compuestas, líneas perpendiculares, intersecciones línea-curva y puntos estacionarios.

Conocimiento esencial para la temática 3 (la hoja de fórmulas del Nivel Superior solo proporciona las reglas de series y trapecio):

Una regla de término a término indica cómo obtener el siguiente término (sumar 4: 5, 9, 13, 17, …; multiplicar por 2: 1, 2, 4, 8, …); una regla de posición a término da un término directamente a partir de su posición. Para una secuencia aritmética con primer término $a$ y **diferencia común $d$, el $n$-ésimo término es $u_n = a + (n-1)d$: para 1, 3, 5, 7, … la regla es $2n - 1$, y "término n-ésimo es $4n + 3$" genera 7, 11, 15, … Verifique una regla propuesta en dos posiciones antes de confiar en ella.

El Nivel Superior añade la suma de una serie aritmética. Emparejando el primero con el último, el segundo con el penúltimo, … da $n/2$ pares de sumas iguales de $a + u_n$:

Para $4+7+10+13+\cdots$: $a=4$, $d=3$, entonces $S_{50} = 25\,(8 + 49 \times 3) = 25 \times 155 = 3875$. Recovering $a$ and $d$ de dos términos usa la regla del término como sistema simultáneo: si $u_2 = 7$ y $u_5 = 19$, entonces $3d = 12$, por lo tanto $d = 4$ y $a = 7 - 4 = 3$.

Ejemplo resuelto (1HR junio 2024 P23, adaptado). Tres términos consecutivos de una serie aritmética son $4x-14$, $x+2$ y $7x-9$. Los términos consecutivos tienen una diferencia común, por lo tanto $(x+2)-(4x-14) = (7x-9)-(x+2)$, dando $-3x + 16 = 6x - 11$, luego $x = 3$. Los términos son $-2, 5, 12, \ldots$: $a = -2$, $d = 7$. Entonces $S_{40} = 20\left[2(-2) + 39 \times 7\right] = 20 \times 269 = 5380$. Keep $a$, $d$ simbólico hasta la sustitución final — el álgebra, no la aritmética, otorga los puntos.

Una función asigna a cada entrada de un conjunto exactamente una salida de otro: escribe $f(x) = \ldots$ o $f{:}\ x \mapsto \ldots$ El dominio es el conjunto de entradas permitidas entradas; el rango es el conjunto de salidas. Excluye las entradas que rompen la regla: para $f(x) = \dfrac{1}{x-2}$ excluye $x = 2$; para $f(x) = \sqrt{x}$ toma $x \ge 0$.

La función compuesta $\mathrm{fg}(x) = f(g(x))$ aplica primero $g$, luego $f$ — la salida de $g$ debe ser una entrada permitida de $f$. La función inversa $f^{-1}$ deshace $f$, y existe solo donde $f$ es uno a uno: para $f(x) = \sqrt{x-2}$ (dominio $x \ge 2$, rango $f \ge 0$), escribir $y = \sqrt{x-2}$ y elevar al cuadrado da $x = y^2 + 2$, luego $f^{-1}(x) = x^2 + 2$ en dominio $x \ge 0$. Siempre verifica $f^{-1}(f(x)) = x$.

Ejemplo resuelto (2HR Junio 2024 P17, adaptado). $f(x) = \dfrac{x}{2x-4}$ y $g(x) = 3x+1$; encontrar $k$ dado $\mathrm{fg}(k) = 2$. Primero $g(k) = 3k+1$, luego

así $3k+1 = 12k-4$, dando $9k = 5$ y $k = \tfrac59$. (Atajo útil: resolver $f(x) = 2$ primero da $x = 8/3$, así que establezca $g(k) = 8/3$ — misma respuesta con menos álgebra.)

Las coordenadas cartesianas nombran puntos en los cuatro cuadrantes; un punto medio promedia las coordenadas extremas: $M = \left(\tfrac{x_1+x_2}{2}, \tfrac{y_1+y_2}{2}\right)$. La pendiente de una línea recta es el cambio en $y$ dividido por el cambio en $x$: a través de $(1,7)$ y $(2,9)$ la pendiente es $2$. Una línea $y = mx+c$ tiene pendiente $m$ y cruza el eje $y$ en $(0,c)$ — para $y = 3x+5$, pendiente 3 e intersección $(0,5)$. Casos especiales: $x = k$ es vertical (sin pendiente finita), $y = c$ es horizontal (pendiente 0). Los gráficos de conversión (moneda, temperatura) se leen de la misma manera.

