Probabilidad, variables aleatorias y distribuciones de probabilidad

AP Estadística · Tema 4

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4.1

Patrones Aleatorios y No Aleatorios

Syllabus

Comprensión duradera (VAR-1): Dado que la variación puede ser aleatoria o no, las conclusiones son inciertas.

Objetivo de aprendizaje VAR-1.F: Identificar preguntas sugeridas por los patrones en los datos. [Habilidad 1.A]

VAR-1.F.1 Los patrones en los datos no necesariamente significan que la variación no sea aleatoria.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Algo es aleatorio (random) si los resultados individuales son inciertos, pero emerge un patrón regular tras muchas repeticiones. Los resultados a corto plazo parecen erráticos; las frecuencias relativas a largo plazo se estabilizan. Esta estabilidad a largo plazo es lo que hace útil la probabilidad.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
random/ˈrændəm/	随机	suí jī
simulation/ˌsɪmjʊˈleɪʃn/	模拟	mó nǐ

4.2

Estimación de Probabilidades Mediante Simulación

Syllabus

Comprensión duradera (UNC-2): La simulación nos permite anticipar patrones en los datos.

Objetivo de aprendizaje UNC-2.A: Estimar probabilidades usando simulación. [Habilidad 3.A]

UNC-2.A.1 Un proceso aleatorio genera resultados que son determinados por el azar.
UNC-2.A.2 Un resultado es el producto de una prueba de un proceso aleatorio.
UNC-2.A.3 Un evento es una colección de resultados.
UNC-2.A.4 La simulación es una forma de modelar eventos aleatorios, de modo que los resultados simulados coincidan estrechamente con los resultados del mundo real. Todos los resultados posibles se asocian con un valor a determinar por azar. Registre las frecuencias de los resultados simulados y la frecuencia total.
UNC-2.A.5 La frecuencia relativa de un resultado o evento en datos simulados o empíricos puede usarse para estimar la probabilidad de ese resultado o evento.
UNC-2.A.6 La ley de los grandes números establece que las probabilidades simuladas (empíricas) tienden a acercarse a la probabilidad verdadera a medida que aumenta el número de pruebas.
- Ejemplos ilustrativos para UNC-2.A:
  - Un resultado: Obtener un valor específico al lanzar un dado de seis caras es uno de los seis resultados posibles.
  - Un evento: Al lanzar dos dados de seis caras, un evento sería obtener una suma de siete. La colección correspondiente de resultados sería $(1, 6)$, $(2, 5)$, $(3, 4)$, $(4, 3)$, $(5, 2)$ y $(6, 1)$, donde los pares ordenados indican (el valor de la cara en un dado, el valor de la cara en el otro dado).

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Una simulación imita un proceso al azar utilizando dígitos aleatorios o tecnología. Pasos: plantear el modelo, asignar dígitos a los resultados, realizar muchas repeticiones y registrar la proporción de repeticiones que cumplen la condición. La proporción resultante estima la probabilidad; más repeticiones dan una mejor estimación.

4.3

Introducción a la Probabilidad

Syllabus

Comprensión duradera (VAR-4): La probabilidad de un evento aleatorio puede cuantificarse.

Objetivo de aprendizaje VAR-4.A: Calcular probabilidades de eventos y sus complementos. [Habilidad 3.A]

VAR-4.A.1 El espacio muestral de un proceso aleatorio es el conjunto de todos los resultados posibles no superpuestos.
VAR-4.A.2 Si todos los resultados en el espacio muestral son igualmente probables, entonces la probabilidad de que ocurra un evento E se define como la fracción: $\dfrac{\text{number of outcomes in event E}}{\text{total number of outcomes in sample space}}$
VAR-4.A.3 La probabilidad de un evento es un número entre 0 y 1, inclusive.
VAR-4.A.4 La probabilidad del complemento de un evento E, $E'$ o $E^{C}$ (es decir, no E), es igual a $1 - P(E)$.

