Inferencia para datos categóricos: chi-cuadrado

AP Estadística · Tema 8

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8.1

¿Son inesperados mis resultados?

Syllabus

Comprensión perdurable (VAR-1): Dado que la variación puede ser aleatoria o no, las conclusiones son inciertas.

Objetivo de aprendizaje VAR-1.J: Identificar preguntas sugeridas por la variación entre los conteos observados y esperados en datos categóricos. [Habilidad 1.A]

VAR-1.J.1 La variación entre lo que encontramos y lo que esperamos encontrar puede ser aleatoria o no.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Cuando los datos son conteos distribuidos entre varias categorías, se prueba si los conteos observados difieren de lo que predice una afirmación. La herramienta es la estadística chi-cuadrado ($\chi^2$), que suma las brechas estandarizadas entre los conteos observados y esperados:

$$\chi^2=\sum \frac{(\text{observed}-\text{expected})^2}{\text{expected}}.$$

Un valor grande de $\chi^2$ indica que los conteos observados están lejos de los esperados, lo cual constituye evidencia en contra de la afirmación. La distribución chi-cuadrado está sesgada hacia la derecha y depende de sus grados de libertad.

8.2

Preparación de una prueba de ajuste (goodness-of-fit)

Syllabus

Comprensión Duradera (VAR-8): La distribución de chi-cuadrada puede utilizarse para modelar la variación.

Objetivo de Aprendizaje VAR-8.A: Describir las distribuciones de chi-cuadrada. [Habilidad 3.C]

VAR-8.A.1 Los conteos esperados de datos categóricos son conteos consistentes con la hipótesis nula. En general, un conteo esperado es el tamaño de la muestra multiplicado por una probabilidad.

La estadística de chi-cuadrada mide la distancia entre los conteos observados y los esperados en relación con los conteos esperados.

Las distribuciones de chi-cuadrada tienen valores positivos y están sesgadas a la derecha. Dentro de una familia de curvas de densidad, el sesgo se vuelve menos pronunciado a medida que aumentan los grados de libertad.

Objetivo de Aprendizaje VAR-8.B: Identificar las hipótesis nula y alternativa en una prueba para una distribución de proporciones en un conjunto de datos categóricos. [Habilidad 1.F]

VAR-8.B.1 Para una prueba de ajuste al cuadrado, la hipótesis nula especifica proporciones nulas para cada categoría, y la hipótesis alternativa es que al menos una de estas proporciones no sea como se especifica en la hipótesis nula.

Objetivo de Aprendizaje VAR-8.C: Identificar un método de prueba apropiado para una distribución de proporciones en un conjunto de datos categóricos. [Habilidad 1.E]

VAR-8.C.1 Al considerar una distribución de proporciones para una variable categórica, la prueba apropiada es la prueba de chi-cuadrada para ajuste al cuadrado.

Objetivo de Aprendizaje VAR-8.D: Calcular conteos esperados para la prueba de ajuste al cuadrado. [Habilidad 3.A]

VAR-8.D.1 Los conteos esperados para una prueba de ajuste al cuadrado son (tamaño de la muestra)(proporción nula).

Objetivo de Aprendizaje VAR-8.E: Verificar las condiciones para realizar inferencias estadísticas al probar el ajuste al cuadrado de una distribución de chi-cuadrada. [Habilidad 4.C]

VAR-8.E.1 Con el fin de realizar inferencias estadísticas para una prueba de ajuste al cuadrado, debemos verificar lo siguiente:
- a. Para verificar la independencia:
  - i. Los datos deben recolectarse utilizando una muestra aleatoria o un experimento aleatorizado.
  - ii. Cuando se muestree sin reemplazo, verifique que $n \leq 10\%N$.
- b. La prueba de ajuste al cuadrado se vuelve más precisa con más observaciones, por lo que deben usarse conteos grandes (forma).
  - i. Una verificación conservadora para conteos grandes es que todos los conteos esperados sean mayores que 5.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

La prueba chi-cuadrado (χ²)

Una prueba de ajuste (GOF) verifica si una variable categórica sigue una distribución afirmada (por ejemplo, «el dado es justo»). Hipótesis:

$$H_0:\text{the distribution is as claimed}\qquad H_a:\text{at least one proportion differs}.$$

Conteo esperado para cada categoría $=n\times(\text{claimed proportion})$. Condiciones: muestra aleatoria, todos los conteos esperados $\ge 5$, y la condición del 10%.

