6 · Statistics and probability

4MA1 topic 6 (specification Issue 2, November 2017). Foundation 6.1–6.3 covers presentación de datos, promedios con estimaciones agrupadas y el conjunto completo de herramientas de probabilidad (escala, espacios muestrales, diagramas de Venn, complementos); Higher añade histogramas con clases desiguales, trabajo de frecuencia acumulada con mediana y rango intercuartílico, y diagramas de árbol para eventos independientes y condicionales. En los exámenes de Junio 2024 esta sección proporcionó un histograma con clases desiguales (1HR Q16), un gráfico de frecuencia acumulada con lecturas de cuartiles (2HR Q11) y la pregunta algebraica sin reemplazo (1HR Q21).

Esencial conocer para el tema 6:

Tabular antes de graficar: contar y hacer una tabla de frecuencias, mantener los límites de clase explícitos, luego elegir el diagrama — gráfico de barras (categorías discretas), gráfico circular (proporciones), pictograma o polígono de frecuencias para datos agrupados. La interpretación va en ambos sentidos: leer valores de un gráfico dado y comparar distribuciones (dos grupos en los mismos ejes; un eje truncado que engaña también es un comentario válido).

Los niveles superiores dibujan histogramas con anchos de clase desiguales: la altura de la barra la altura es la densidad de frecuencia $= \dfrac{\text{frequency}}{\text{anchura de clase}}$, por lo que el ÁREA representa la frecuencia. Las clases de anchura igual son el caso especial donde solo funciona la altura. caso donde solo funciona la altura.

Ejemplo resuelto: 1HR junio 2024 Q16, adaptado. Clases de anchos 2, 3, 5, 10, 15 contienen frequencies 5, 12, 18, 14, 9. Densities: $\tfrac52 = 2.5$, $\tfrac{12}3 = 4$, $\tfrac{18}5 = 3.6$, $\tfrac{14}{10} = 1.4$, $\tfrac9{15} = 0.6$ — la rúbrica del examen acepta barras de ancho correcto cuyas alturas están en esta proporción. Verifique usted mismo: la última barra parece alta solo porque su ancho es 15; su área es $0.6 \times 15 = 9$. ✓

La media suma y divide; la mediana ordena y toma el valor central; la moda es la más frecuente. Para 3, 7, 8, 10, 12: media 8, mediana 8, rango $12 - 3 = 9$. Para datos agrupados, estima la media con las marcas de clase: multiplica cada marca por su frecuencia, suma los resultados y divide entre el total; indica la clase modal (la clase con mayor densidad de frecuencia cuando los anchos difieren).

Ejemplo resuelto: media agrupada. Tiempos $t$ (minutos) para 25 estudiantes:

$\sum fm = 20 + 105 + 225 + 175 = 525$ y $\sum f = 25$, por lo que la media es aproximadamente $525 \div 25 = 21$ minutos. Es solo una estimación, porque cada estudiante se trata como si estuviera en el punto medio. La clase modal es $20 < t \le 30$. Dividir por 4 (el número de clases) en lugar de 25 es el error habitual.

Los cuartiles cuantifican mejor la dispersión: ordena los datos, toma la mediana, luego las medianas de las mitades inferior y superior dan $Q_1$ y $Q_3$; el rango intercuartílico es $Q_3 - Q_1$ (resistente a valores atípicos, a diferencia del rango). Para 4, 6, 7, 9, 10, 12, 14, 15: la mediana es 9.5, la mitad inferior 4, 6, 7, 9 da $Q_1 = 6.5$, la mitad superior 10, 12, 14, 15 da $Q_3 = 13$, por lo tanto el RIC es $13 - 6.5 = 6.5$.

Una tabla de frecuencia acumulada suma las frecuencias conforme pasan las clases; representa cada total frente al LÍMITE SUPERIOR de clase y une los puntos con una curva suave ascendente —el ogiva. Se lee: la mediana es el valor en $\tfrac n2$ sobre la curva; los cuartiles en $\tfrac n4$ y $\tfrac{3n}4$; el RIC es su diferencia; los percentiles funcionan de manera similar. Igualmente, "cuántos están por encima de X" se lee tomando el total en X y restando de $n$.

Ejemplo resuelto: familia 2HR junio 2024 Q11, adaptado. Tiempos de tarea de 60 trabajadores (horas por semana): frecuencias acumuladas 6, 17, 27, 42, 60 en límites superiores 10, 15, 20, 25, 30. La mediana se encuentra en el 30er trabajador: entre 20 (27 trabajadores) y 25 (42), por lo tanto $20 + 5 \times \tfrac{30 - 27}{42 - 27} = 21$ horas. Los cuartiles: el 15er trabajador da $Q_1 = 10 + 5 \times \tfrac{15 - 6}{17 - 6} = 14.1$; el 45er da $Q_3 = 25 + 5 \times \tfrac{45 - 42}{60 - 42} = 25.8$; IQR $\approx 11.7$. Dibuje las líneas de lectura en la gráfica — las marcas son por las lecturas, no solo por las respuestas.