Objetivo de aprendizaje VAR-4.B: Interpretar probabilidades de eventos. [Habilidad 4.B]

VAR-4.B.1 Las probabilidades de eventos en situaciones repetibles pueden interpretarse como la frecuencia relativa con la que el evento ocurrirá a largo plazo.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

La probabilidad de un evento es un número entre $0$ y $1$ que indica su frecuencia relativa a largo plazo. El espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles. Para un evento $A$, la regla del complemento: $P(A^c)=1-P(A)$. Las probabilidades de todos los resultados suman $1$.

La probabilidad va desde 0 (imposible) hasta 1 (cierto)

Los cuatro ases de una baraja de cartas — Una baraja de cartas es una fuente clásica de probabilidad: 52 resultados igualmente probables facilitan el conteo de las posibilidades

Explorar

Explorar la probabilidad con dados

Probabilidad es la fracción a largo plazo de veces que ocurre un resultado. Lanza el dado muchas veces y observa cómo las proporciones experimentales se estabilizan hacia los valores teóricos.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
probability/ˌprɒbəˈbɪlɪti/	概率	gài lǜ
complement/ˈkɒmplɪmənt/	补	bǔ

4.4

Eventos Mutuamente Excluyentes

Syllabus

Comprensión perdurable (VAR-4): La probabilidad de un evento aleatorio puede cuantificarse.

Objetivo de aprendizaje VAR-4.C: Explicar por qué dos eventos son (o no son) mutuamente excluyentes. [Habilidad 4.B]

VAR-4.C.1: La probabilidad de que los eventos $A$ y $B$ ocurran ambos, a veces llamada probabilidad conjunta, es la probabilidad de la intersección de $A$ y $B$, denotada como $P(A \cap B)$.
VAR-4.C.2: Dos eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos si no pueden ocurrir al mismo tiempo. Por lo tanto, $P(A \cap B) = 0$.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Dos eventos son mutuamente excluyentes (disjuntos) si no pueden ocurrir ambos. Entonces la regla de adición se simplifica:

$$P(A\text{ or }B)=P(A)+P(B)\quad(\text{if mutually exclusive}).$$

En general, $P(A\text{ or }B)=P(A)+P(B)-P(A\text{ and }B)$ — se resta la intersección para no contarla dos veces.

Un diagrama de Venn: la superposición es la intersección de dos eventos

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
mutually exclusive/ˈmjuːtʃuːəli eksˈkluːsɪv/	互斥	hù chì

4.5

Probabilidad Condicional

Syllabus

Comprensión Duradera (VAR-4): La probabilidad de un evento aleatorio puede cuantificarse.

Objetivo de Aprendizaje VAR-4.D: Calcular probabilidades condicionales. [Habilidad 3.A]

VAR-4.D.1 La probabilidad de que el evento $A$ ocurra dado que el evento $B$ ha ocurrido se denomina probabilidad condicional y se denota como $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
VAR-4.D.2 La regla de la multiplicación establece que la probabilidad de que los eventos $A$ y $B$ ocurran simultáneamente es igual a la probabilidad de que ocurra el evento $A$ multiplicada por la probabilidad de que ocurra el evento $B$, dado que $A$ ha ocurrido. Esto se denota como $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Probabilidad condicional

La probabilidad condicional de $A$ dado $B$ es

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\text{ and }B)}{P(B)}.$$

Es la probabilidad de $A$ una vez que se sabe que ocurrió $B$. Las tablas de doble entrada facilitan esto: restríngase a la fila/columna correspondiente a $B$, luego encuentre la participación de $A$.

En un diagrama de árbol, multiplique las probabilidades a lo largo de las ramas

Explorar

Actualizar una probabilidad con nueva información

La probabilidad condicional $P(B\mid A)$ es la probabilidad de $B$ una vez que sabes que ocurrió $A$. Cambia las probabilidades de rama y observa cómo la condicionamiento remodela el resultado.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
conditional probability/kənˈdɪʃənl ˌprɒbəˈbɪlɪti/	条件概率	tiáo jiàn gài lǜ

4.6

Eventos Independientes y Uniones de Eventos

Syllabus

Comprensión Duradera (VAR-4): La probabilidad de un evento aleatorio puede cuantificarse.