La interpretación de gráficos reales forma parte de este bloque: en un gráfico de distancia–tiempo la pendiente es velocidad; en un gráfico de velocidad–tiempo la pendiente es aceleración y el área bajo el gráfico es distancia recorrida. La práctica de graficar cubre completar tablas de valores para líneas rectas (incluyendo formas $ax + by = c$) y cuadráticas, trazando una curva suave a través de los puntos graficados — nunca segmentos de línea entre ellos.

Líneas paralelas comparten una pendiente. Líneas perpendiculares tienen pendientes multiplicando por $-1$: perpendicular a $m$ es $-1/m$. La recta que pasa por $(x_1, y_1)$ con pendiente $m$ es $y - y_1 = m(x - x_1)$.

Ejemplo resuelto (2HR Junio 2024 P21, adaptado). $ABCD$ es un cuadrado con $A(-5, 2)$ y $B(3, 5)$; encuentre la ecuación de $BC$ en la forma $ax + by + c = 0$. Los lados adyacentes del cuadrado son perpendiculares. La pendiente de $AB$ es $\tfrac{5-2}{3-(-5)} = \tfrac38$, por lo tanto la pendiente de $BC$ es $-\tfrac83$. A través de $B(3,5)$: $y - 5 = -\tfrac83(x-3)$, así que $3y - 15 = -8x + 24$, dando como resultado $8x + 3y - 39 = 0$. Multiplique al final para que $a$, $b$, $c$ sean enteros, según se solicitó.

Nivel Superior 3.3 espera el reconocimiento y trazado de tres familias de curvas además de las cuadráticas: cúbicas $y = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D$ (cualquier signo; $y = x^3 - 4x$ sube–baja–sube), recíprocas $y = A/x$, $y = A/x^2$, $y = A/x^3$ (dos ramas, asíntotas, sin cruzar los ejes) y las gráficas trigonométricas $y = \sin x$, $y = \cos x$, $y = \tan x$ para ángulos de cualquier magnitud en grados — seno y coseno oscilan entre $-1$ y $1$ con periodo 360°; tangente se repite cada 180° y presenta discontinuidades en $90° + 180°n$. Un círculo centrado en el origen tiene $x^2 + y^2 = r^2$ — el círculo ingresa a este curso como la segunda curva de una intersección pregunta.

Se requieren cuatro transformaciones de $y = f(x)$, para funciones lineales, cuadráticas, seno y coseno:

Los factores internos actúan "a la inversa" sobre $x$ y solo en $x$. Para $f(x) = x^2$: $y = f(x-2)+5 = (x-2)^2 + 5$ moves the minimum from $(0,0)$ to $(2, 5)$; $y = f(2x) = 4x^2$ reduce a la mitad valores de $x$, haciendo la parábola más estrecha, no más alta. Para $y = \sin 2x$, el período se reduce a la mitad hasta 180°. Leer una transformación dibujada en la gráfica (¿dónde fue el punto de inflexión?) y escribirla algebraicamente — ambas direcciones son evaluadas.

Pendientes de curvas: trazar una tangente en el punto y tomar su pendiente como ascenso/carrera — se mide la línea dibujada, no la curva. Las pendientes exactas de las curvas requieren cálculo (sección siguiente).

Intersecciones: los valores de $x$ donde una recta lineal $y_1$ intersecta una curva no lineal $y_2$ son las soluciones de $y_2 - y_1 = 0$. Los puntos de encuentro entre $y = 2x+1$ y $y = x^2 + 3x - 2$ resuelven $x^2 + x - 3 = 0$; entre $y = 5$ y $y = x^3 - 3x^2 + 7$, resolver $x^3 - 3x^2 + 2 = 0$.

Ejemplo resuelto (2HR Junio 2024 P22, adaptado). Encontrar dónde la recta $y = 3x - 1$ intersecta la curva $x^2 + y^2 = y + 11$. Sustituir la recta en la curva:

entonces $x = -\tfrac35$ o $x = \tfrac32$, con $y = 3x-1$ dando $y = -\tfrac{14}{5}$ o $y = \tfrac72$. Los puntos son $\left(-\tfrac35, -\tfrac{14}{5}\right)$ y $\left(\tfrac32, \tfrac72\right)$ — sustituir de nuevo en la otra ecuación para verificar: $\tfrac94 + \tfrac{49}{4} = \tfrac{58}{4} = 14.5 = \tfrac72 + 11$. ✓

La pendiente de una curva varía a lo largo de ella: es una tasa de cambio variable. La diferenciación la determina exactamente: para potencias enteras de $x$,

Para $y = x^3 - 8x^2 - 12x + 5$: $\dfrac{dy}{dx} = 3x^2 - 16x - 12$. Un punto estacionario tiene $\dfrac{dy}{dx} = 0$: aquí $3x^2 - 16x - 12 = (3x+2)(x-6)$, por lo tanto $x = -\tfrac23$ o $x = 6$. Distinga entre máximo y mínimo según la forma de la gráfica: un cúbico con coeficiente positivo de $x^3$ sube–baja–sube... aquí $y \to -\infty$ cuando $x \to -\infty$, el punto estacionario izquierdo $x = -\tfrac23$ es el máximo ($y = \tfrac{247}{27} \approx 9.1$) and the right one is the minimum ($y(6) = 216 - 288 - 72 + 5 = -139$).

