1 · Numbers and the number system

4MA1 tema 1 (cuestión del programa 2, noviembre 2017) es el núcleo numérico de la titulación: las filas Fundamentales de 1.1–1.11 abarcan desde enteros y las cuatro reglas hasta fracciones, decimales, exponentes, conjuntos, porcentajes, proporciones, límites y notación científica para trabajo numérico cotidiano; el Nivel Superior añade conversión de decimales periódicos, radicales, conjuntos algebraicos, cambios porcentuales repetidos y problemas de límites. En los exámenes de junio 2024, esta sección incluye porcentajes inversos (2HR Q8), notación científica (2HR Q9), el decimal periódico demostración (2HR Q18), multiplicación con límite superior (2HR Q19), racionalización de radicales (1HR P17 familia) y factores primos con regiones de Venn (1HR P11 familia).

Conocimiento esencial para el tema 1:

Los enteros incluyen positivos, negativos y cero; el lugar posicional designa el valor de cada dígito. Los números dirigidos aparecen en contextos prácticos (temperatura, deuda, nivel del mar); ordenar los sitúa en la recta numérica. Las cuatro reglas con negativos: signos iguales se suman, diferentes signos se restan, dos negativos dan positivo. Paréntesis, luego exponentes, luego dividir/multiplicar, luego sumar/restar (BIDMAS): $3 + 4 \times 2^2 = 3 + 16 = 19$, mientras $(3 + 4) \times 2 = 14$. Impares, pares, números primos (exactamente dos factores), factores y múltiplos clasifican números enteros; factores comunes y múltiplos comunes conducen al MCD y el MCM.

Fracciones equivalentes se simplifican o amplían: $\tfrac{8}{12} = \tfrac23$. Números mixtos y fracciones ordinarias se convierten mediante división con resto. Un denominador común permite ordenar, comparar, sumar y restar fracciones: $\tfrac13 + \tfrac14 = \tfrac{4}{12} + \tfrac{3}{12} = \tfrac{7}{12}$. Una fracción DE una cantidad multiplica: $\tfrac34$ de 48 es 36; expresar un número como una fracción de otro divide ($7$ como fracción de $28$ es $\tfrac14$). Multiplicar fracciones multiplica numeradores y denominadores; dividir multiplica por el recíproco — las fracciones unitarias como inversas multiplicativas ($\tfrac13$ invierte a $3$). Las fracciones se convierten en decimales (dividiendo) y porcentajes (multiplicando por 100).

Decimales periódicos (Superior) se convierten mediante álgebra: sea $x = 0.306306\ldots$; luego $1000x = 306.306\ldots$; restando, $999x = 306$, por lo tanto $x = \tfrac{306}{999} = \tfrac{34}{111}$ (Junio 2024 2HR P18). Un decimal exacto es una fracción con denominador potencia de diez.

El valor posicional decimal abarca décimas, centésimas, milésimas; el orden compara los highest-value digits first. Square numbers ($1, 4, 9, \ldots$), cube numbers ($1, 8, 27, \ldots$), their roots, and index notation with Leyes de multiplicación y división para potencias de enteros positivos: $2^3 \times 2^4 = 2^7$ and $2^7 \div 2^3 = 2^4$. Every integer factors into primes: $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$; Junio 2024 1HR Q11 factores grandes descompone en primos y lee productos de regiones de un diagrama de Venn ($19600 = 2^4 \times 5^2 \times 7^2$). El MCD toma la potencia más baja de cada primo común; el mcm toma la potencia más alta de cada primo: para $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$ y $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$, MCD $= 2^2 \cdot 3 = 12$ y mcm $= 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 2520$.

Un radical es una raíz irracional exacta como $\sqrt2$. Simplificar extrayendo cuadrados: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt2$, usando $\sqrt{ab} = \sqrt a\, \sqrt b$. Adding needs like surds: $3\sqrt2 + 5\sqrt2 = 8\sqrt2$, but $\sqrt2 + \sqrt3$ no se simplifica.