La distribución chi-cuadrado y su región de rechazo de cola derecha — La distribución chi-cuadrado es asimétrica a la derecha. Un estadístico grande se ubica en la cola sombreada a la derecha, más allá del valor crítico – ese es el lugar donde rechazas el modelo.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
chi-square/kaɪ skweə/	卡方	kǎ fāng
degrees of freedom/dɪˈɡriːz ɒv ˈfriːdəm/	自由度	zì yóu dù
goodness-of-fit (GOF)/ˈɡʊdnəs ɒv fɪt/	拟合优度	nǐ hé yōu dù
Test for homogeneity/test fɔː ˈhɒməʊdʒneɪti/	同质性	tóng zhì xìng
Test for independence/test fɔː ˌɪndɪˈpendəns/	独立性	dú lì xìng

8.3

Realización de una prueba de bondad de ajuste

Syllabus

Comprensión Duradera (VAR-8): La distribución chi-cuadrada puede utilizarse para modelar la variación.

Objetivo de Aprendizaje VAR-8.F: Calcular la estadística adecuada para la prueba chi-cuadrada de ajuste a la bondad. [Habilidad 3.E]

VAR-8.F.1 La estadística de prueba para la prueba chi-cuadrada de ajuste a la bondad es
- Ecuación: $\chi^2 = \sum \dfrac{(Observed\ count - Expected\ count)^2}{Expected\ count}$, con $degrees\ of\ freedom = number\ of\ categories - 1$.
VAR-8.F.2 La distribución de la estadística de prueba asumiendo que la hipótesis nula es verdadera (distribución nula) puede ser tanto una distribución de aleatorización como, cuando se asume que un modelo de probabilidad es verdadero, una distribución teórica (chi-cuadrada).

Objetivo de Aprendizaje VAR-8.G: Determinar el valor $p$ para una prueba de significancia de ajuste a la bondad chi-cuadrada. [Habilidad 3.E]

VAR-8.G.1 El valor $p$ para una prueba chi-cuadrada de ajuste a la bondad para un número dado de grados de libertad se encuentra utilizando la tabla correspondiente o la salida generada por computadora.

Comprensión Duradera (DAT-3): Las pruebas de significancia nos permiten tomar decisiones sobre hipótesis dentro de un contexto particular.

Objetivo de Aprendizaje DAT-3.I: Interpretar el valor $p$ para la prueba chi-cuadrada de ajuste a la bondad. [Habilidad 4.B]

DAT-3.I.1 Una interpretación del valor $p$ para la prueba chi-cuadrada de ajuste a la bondad es la probabilidad, dado que la hipótesis nula y el modelo de probabilidad son verdaderos, de obtener una estadística de prueba tan extrema o más que el valor observado.

Objetivo de Aprendizaje DAT-3.J: Justificar una afirmación sobre la población basada en los resultados de una prueba chi-cuadrada de ajuste a la bondad. [Habilidad 4.E]

DAT-3.J.1 La decisión de rechazar o no rechazar la hipótesis nula se basa en la comparación del valor $p$ con el nivel de significancia, $\alpha$.
DAT-3.J.2 Los resultados de una prueba chi-cuadrada de ajuste a la bondad pueden servir como razonamiento estadístico para respaldar la respuesta a una pregunta de investigación sobre la población que fue muestreada.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Calcula $\chi^2=\sum\dfrac{(O-E)^2}{E}$ con $df=(\text{number of categories})-1$. Encuentra el valor-p $p$ de la distribución chi-cuadrado (cola superior), compáralo con $\alpha$, y concluye en contexto. Un componente grande de la suma señala la categoría que más se desvía.

