2 · Equations, formulae and identities

4MA1 tema 2 (especificación Emisión 2, noviembre 2017). Las filas básicas 2.1–2.4, 2.6–2.8 son compartidas con el nivel superior; la proporción (2.5) es exclusiva del nivel superior, y el nivel superior amplía la manipulación a índices fraccionales, triple expansión, fracciones algebraicas, completar el cuadrado, demostraciones, pares lineales-cuadráticos e inecuaciones cuadráticas. En los exámenes de junio 2024 del nivel superior, esta rama vuelve a llevar los diferenciadores A/A*: una ecuación exponencial, demostración de decimal periódico, división de fracciones algebraicas, completar el cuadrado con un mínimo transformado, y una inecuación cuadrática.

Conocimiento obligatorio para el tema 2 (la hoja de fórmulas Superior solo da la fórmula cuadrática):

Los símbolos representan números desconocidos en ecuaciones o variables en expresiones y fórmulas; Las expresiones algebraicas siguen las reglas generalizadas de la aritmética. Una ecuación pide cuáles entradas funcionan; una identidad se cumple para toda entrada permitida. Notación de exponentes cubre exponentes positivos, negativos y cero: $a^3 = a \times a \times a$, $a^0 = 1$, $a^{-1} = \tfrac1a$, y el nivel Superior añade exponentes fraccionarios: $x^{1/2} = \sqrt{x}$, $x^{1/3} = \sqrt[3]{x}$, $x^{2/3} = (\sqrt[3]{x})^2$. Las leyes de los exponentes las combinan: $x^m \times x^n = x^{m+n}$, $x^m \div x^n = x^{m-n}$, $(x^m)^n = x^{mn}$ — multiplicar significa sumar los índices; dividir significa restarlos.

Worked example (2HR June 2024 Q7, adapted). $\dfrac{3^{n-2} \times 3^{n+5}}{3^{3n+10}} = 1$. Same base throughout, so the indices combine: $(n-2) + (n+5) - (3n+10) = 0$, que es $-n - 7 = 0$. Por lo tanto $n = -7$. Nunca multiplique los 3s — como las bases coinciden, solo los índices cambian.

Sustitución evalúa expresiones (incluyendo valores negativos y fraccionales); agrupando términos semejantes, multiplicar un único término sobre un paréntesis, extraer factores comunes (factorizar $x^2 + 10x + 24 = (x+6)(x+4)$) y expandir el producto de dos lineales ($(x+8)(x-5) = x^2 + 3x - 40$) constituyen el kit de herramientas fundamental. El nivel Superior amplía la expansión a tres paréntesis: $(x+2)(x+3)(x-1) = (x^2+5x+6)(x-1) = x^3 + 4x^2 + x - 6$ — expandir primero dos, luego multiplicar a través, y verificar con $x = 0$ (término independiente $-6$).

Utilice fórmulas de matemáticas y otros contextos, convierta reglas escritas en símbolos, y derivar expresiones a partir de una situación. Cambiar el tema aplica la misma operación a ambos lados hasta que la letra elegida quede sola: de $A = \pi r^2$, $r = \sqrt{A/\pi}$ (raíz positiva — una longitud); de $v = u + at$, $t = \tfrac{v-u}{a}$.

Los casos superiores sitúan al sujeto más profundamente en la fórmula. De $V = \tfrac43 \pi r^3$: multiplica por 3, divide por $4\pi$, luego saca raíz cúbica: $r = \sqrt[3]{\tfrac{3V}{4\pi}}$. De $T = 2\pi\sqrt{l/g}$: eleva al cuadrado primero — $T^2 = \tfrac{4\pi^2 l}{g}$ — así que $l = \tfrac{gT^2}{4\pi^2}$. Cuando el sujeto aparece dos veces, agrupa sus términos antes de factorización: $4a + 3 = 5(a - r)$ se expande a $4a + 3 = 5a - 5r$, por lo tanto $a = 5r + 3$. Verificar cada reordenamiento sustituyendo números en ambas versiones.

Proporción (Nivel Superior): $y \propto x^n$ significa $y = kx^n$ para una constante $k$; proporcionalidad inversa $y \propto 1/x^n$ significa $y = k/x^n$. Si $y \propto x^3$ y $y = 24$ cuando $x = 2$, entonces $k = 3$, así que $y = 3x^3$ y $y = 81$ cuando $x = 3$. Gráficamente, $y = kx$ es una recta que pasa por el origen; $y = k/x$ es una hipérbola — el álgebra y la gráfica deben coincidir la misma historia.