Racionalizar el denominador elimina la raíz multiplicando arriba y abajo por el conjugado — una diferencia de cuadrados lo elimina exactamente. Caso resuelto: $\dfrac{5}{3 - \sqrt2} = \dfrac{5(3 + \sqrt2)}{(3 - \sqrt2)(3 + \sqrt2)} = \dfrac{5(3 + \sqrt2)}{9 - 2} = \dfrac{5(3 + \sqrt2)}{7}$; and $\dfrac{6}{\sqrt3} = \dfrac{6\sqrt3}{3} = 2\sqrt3$. Junio 2024 1HR Q17 familia racionaliza un denominador construido a partir de $2 - \sqrt3$ hasta una respuesta de la familia $\tfrac{7(2 + \sqrt3)}{4}$ — ya que $(2 - \sqrt3)(2 + \sqrt3) = 1$, el multiplicador $(2 + \sqrt3)$ elimina el radical exactamente.

Un conjunto es una colección de elementos: $A = \{2, 4, 6, 8\}$. Notación: $\cup$ (unión, en cualquiera de los conjuntos), $\cap$ (intersección, en ambos), $\in$ y $\notin$ (pertenencia). El conjunto universal $\mathcal{E}$ contiene todo lo discutido; el conjunto vacío $\emptyset$ no tiene elementos; el complemento $A'$ contiene todo en $\mathcal{E}$ fuera de $A$. Los diagramas de Venn dibujan las regiones — en Nivel Superior con conjuntos algebraicos, los subconjuntos ($B \subset A$: cada elemento de $B$ está en $A$), el conteo de elementos $n(A)$, y aplicaciones prácticas (encuestas, regiones de factores primos). Junio 2024 1HR Q11 familia coloca los factores primos de dos números en un diagrama de Venn de dos conjuntos y lee productos como $AB$, $A^2$ y $B^2$ a partir de regiones combinadas: el MCD es el producto de la intersección, el MCM es el producto de todos.

El porcentaje significa partes por 100: $35\% = 0.35 = \tfrac{7}{20}$. Los porcentajes actúan como multiplicadores: aumentar en $12\%$ significa $\times 1.12$; disminuir en $20\%$ significa $\times 0.8$. El porcentaje inverso divide el valor final por el multiplicador — Junio 2024 2HR Q8: una nevera con precio de 6225 rupias tras una reducción de $17\%$ costaba originalmente $\tfrac{6225}{0.83} = 7500$ rupias. El interés compuesto y la depreciación aplican multiplicador repetidamente: $A = P\left(1 \pm \tfrac{r}{100}\right)^n$ — £2000 al 3% compuesto durante 4 años crece hasta $2000 \times 1.03^4 = £2251.02$; un coche valorado en £12000 depreciándose 15% anual durante 3 años desciende a $12000 \times 0.85^3 = £7369.50$.

Razón compara partes: simplifica dividiendo ($45 : 60 = 3 : 4$); reparte según $\tfrac{\text{parts}}{\text{total}} \times \text{amount}$ — £350 repartidos en la La proporción $2 : 5$ da $\tfrac27 \times 350 = £100$ y $\tfrac57 \times 350 = £250$. Proporción: escalas dentro o entre cantidades; el método unitario encuentra una unidad primero (7 bolígrafos cuestan £4.20, así que un bolígrafo cuesta £0.60 y 12 bolígrafos cuestan £7.20); cantidades en proporción directa escalan de la misma manera ($y = kx$). Los problemas verbales combinan proporción con fracciones y porcentajes: mantén las unidades explícitas y verifica que la respuesta sea razonable.