Objetivo de Aprendizaje VAR-4.E: Calcular probabilidades para eventos independientes y para la unión de dos eventos. [Habilidad 3.A]

VAR-4.E.1 Los eventos $A$ y $B$ son independientes si, y solo si, saber si el evento $A$ ha ocurrido (o ocurrirá) no cambia la probabilidad de que el evento $B$ ocurra.
VAR-4.E.2 Si, y solo si, los eventos $A$ y $B$ son independientes, entonces $P(A \mid B) = P(A)$, $P(B \mid A) = P(B)$, y $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
VAR-4.E.3 La probabilidad de que ocurra el evento $A$ o el evento $B$ (o ambos) es la probabilidad de la unión de $A$ y $B$, denotada como $P(A \cup B)$.
VAR-4.E.4 La regla de la suma establece que la probabilidad de que ocurra el evento $A$ o el evento $B$ o ambos es igual a la probabilidad de que ocurra el evento $A$ más la probabilidad de que ocurra el evento $B$ menos la probabilidad de que ocurran ambos eventos $A$ y $B$. Esto se denota como $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Los eventos son independientes si conocer uno no cambia la probabilidad del otro: $P(A\mid B)=P(A)$. Entonces la regla de multiplicación se simplifica:

$$P(A\text{ and }B)=P(A)\,P(B)\quad(\text{if independent}).$$

Independiente no es lo mismo que mutuamente excluyente; los eventos mutuamente excluyentes con probabilidad distinta de cero son en realidad dependientes (si ocurre uno, el otro no puede ocurrir).

Un diagrama del espacio muestral lista cada resultado equally probable — Un diagrama del espacio muestral lista cada resultado igualmente probable

Explorar

Combinar eventos con un diagrama de Venn

Para una unión $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ — restas la superposición para que no se cuente dos veces. Cambia la operación para ver iluminarse cada región.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
sample space/ˈsæmpl speɪs/	样本空间	yàng běn kōng jiān
independent/ˌɪndɪˈpendənt/	独立	dú lì
random variable/ˈrændəm ˈveərɪəbl/	随机变量	suí jī biàn liàng
probability distribution/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/	概率分布	gài lǜ fēn bù
mean (expected value)/miːn/	期望值	qī wàng zhí

4.7

Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad

Syllabus

Comprensión duradera (VAR-5): Las distribuciones de probabilidad pueden utilizarse para modelar la variación en poblaciones.

Objetivo de aprendizaje VAR-5.A: Representar la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta. [Habilidad 2.B]

VAR-5.A.1 Los valores de una variable aleatoria son los resultados numéricos del comportamiento aleatorio.
VAR-5.A.2 Una variable aleatoria discreta es aquella que solo puede tomar un número contable de valores. A cada valor se le asocia una probabilidad. La suma de las probabilidades sobre todos los valores posibles debe ser igual a 1.
VAR-5.A.3 Una distribución de probabilidad puede representarse como un gráfico, tabla o función que muestra las probabilidades asociadas con los valores de una variable aleatoria.
VAR-5.A.4 Una distribución de probabilidad acumulada puede representarse como una tabla o función que muestra la probabilidad de ser menor o igual a cada valor de la variable aleatoria.
- Ejemplos ilustrativos para VAR-5.A: Resultados de ensayos de un proceso aleatorio:
  - La suma de los resultados al lanzar dos dados
  - El número de cachorros en una camada seleccionada al azar de una raza canina determinada

Objetivo de aprendizaje VAR-5.B: Interpretar una distribución de probabilidad. [Habilidad 4.B]

VAR-5.B.1 La interpretación de una distribución de probabilidad proporciona información sobre la forma, el centro y la dispersión de una población y permite extraer conclusiones sobre la población de interés.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Una variable aleatoria asigna un número a cada resultado de un proceso al azar. Una distribución de probabilidad lista cada valor posible con su probabilidad (suman $1$). Una distribución puede ser discreta (una tabla de valores) o continua (un modelo de área bajo una curva como la normal).

4.8

Media y Desviación Estándar de Variables Aleatorias

Syllabus

Comprensión Duradera (VAR-5): Las distribuciones de probabilidad pueden utilizarse para modelar la variación en poblaciones.