Ejemplo resuelto (1HR Junio 2024 P19, adaptado). $C$ tiene ecuación $y = x^3 - 8x^2 - 12x + 5$ y exactamente dos puntos estacionarios $A$ y $B$ con $x_A > x_B$; encuentre $A$. Diferencie y iguale a cero: $(3x+2)(x-6) = 0$, y la raíz mayor es $x = 6$. Sustituyendo en la curva: $y = 216 - 288 - 72 + 5 = -139$, por lo tanto $A = (6, -139)$. Las marcas siguen la cadena — diferenciar (al menos dos términos correctos), igualar a cero, resolver la cuadrática, sustituir de vuelta.

Cinemática: con desplazamiento $s$ en metros después de $t$ segundos, la velocidad es la tasa de cambio del desplazamiento y la aceleración es la tasa de cambio de la velocidad: $v = \dfrac{ds}{dt}$, $\quad a = \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{d^2s}{dt^2}$. Para $s = t^3 - 24t$ (metros, $0 \le t \le 20$): $v = 3t^2 - 24$ m/s y $a = 6t$ m/s². El partícula está instantáneamente en reposo donde $v = 0$: $t = \sqrt{8} = 2.83$ s (3 c.s.).

• Generar secuencias a partir de reglas término a término y posición a término; encontrar la regla de una secuencia de enteros (F 3.1 A–B).
• Usar $u_n = a + (n-1)d$ para secuencias aritméticas; encontrar $a$ y $d$ a partir de cualquier par de términos (F 3.1 C, H 3.1 A–B).
• Sumar una serie aritmética con $S_n = \frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$, incluyendo términos algebraicos (H 3.1 C; Junio 2024 1HR Q23).
• Usar notación $f(x)$ y $f{:}\,x\mapsto$; indicar dominios con exclusiones y rangos (H 3.2 A–C).
• Construya $\mathrm{fg}(x)$ — $g$ primero — y encuentre $f^{-1}$ en un dominio uno a uno (H 3.2 D; Junio 2024 2HR P17).
• Leer, graficar e interpretar gráficos en todos los cuadrantes: puntos medios, gráficos de conversión, gráficos de distancia/velocidad–tiempo, tablas de valores (F 3.3 A–I).
• Pendientes entre dos puntos; $y = mx + c$; ecuaciones de rectas paralelas y perpendiculares que pasan por un punto (F 3.3 G–H, H 3.3 F–G; Junio 2024 2HR Q21).
• Reconocer y esbozar cúbicas, curvas recíprocas, $\sin/\cos/\tan$ y el círculo centrado en el origen $x^2+y^2=r^2$ (H 3.3 A).
• Aplicar y leer las cuatro transformaciones $f(x)+a$, $f(x+a)$, $af(x)$, $f(ax)$ (H 3.3 B–C).
• Estimar la pendiente de una curva trazando una tangente (H 3.3 D).
• Resolver intersecciones lineal–no lineal mediante $y_2 - y_1 = 0$ y verificar por sustitución (H 3.3 E; Junio 2024 2HR Q22).
• Derivar potencias enteras; encontrar puntos estacionarios; clasificar máximos/mínimos según la forma del gráfico (H 3.4 A–D; Junio 2024 1HR Q19).
• Aplicar cálculo al movimiento: $v = ds/dt$, $a = dv/dt$ y "en reposo" significa $v = 0$ (H 3.4 E).

Notas de límite: las series geométricas y la suma hacia infinito están excluidas en este nivel (sin filas geométricas en 4MA1 3.1); la derivación se limita a potencias enteras de $x$ — cadena, producto y cociente están excluidos; la medida en radianes está excluida (grados en todo momento). Los candidatos de Fundamentos cumplen solo con 3.1 y 3.3. Los ejemplos resueltos anteriores están adaptados de la par revisada de Junio 2024 Superior (ver la evidencia de evaluación de los metadatos); todas las demás preguntas sobre Las hojas son originales.