El chi-cuadrado compara las frecuencias observadas con las esperadas bajo la hipótesis nula — La prueba de chi-cuadrado compara los conteos observados con aquellos esperados bajo la hipótesis nula

Ejemplo resuelto. Un dado lanzado $60$ veces produce conteos $8,10,12,9,11,10$. Si es justo, cada conteo esperado es $60/6=10$, por lo que

$$\chi^2=\frac{(8-10)^2}{10}+\frac{(10-10)^2}{10}+\frac{(12-10)^2}{10}+\frac{(9-10)^2}{10}+\frac{(11-10)^2}{10}+\frac{(10-10)^2}{10}=0.4+0+0.4+0.1+0.1+0=1.0,$$

con $df=6-1=5$. Enumere cada categoría, incluidas las dos que coinciden exactamente con su conteo esperado y por lo tanto agregan $0$ – la suma se realiza sobre las seis categorías, y $df$ cuenta categorías, no solo aquellas que difieren. Este $\chi^2$ es pequeño (un valor de $p$ grande), por lo que no rechazamos $H_0$ – no hay evidencia de que el dado sea injusto.

Explorar

Explorar la distribución chi-cuadrado y su valor p

El valor p es el área en la cola derecha más allá de tu estadístico de prueba, por lo que un $\chi^2$ mayor significa un valor p menor. Arrastra $\chi^2$ para observar cómo esa área se reduce, y arrastra df para ver cómo cambia toda la familia de curvas — fuertemente sesgada a la derecha con pocos grados de libertad, más simétrica a medida que aumentan los grados de libertad.

8.4

Conteos Esperados en Tablas de Dos Vías

Syllabus

Comprensión Duradera (VAR-8): La distribución chi-cuadrado puede utilizarse para modelar la variación.

Objetivo de Aprendizaje VAR-8.H: Calcular los recuentos esperados para tablas de contingencia de datos categóricos. [Habilidad 3.A]

VAR-8.H.1 El recuento esperado en una celda particular de una tabla de contingencia de datos categóricos se puede calcular utilizando la fórmula:
- Ecuación: $expected\ count = \dfrac{(row\ total)(column\ total)}{table\ total}$.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Para una tabla de doble entrada, el conteo esperado en una celda (bajo "sin asociación") es

$$E=\frac{(\text{row total})\times(\text{column total})}{\text{grand total}}.$$

Este es el conteo que se observaría si las variables de fila y columna fueran independientes.

Ejemplo resuelto. En una tabla de doble entrada, la suma total de la fila de una celda es $40$, su suma total de columna es $50$ y el total general es $200$. Su recuento esperado es $E=\dfrac{40\times50}{200}=10$. Repitiendo este cálculo para cada celda se obtiene la tabla esperada que se compara con la observada.

Una hoja de cálculo organiza las frecuencias categóricas antes de una prueba chi-cuadrado — Una hoja de cálculo organiza los conteos categóricos antes de realizar una prueba chi-cuadrado

8.5

¿Homogeneidad o Independencia?

Syllabus

Comprensión Duradera (VAR-8): La distribución chi-cuadrada puede utilizarse para modelar la variación.

Objetivo de Aprendizaje VAR-8.I: Identificar las hipótesis nula y alternativa para una prueba chi-cuadrada de homogeneidad o independencia. [Habilidad 1.F]

VAR-8.I.1 Las hipótesis adecuadas para una prueba chi-cuadrada de homogeneidad son:

$H_0$: No hay diferencia en las distribuciones de una variable categórica entre poblaciones o tratamientos.