Objetivo de Aprendizaje VAR-5.C: Calcular parámetros de una variable aleatoria discreta. [Habilidad 3.B]

VAR-5.C.1 Un valor numérico que mide una característica de una población o de la distribución de una variable aleatoria se conoce como parámetro, el cual es un único valor fijo.
VAR-5.C.2 La media, o valor esperado, de una variable aleatoria discreta $X$ es $\mu_X = \sum x_i \cdot P(x_i)$.
VAR-5.C.3 La desviación estándar de una variable aleatoria discreta $X$ es $\sigma_X = \sqrt{\sum (x_i - \mu_x)^2 \cdot P(x_i)}$.

Objetivo de Aprendizaje VAR-5.D: Interpretar parámetros de una variable aleatoria discreta. [Habilidad 4.B]

VAR-5.D.1 Los parámetros de una variable aleatoria discreta deben interpretarse utilizando unidades apropiadas y dentro del contexto de una población específica.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

La media (valor esperado) de una variable aleatoria discreta es el promedio ponderado por la probabilidad:

$$\mu_X=E(X)=\sum x_i\,P(x_i).$$

La desviación estándar $\sigma_X=\sqrt{\sum (x_i-\mu_X)^2\,P(x_i)}$ mide la dispersión típica respecto a la media. El valor esperado es el promedio a largo plazo, no un valor que se espera en cualquier ensayo individual.

Ejemplo resuelto. Un juego paga $\$5$ with probability $0.2$ and costs you $\$1$ (un resultado de $-1$) con probabilidad $0.8$. El valor esperado es

$$E(X)=5(0.2)+(-1)(0.8)=1-0.8=\$0.20,$$

por lo que, a lo largo de muchos juegos, gana aproximadamente $20$ centavos por juego en promedio, aunque ningún juego individual dé exactamente esa cantidad.

4.9

Combinación de Variables Aleatorias

Syllabus

Comprensión perdurable (VAR-5): Las distribuciones de probabilidad pueden utilizarse para modelar la variación en las poblaciones.

Objetivo de aprendizaje VAR-5.E: Calcular parámetros para combinaciones lineales de variables aleatorias. [Habilidad 3.B]

VAR-5.E.1 Para las variables aleatorias $X$ e $Y$ y los números reales $a$ y $b$, la media de $aX + bY$ es $a\mu_x + b\mu_y$.
VAR-5.E.2 Dos variables aleatorias son independientes si conocer información sobre una de ellas no cambia la distribución de probabilidad de la otra.
VAR-5.E.3 Para variables aleatorias independientes $X$ e $Y$ y números reales $a$ y $b$, la media de $aX + bY$ es $a\mu_x + b\mu_y$, y la varianza de $aX + bY$ es $a^2\sigma^2_x + b^2\sigma^2_y$.

Objetivo de aprendizaje VAR-5.F: Describir los efectos de las transformaciones lineales de los parámetros de las variables aleatorias. [Habilidad 3.C]

VAR-5.F.1 Para $Y = a + bX$, la distribución de probabilidad de la variable aleatoria transformada, $Y$, tiene la misma forma que la distribución de probabilidad de $X$, siempre que $a > 0$ y $b > 0$. La media de $Y$ es $\mu_y = a + b\mu_x$. La desviación estándar de $Y$ es $\sigma_y = |b|\sigma_x$.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Cuando suma o resta variables aleatorias, las medias se suman: $\mu_{X\pm Y}=\mu_X\pm\mu_Y$. Si $X$ e $Y$ son independientes, las varianzas se suman (incluso cuando se restan):

$$\sigma^2_{X\pm Y}=\sigma^2_X+\sigma^2_Y.$$

Tome la raíz cuadrada para obtener la desviación estándar. Además, para escalados: $\mu_{aX+b}=a\mu_X+b$ y $\sigma_{aX+b}=|a|\sigma_X$.

4.10

Introducción a la Distribución Binomial

Syllabus

Comprensión Duradera (UNC-3): El razonamiento probabilístico nos permite anticipar patrones en los datos.

Objetivo de Aprendizaje UNC-3.A: Estimar probabilidades de variables aleatorias binomiales utilizando datos de una simulación. [Habilidad 3.A]

UNC-3.A.1 Una distribución de probabilidad puede construirse mediante las reglas de la probabilidad o estimarse mediante una simulación usando generadores de números aleatorios.
UNC-3.A.2 Una variable aleatoria binomial, $X$, cuenta el número de éxitos en $n$ ensayos independientes repetidos; cada ensayo tiene dos resultados posibles (éxito o fracaso), con probabilidad de éxito $p$ y probabilidad de fracaso $1 - p$.

