O · Statistical hypothesis testing

AQA A-level Mathematics 7357, sección O (Contraste de hipótesis estadísticas), versión 1.3 (primera evaluación 2018). Notas originales para enseñanza.

Requisitos previos: los modelos binomial y normal de la sección N.

Estos son ejemplos originales para docentes, no material oficial de AQA.

La pregunta

• Una fábrica afirma una tasa de defectos del 10%, y una muestra de 10 tiene 3 defectos. Un estudiante dice: "3 defectos prueban que la tasa es superior al 10%." ¿Cuál es la forma correcta de contrastar esa afirmación?
• Antes de continuar, indique la afirmación por defecto, la alternativa y cuál probabilidad se necesita para evaluar la evidencia.

El método

• Enuncie la hipótesis nula H₀ y la hipótesis alternativa H₁ en términos de parámetros poblacionales ANTES de observar el resultado. Calcule la probabilidad, bajo H₀, de obtener un resultado tan o más extremo que el observado: la probabilidad de la cola.
• Compárelo con el nivel de significancia elegido (como 5%). Si la cola cumple el nivel, rechace H₀; de lo contrario, diga que la evidencia es INSUFICIENTE, nunca que H₀ está demostrada. La significancia estadística no dice nada sobre el TAMAÑO práctico de un efecto.
• Hipótesis nula: La afirmación por defecto sobre un parámetro poblacional, contrastada con la evidencia; hipótesis alternativa: La afirmación aceptada si la evidencia contra H₀ es lo suficientemente fuerte; nivel de significancia: El umbral de probabilidad elegido para rechazar la hipótesis nula.

Verificar su trabajo

• Elija la cola basada en H₁, no en aquella que da un número pequeño: H₁: p > 0.1 requiere P(X ≥ observado), una cola superior. Las pruebas de dos colas duplican la cola cuando la afirmación es "diferente", no "mayor".
• Las hipótesis se refieren al PARÁMETRO (la verdadera tasa de defectos), no a la muestra; y deben fijarse antes de ver los datos, de otro modo la prueba estaría sesgada.

Caso resuelto

• Datos conocidos: H₀: p = 0.1, H₁: p > 0.1, n = 10, y se observaron 3 defectos. Bajo H₀, X ~ binomial(10, 0.1): P(X ≥ 3) = 1 − (0.9¹⁰ + 10 × 0.1 × 0.9⁹ + 45 × 0.01 × 0.9⁸) ≈ 1 − 0.9298 = 0.0702. Al nivel del 5%, 0.0702 > 0.05: evidencia insuficiente para afirmar que la tasa de defectos supera el 10%.

Ejemplo:

Un valor-p unilateral correcto es 0.03 al nivel del 5%. Formule la conclusión siguiendo la misma secuencia: compare con el nivel → concluya en contexto. (Respuesta: 0.03 < 0.05, por lo tanto rechace H₀: la evidencia apoya la afirmación alternativa al nivel del 5%.)

Límites y trampas

• No rechazar H₀ no es prueba de que sea verdadera — la muestra puede ser simplemente demasiado pequeña para detectar una diferencia real. Un nivel del 5% significa que 1 de cada 20 afirmaciones inocentes serán "rechazadas" por azar en muchas pruebas; la significancia no mide importancia.

Advertencia:

No rechazar una hipótesis nula demuestra que es verdadera. Esta afirmación es falsa: la prueba solo mide si la evidencia contra H₀ supera el umbral. Evidencia débil deja H₀ sin demostrar, no confirmada — "evidencia insuficiente" y "demostrado verdadero" son conclusiones completamente distintas.

Clave:

Prueba de hipótesis estadística: enuncie primero H₀ y H₁ en parámetros, calcule la probabilidad de la cola bajo H₀, compárela con el nivel de significancia preestablecido y concluya en contexto — nunca afirme que la nula está demostrada cuando sobrevive.