$H_a$: Hay una diferencia en las distribuciones de una variable categórica entre poblaciones o tratamientos.
VAR-8.I.2 Las hipótesis adecuadas para una prueba chi-cuadrada de independencia son:

$H_0$: No existe asociación entre dos variables categóricas en una población dada, o las dos variables categóricas son independientes.

$H_a$: Dos variables categóricas en una población están asociadas o son dependientes.

Objetivo de Aprendizaje VAR-8.J: Identificar un método de prueba adecuado para comparar distribuciones en tablas de contingencia de datos categóricos. [Habilidad 1.E]

VAR-8.J.1 Al comparar distribuciones para determinar si las proporciones en cada categoría de los datos categóricos recolectados de diferentes poblaciones son iguales, la prueba adecuada es la prueba chi-cuadrada de homogeneidad.
VAR-8.J.2 Para determinar si las variables de fila y columna en una tabla de contingencia de datos categóricos podrían estar asociadas en la población de la que se tomaron las muestras, la prueba adecuada es la prueba chi-cuadrada de independencia.

Objetivo de Aprendizaje VAR-8.K: Verificar las condiciones para realizar inferencias estadísticas al probar una distribución chi-cuadrada de independencia u homogeneidad. [Habilidad 4.C]

VAR-8.K.1 Con el fin de realizar inferencias estadísticas para una prueba chi-cuadrada de tablas de contingencia (homogeneidad o independencia), debemos verificar lo siguiente:
- a. Para verificar la independencia:
  - i. Para una prueba de independencia: Los datos deben recolectarse mediante una muestra aleatoria simple.
  - ii. Para una prueba de homogeneidad: Los datos deben recolectarse mediante una muestra aleatoria estratificada o un experimento aleatorizado.
  - iii. Cuando se muestree sin reemplazo, verifique que $n \leq 10\%N$.
- b. Las pruebas chi-cuadrada de independencia y homogeneidad se vuelven más precisas con más observaciones, por lo que se deben utilizar conteos grandes (forma).
  - i. Una verificación conservadora de conteos grandes es que todos los conteos esperados sean mayores que 5.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Dos pruebas utilizan la misma matemática $\chi^2$ pero responden a preguntas diferentes:

Prueba de homogeneidad 同质性: ¿son las distribuciones de una variable categórica iguales en varias poblaciones o grupos (muestras/tratamientos separados)?
Prueba de independencia 独立性: ¿están asociadas dos variables categóricas dentro de una única población (una sola muestra, dos variables medidas)?

El diseño (varias muestras frente a una sola muestra) determina qué nombre e hipótesis utilizar.

8.6

Realización de una Prueba de Homogeneidad o Independencia

Syllabus

Comprensión duradera (VAR-8): La distribución chi-cuadrada puede utilizarse para modelar la variación.

Objetivo de aprendizaje VAR-8.L: Calcular el estadístico apropiado para una prueba chi-cuadrada de homogeneidad o independencia. [Habilidad 3.E]

VAR-8.L.1 El estadístico de prueba apropiado para una prueba chi-cuadrada de homogeneidad o independencia es el estadístico chi-cuadrada:
- Ecuación: $\chi^2 = \sum \dfrac{(Observed\ count - Expected\ count)^2}{Expected\ count}$, con grados de libertad iguales a: $(number\ of\ rows - 1)(number\ of\ columns - 1)$.

Objetivo de aprendizaje VAR-8.M: Determinar el valor $p$ para una prueba de significancia chi-cuadrada de independencia o homogeneidad. [Habilidad 3.E]

VAR-8.M.1 El valor $p$ para una prueba chi-cuadrada de independencia o homogeneidad para un número dado de grados de libertad se encuentra utilizando la tabla o tecnología adecuada.
VAR-8.M.2 Para una prueba de independencia o homogeneidad en una tabla de contingencia, el valor $p$ es la proporción de valores en una distribución chi-cuadrada con los grados de libertad adecuados que son iguales o mayores que el estadístico de prueba.