Resolver ecuaciones lineales con la incógnita en uno o ambos lados, coeficientes enteros o fraccionarios coeficientes — los pasos siempre son: expandir, agrupar, dividir: $7(x+3) = 5x + 8$ da $7x + 21 = 5x + 8$ multiplica todo por $2x = -13$: $x = -6.5$, así que $\tfrac45 x + 3 = \tfrac23$ multiplica por 15: $12x + 45 = 10$, por lo tanto $x = -\tfrac{35}{12}$. Plantear ecuaciones a partir de datos dados: los tres ángulos $a^\circ, (a+10)^\circ, (a+20)^\circ$ de un triángulo suman 180, por lo tanto $3a + 30 = 180$ y $a = 50$. Verificar mediante sustitución, y mantener las soluciones coherentes con el contexto (un conteo no pueden ser negativos ni fraccionarios).

Dos ecuaciones lineales simultáneas se resuelven exactamente mediante eliminación o sustitución: para $2x + 3y = 17$ y $3x - 5y = 35$, triple el primero y doble el segundo: $6x + 9y = 51$, $6x - 10y = 70$; restando da $19y = -19$, luego $y = -1$ y $x = 10$. Verificar en la otra ecuación: $3(10) - 5(-1) = 35$. ✓ Gráficamente cada ecuación es una recta y la solución común es su punto de intersección.

Una expresión cuadrática tiene la forma $ax^2 + bx + c$ con $a \ne 0$. Nivel básico factoriza $x^2 + bx + c$; Avanzado factoriza cualquier expresión: $6x^2 - 5x - 6 = (3x+2)(2x-3)$ — verificar expandiendo ($6x^2 - 9x + 4x - 6$ ✓). Diferencia de dos cuadrados: $4x^2 - 9 = (2x-3)(2x+3)$.

Fracciones algebraicas: factorizar primero, luego simplificar factores completos, nunca partes de términos. Simplificar $\dfrac{x^2 + 3x - 10}{x^2 + x - 2} = \dfrac{(x+5)(x-2)}{(x+2)(x-1)}$ — no hay simplificación aquí (sin factor común); pero $\dfrac{x^2 - 4}{x^2 + 5x + 6} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{(x+2)(x+3)} = \dfrac{x-2}{x+3}$. La suma usa un denominador común; dividir significa multiplicar por el recíproco.

Ejemplo resuelto (2HR Junio 2024 P26, adaptado). Escribir $4 - (3x-5) \div \dfrac{3x^2 + x - 10}{4x - 1}$ como una sola fracción. Primero factorizar el cuadrático: $3x^2 + x - 10 = (3x-5)(x+2)$. Dividir por una fracción invierte su valor, y el $(3x-5)$ se cancela:

Demostraciones (Nivel Superior) usan álgebra, no ejemplos. El clásico decimal periódico: sea $x = 0.306306\ldots$; luego $1000x = 306.306\ldots$, y restando, $999x = 306$, por lo tanto $x = \tfrac{306}{999} = \tfrac{34}{111}$. Indique a qué es igual $x$, multiplíquelo por una potencia de diez que desplace un bloque recurrente completo, reste, simplifique (Junio 2024 2HR Q18).

Completar el cuadrado reescribe $ax^2 + bx + c = a(x + b')^2 + c'$: la mitad del El coeficiente $x$ indica el desplazamiento dentro del paréntesis, con su signo invertido. El vértice $a > 0$ trasladada por $y = a(x+b')^2 + c'$. $y = ax^2$ trasladado por $(-b', c')$.

Ejemplo resuelto (1HR Junio 2024 Q20, adaptado). (a) Escribir $2x^2 - 11x + 9$ en la forma $a(x+b)^2 + c$: factorizar 2 de los términos $x$, la mitad de $-\tfrac{11}{2}$ es $-\tfrac{11}{4}$, por lo tanto

(b) La gráfica de $y = f(x - 3)$ se desplaza $f$ tres unidades a la derecha, por lo que el mínimo se mueve desde $\left(\tfrac{11}{4}, -\tfrac{49}{8}\right)$ to $\left(\tfrac{23}{4}, -\tfrac{49}{8}\right) = (5.75, -6.125)$. Inside the bracket acts on $x$, y al revés.

$x^2 + x - 30 = (x+6)(x-5) = 0$); por la fórmula cuadrática $x = -6$ cuando la factorización $5$); por la fórmula cuadrática $x = \tfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ al factorizar falla — para $2x^2 + 6x - 1 = 0$, $x = \tfrac{-6 \pm \sqrt{36+8}}{4} = \tfrac{-3 \pm \sqrt{11}}{2}$; o mediante completar el cuadrado, que resuelve y proporciona el vértice directamente. Formular ecuaciones a partir del contexto (área, Pitágoras, estilo proyectil $h = at^2 + bt + c$), mantener respuestas exactas a menos que se indique lo contrario, y rechazar raíces que el contexto prohíba.