Redondea enteros a potencias de diez y decimales a cifras significativas o lugares lugares: $3.4617 \to 3.5$ (2 c.s.) y $3.46$ (2 d.c.). Un valor preciso lleva límites — redondear 19 al entero más cercano implica $18.5 \le v < 19.5$ — el límite superior superior** 19.5 y límite inferior 18.5. La estimación redondea cada número a 1 s.f. first: $\tfrac{4.12 \times 29.8}{0.187} \approx \tfrac{4 \times 30}{0.2} = 600$. Problemas de límites (Superior) eligen los extremos que necesita la pregunta — Junio 2024 2HR LS 19) y tiempo $=$ h hasta $\times$ d.p. (por lo tanto LS $19$): el límite superior de la distancia LS $19.5$) y tiempo $1.5$ h a 1 d.p. (así LS $1.55$): el límite superior de la distancia es $19.5 \times 1.55 = 30.2$ km (3 c.s.).

Standard form writes $a \times 10^n$ with $1 \le a < 10$: $604000 = 6.04 × 10^5$ and $0.00007 = 7 × 10^{-5}$ (Junio 2024 2HR P9). Los exponentes se suman y restan en la multiplicación y división de números en notación científica, y los La tecla $\times 10^{\wedge}$ de la calculadora mantiene el cálculo exacto.

El número cotidiano —dinero, horarios, lecturas— utiliza la misma aritmética con unidades asociadas. Unidades estándar: masa (kg, g), longitud (km, m, cm, mm), área, volumen, tiempo (segundos a años, relojes de 12- y 24-horas), y las conversiones entre ellos ($1\ \text{m}^2 = 10^4\ \text{cm}^2$; $1\ \text{litre} = 1000\ \text{cm}^3$). A la calculadora científica aplica correctamente el orden de las operaciones, pero redondear pronto pierde precisión: mantenga la precisión completa durante el cálculo y redondee solo al final respuesta, a la precisión solicitada.

• Números enteros, ordenación, números dirigidos, cuatro reglas, BIDMAS, impar, par, primo, factores y múltiplos (F 1.1 A–H).
• Fracciones equivalentes, fracciones mixtas, denominadores comunes, fracción de una cantidad, recíprocos, conversiones FDP (F 1.2 A–H).
• Decimales periódicos a fracciones mediante álgebra (H 1.3 A; Junio 2024 2HR P18).
• Decimales: valor posicional, ordenación, decimales terminantes como fracciones (F 1.3 A–E).
• Cuadrados, cubos, raíces, leyes de exponentes, factorización prima, MCD y MCM (F 1.4 A–E; Junio 2024 1HR P11 familia).
• Radicales: simplificación, suma de radicales semejantes, racionalización con conjugados (H 1.4 A–B; Junio 2024 1HR P17 familia).
• Conjuntos: notación, universal/vacío/complemento, diagramas de Venn; conjuntos superiores, n(A), conjuntos algebraicos y prácticos (F 1.5 A–E, H 1.5 A–D).
• Porcentajes: multiplicadores, porcentaje de, aumento/disminución, inverso, interés compuesto y depreciación (F 1.6 A–G, H 1.6 A–B; Junio 2024 2HR P8).
• Razón en forma más simple, reparto, proporción directa, problemas verbales (F 1.7 A–E).
• Redondeo a potencias de diez, s.f. y d.p.; identificación de límites y problemas de límites eligiendo los extremos adecuados; estimación por 1 s.f. (F 1.8 A–D, H 1.8 A; Junio 2024 2HR P19).
• Conversiones y aritmética en notación científica (F 1.9 A, H 1.9 A; Junio 2024 2HR P9).
• Número cotidiano, unidades estándar y conversiones, cálculos de tiempo, disciplina con la calculadora (F 1.10 A–C, F 1.11 A).

Notas de los límites: los exponentes fraccionarios, negativos y cero, más allá de las leyes de multiplicación y las leyes de la división pertenecen al tema 2; las gráficas de proporción pertenecen a los temas 2 y 4; el compuesto medidas (velocidad, densidad, presión) pertenecen al tema 4. Los candidatos del nivel básico cumplen con las filas básicas únicamente. Los ejemplos resueltos están adaptados de los exámenes revisados de junio 2024 o son originales; las preguntas de hoja son originales a menos que estén etiquetadas.