Comprensión duradera (DAT-3): Las pruebas de significancia permiten tomar decisiones sobre hipótesis dentro de un contexto particular.

Objetivo de aprendizaje DAT-3.K: Interpretar el valor $p$ para la prueba chi-cuadrada de homogeneidad o independencia. [Habilidad 4.B]

DAT-3.K.1 Una interpretación del valor $p$ para la prueba chi-cuadrada de homogeneidad o independencia es la probabilidad, asumiendo que la hipótesis nula y el modelo de probabilidad son verdaderos, de obtener un estadístico de prueba tan extremo o más extremo que el valor observado.

Objetivo de aprendizaje DAT-3.L: Justificar una afirmación sobre la población basándose en los resultados de una prueba chi-cuadrada de homogeneidad o independencia. [Habilidad 4.E]

DAT-3.L.1 La decisión de rechazar o no rechazar la hipótesis nula para una prueba chi-cuadrada de homogeneidad o independencia se basa en la comparación del valor $p$ con el nivel de significancia, $\alpha$.
DAT-3.L.2 Los resultados de una prueba chi-cuadrada de homogeneidad o independencia pueden servir como razonamiento estadístico para respaldar la respuesta a una pregunta de investigación sobre la población que fue muestreada (independencia) o las poblaciones que fueron muestreadas (homogeneidad).

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Calcule los recuentos esperados y, a continuación, $\chi^2=\sum\dfrac{(O-E)^2}{E}$ sobre todas las celdas, con

$$df=(\text{rows}-1)(\text{columns}-1).$$

Condiciones: datos aleatorios, todos los conteos esperados $\ge 5$, condición del 10%. Encuentre el valor-p $p$, compárelo con $\alpha$ y concluya en contexto – evidencia de una diferencia entre grupos (homogeneidad) o de una asociación (independencia).

8.7

Elegir el Procedimiento Categórico Correcto

Syllabus

Este tema tiene como objetivo centrarse en la habilidad de seleccionar un procedimiento de inferencia adecuado, una vez que los estudiantes han adquirido un abanico de opciones. Se debe brindar a los estudiantes oportunidades para practicar cuándo y cómo aplicar todos los objetivos de aprendizaje relacionados con la inferencia para datos categóricos.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Decida según el diseño: una variable categórica frente a una distribución postulada $\Rightarrow$ ajuste-bond; una muestra cruzada por dos variables $\Rightarrow$ independencia; varias muestras/grupos en comparación $\Rightarrow$ homogeneidad. Comparar solo dos proporciones puede usar una prueba de dos proporciones $z$ o una prueba chi-cuadrado, pero solo para una alternativa de dos colas, donde coinciden exactamente ($\chi^2=z^2$). Una prueba chi-cuadrado es siempre de dos colas, por lo que no puede dar una conclusión direccional: si $H_a$ es de una cola (por ejemplo, $p_1>p_2$), use la prueba de dos proporciones $z$.

Explorar

¿Cuál es esta prueba chi-cuadrado?

Las tres pruebas utilizan la misma aritmética $\chi^2$, por lo que los puntos se ganan nombrando la correcta. El diseño decide: cuántas muestras se tomaron y cuántas variables se midieron en cada unidad.

8.7

Consejos para el examen

Use $\chi^2=\sum\tfrac{(O-E)^2}{E}$ para datos categóricos; divida siempre por el recuento esperado.
Elija la prueba correcta: ajuste-bond (una variable), independencia o homogeneidad (tabla bidireccional).
Calcule los recuentos esperados como $\tfrac{\text{row total}\times\text{column total}}{\text{grand total}}$ y verifique que cada uno sea $\ge5$.
Un $\chi^2$ grande (p-valor pequeño) significa que los recuentos observados difieren de los esperados más allá del azar.
Especifique correctamente los grados de libertad (categorías $-1$, o $(r-1)(c-1)$).

Lecciones interactivas sobre este tema

Trátalo paso a paso, con ejercicios de verificación instantánea.

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