Símbolos de desigualdad $<, >, \le, \ge$ (incluidas las formas de doble extremo como $1 < x \le 5$) describir intervalos; círculos abiertos y cerrados en una recta numérica marcan valores excluidos e incluidos extremos. Resolver una desigualdad lineal imita los pasos de las ecuaciones — excepto al multiplicar o dividir por un número negativo, lo cual invierte la dirección: $7 - x \le 5$ da $-x \le -2$, por lo tanto $x \ge 2$.

Desigualdades cuadráticas (Nivel Superior) requieren los valores críticos, luego el signo de la parábola entre ellos: una cuadrática positiva está por encima de cero fuera de sus raíces.

Ejemplo resuelto (2HR Junio 2024 P20, adaptado). Resolver $6x^2 - 7x - 20 > 0$. Factorizar: $(3x + 4)(2x - 5) > 0$, por lo tanto los valores críticos son $x = -\tfrac43$ y $x = \tfrac52$. La parábola se abre hacia arriba —positiva fuera de las raíces—, así que $x < -\tfrac43$ o $x > \tfrac52$, marcados en la recta numérica con círculos abiertos (los valores mismos dan $0$, no $> 0$). Dibujar primero la parábola; el gráfico decide si es interior o exterior.

Pares lineal-cuadrático (Nivel Superior): sustituir la ecuación lineal en la cuadrática. Para $y = 2x - 11$ con $x^2 + y^2 = 25$: $x^2 + (2x-11)^2 = 25$ resulta en $5x^2 - 44x + 96 = 0$, and by formula $x = \tfrac{44 \pm \sqrt{1936 - 1920}}{10} = \tfrac{44 \pm 4}{10} = 4.8$ or $4$, giving $(4.8, -1.4)$ and $(4, -3)$; ambos satisfacen la circunferencia. Para Matriz $y = 11x - 2$ con vector $y = 5x^2$: $5x^2 - 11x + 2 = (5x - 1)(x - 2) = 0$, así que $\left(\tfrac15, 0.2\right)$ y $(2, 20)$. Conservar ambas soluciones a menos que el contexto elimine una.

Regiones (F 2.8 D–E, casos más difíciles Higher): en una cuadrícula cartesiana, cada desigualdad lineal delimita un semiplano; prueba un punto por cada frontera (el origen es útil a menos que una desigualdad acota un semiplano; probar un punto por cada frontera (el origen es útil a menos que si se encuentra en un límite), luego sombrear la región que satisface cada condición — por ejemplo $x \ge 0$, $y \ge 1$, $x + y \le 5$ da el interior de un triángulo con vértices $(0,1)$, $(0,5)$, $(4,1)$.

• Usar símbolos, leyes de exponentes (enteros, luego fraccionarios/negativos/ceros — Nivel Superior) y combinar exponentes sobre una misma base (F 2.1, H 2.1; Junio 2024 2HR P7).
• Sustituir, agrupar términos, expandir paréntesis simples y dobles — y Nivel Superior, triple paréntesis — factorizar factores comunes y trinomios cuadráticos (F 2.2, H 2.2 A–B).
• Derivar, usar y reorganizar fórmulas, incluido cambio de sujeto dos veces y casos de potencia; plantear y resolver proporcionalidad directa e inversa (F 2.3, H 2.3, H 2.5).
• Resolver ecuaciones lineales a partir de datos y pares exactos simultáneos por eliminación, interpretando el par como líneas que se intersectan (F 2.4, F/H 2.6).
• Construye demostraciones algebraicas, incluidas conversiones de decimales periódicos (H 2.2 E; Junio 2024 2HR P26).
• Construir demostraciones algebraicas, incluidas conversiones de decimales periódicos (H 2.2 E; Junio 2024 2HR P18).
• Resuelve desigualdades lineales y cuadráticas con conjuntos solución en recta numérica; identifica regiones acotadas a partir de desigualdades lineales (F 2.2, H 2.7; Junio 2024 1HR P20).
• Resolver desigualdades lineales y cuadráticas con conjuntos solución en recta numérica; identificar regiones acotadas a partir de desigualdades lineales (F 2.8, H 2.8; Junio 2024 2HR P20).
• Resolver pares simultáneos lineal-cuadrático por sustitución, conservando ambos puntos (H 2.7 D).

Notas de frontera: el discriminante como herramienta nombrada y el teorema del factor están fuera del alcance del 4MA1 lista — la resolución usa factorización, la fórmula general o completar el cuadrado; **radical multiplicando arriba y abajo por el conjugado, p. ej., hacia $\tfrac{7}{4(2-\sqrt3)}$). multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado, p. ej., para $\tfrac{14+7\sqrt3}{4}$). Fundamental cumple 2.1–2.4, 2.6–2.8 solo. Los ejemplos resueltos anteriores están adaptados de las revisión Junio 2024 Nivel Superior (ver la evidencia de evaluación meta); las preguntas de hoja son originales a menos que estén etiquetadas.