La probabilidad mide la verosimilitud en la escala de 0 (imposible) a 1 (seguro). Un modelo teórico cuenta resultados igualmente posibles; un experimento estima a partir de frecuencia: $P(\text{event}) \approx \tfrac{\text{times it happened}}{\text{trials}}$ (estimaciones basadas en datos recopilados previamente incluidos). El espacio muestral enumera todos los resultados — para dos eventos sucesivos, una cuadrícula o lista sistemática; la probabilidad de un evento la probabilidad cuenta las celdas favorables. La regla del complemento: $P(A') = 1 - P(A)$ — a menudo la ruta rápida (preguntas de "al menos uno").

Diagramas de Venn: regiones para cada conjunto y la intersección; las probabilidades llenan las regiones y suman 1, con $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. Ejemplo: 30 estudiantes, 18 prefieren cricket ($C$), 15 tenis ($T$), 7 ambos: $P(C \cup T) = \tfrac{18 + 15 - 7}{30} = \tfrac{26}{30}$, and $P(\text{neither}) = 1 - \tfrac{26}{30} = \tfrac{2}{15}$.

Los diagramas de árbol multiplican a lo largo de las ramas y suman entre los resultados. CON reemplazo, las ramas se repiten — los eventos son independientes: $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$. SIN reemplazo, el denominador de la segunda rama disminuye en uno y su numerador en el resultado del primer evento: los extracciones son dependientes, y el proceso muestra las fracciones cambiantes.

Ejemplo resuelto: 1HR Junio 2024 P21 familia, adaptado. Una bolsa contiene 5 rojos, 6 azules y 9 caramelos verdes; se toman dos sin reemplazo. $P(\text{uno rojo y uno azul, en cualquier orden}) = \tfrac{5}{20} \times \tfrac{6}{19} + \tfrac{6}{20} \times \tfrac{5}{19} = \tfrac{60}{380} = \tfrac{3}{19}$. La versión del examen utiliza el mismo procedimiento con un $x$ desconocido y resuelve la ecuación cuadrática resultante (sus resultados verificados: $x = 11$, probabilidad final $\tfrac7{75}$): iguala la expresión de dos rutas a la probabilidad dada, expande, resuelve y rechaza la raíz que el contexto no permite.

Se sacan dos sin reemplazo, y $n$. Encuentre 6. Se extraen dos sin reposición, y $P(\text{both orange}) = \tfrac13$. Encuentra $n$.

El número de dulces no puede ser negativo, por lo tanto $n = 10$. Verificación: $\tfrac{6}{10} \times \tfrac{5}{9} = \tfrac{30}{90} = \tfrac13$. ✓

Probabilidad condicional reduce el espacio muestral: $P(B \mid A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ — en un diagrama de árbol, la segunda rama dada que ocurrió la primera. Con la bolsa anterior, $P(\text{blue second} \mid \text{red first}) = \tfrac{6}{19}$ se lee directamente de la rama.

• Tabular y presentar datos; interpretar gráficos y comparar distribuciones (F 6.1 A–C).
• Dibuje histogramas con anchos desiguales usando densidad de frecuencia; el área es la frecuencia (H 6.1 A; junio 2024 1HR Q16).
• Media, mediana, moda, rango; media agrupada mediante puntos medios; clase modal (F 6.2 B–D).
• Cuartiles e IQR para datos discretos por posición (H 6.2 B–C).
• Construir curvas de frecuencia acumulada a partir de tablas; leer medianas, cuartiles, IQR y percentiles con líneas de lectura dibujadas (H 6.1 B–C, H 6.2 A, D; Junio 2024 2HR P11).
• Escala de probabilidad; estimaciones teóricas vs experimentales; espacios muestrales y enumeración sistemática para dos eventos; diagramas de Venn con la regla de adición; complementos (F 6.3 A–H).
• Diagramas de árbol: multiplicar a lo largo, sumar entre ramas; con reemplazo (independiente) vs sin reemplazo; probabilidad condicional leída en las ramas; configuraciones algebraicas que terminan en cuadráticas (H 6.3 A–D; Junio 2024 1HR P21 familia).

Notas de límite: los histogramas usan densidad de frecuencia (no frecuencia) cuando las anchuras difieren; las convenciones de cuartil aquí son posicionales (medianas de las mitades inferior y superior); valor esperado y notación formal de conjuntos pertenecen a estudios posteriores. Candidatos de Nivel Básico solo cumplen las filas de Nivel Básico 6.1–6.3. Los ejemplos resueltos están adaptados de los exámenes revisados de Junio 2024 o son originales; las preguntas de la hoja son originales a menos que estén etiquetadas.