Objetivo de Aprendizaje UNC-3.B: Calcular probabilidades para una distribución binomial. [Habilidad 3.A]

UNC-3.B.1 La probabilidad de que una variable aleatoria binomial, $X$, tenga exactamente $x$ éxitos en $n$ ensayos independientes, cuando la probabilidad de éxito es $p$, se calcula como $P(X = x) = \binom{n}{x} p^x (1 - p)^{n-x}, x = 0, 1, 2, \ldots, n$. Esta es la función de probabilidad binomial.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

La distribución binomial

Un escenario binomial (BINS): un número fijo $n$ de ensayos independientes, cada uno con dos resultados (éxito/fallo) y la misma probabilidad de éxito $p$. La variable aleatoria $X=$ número de éxitos. Su probabilidad:

$$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}.$$

La distribución binomial, con media n por p

Explorar

Formar una distribución binomial

Una distribución binomial cuenta los éxitos en $n$ ensayos independientes, cada uno con probabilidad $p$. Cambia $n$ y $p$ y observa cómo cambian y se expanden las barras.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
binomial/baɪˈnəʊmɪəl/	二项	èr xiàng
geometric/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk/	几何	jǐ hé

4.11

Parámetros de una Distribución Binomial

Syllabus

Comprensión perdurable (UNC-3): El razonamiento probabilístico nos permite anticipar patrones en los datos.

Objetivo de aprendizaje UNC-3.C: Calcular parámetros de una distribución binomial. [Habilidad 3.B]

UNC-3.C.1 Si una variable aleatoria es binomial, su media, $\mu_x$, es $np$ y su desviación estándar, $\sigma_x$, es $\sqrt{np(1 - p)}$.

Objetivo de aprendizaje UNC-3.D: Interpretar probabilidades y parámetros de una distribución binomial. [Habilidad 4.B]

UNC-3.D.1 Las probabilidades y parámetros de una distribución binomial deben interpretarse utilizando unidades apropiadas y dentro del contexto de una población o situación específica.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Para una binomial $X$ con $n$ ensayos y probabilidad de éxito $p$:

$$\mu_X=np,\qquad \sigma_X=\sqrt{np(1-p)}.$$

Use estos para preguntas sobre "cuántos éxitos esperamos y cuánto varían".

Ejemplo resuelto. Un jugador acierta el $70\%$ de los tiros libres. En $n=10$ tiros, la probabilidad de acertar exactamente $8$ es

$$P(X=8)=\binom{10}{8}(0.7)^8(0.3)^2=45\times0.0576\times0.09\approx0.23,$$

y el número esperado de aciertos es $\mu=np=10(0.7)=7$, con $\sigma=\sqrt{10(0.7)(0.3)}\approx1.45$.

4.12

La Distribución Geométrica

Syllabus

Comprensión Duradera (UNC-3): El razonamiento probabilístico nos permite anticipar patrones en los datos.

Objetivo de Aprendizaje UNC-3.E: Calcular probabilidades para variables aleatorias geométricas. [Habilidad 3.A]

UNC-3.E.1 Para una secuencia de ensayos independientes, una variable aleatoria geométrica, $X$, indica el número del ensayo en que ocurre el primer éxito. Cada ensayo tiene dos resultados posibles (éxito o fracaso) con la probabilidad de éxito $p$ y la probabilidad de fracaso $1 - p$.
UNC-3.E.2 La probabilidad de que el primer éxito en ensayos independientes repetidos con probabilidad de éxito $p$ ocurra en el ensayo $x$ se calcula como $P(X = x) = (1 - p)^{x-1} p, x = 1, 2, 3, \ldots$. Esta es la función de probabilidad geométrica.

Objetivo de Aprendizaje UNC-3.F: Calcular parámetros de una distribución geométrica. [Habilidad 3.B]

UNC-3.F.1 Si una variable aleatoria es geométrica, su media, $\mu_x$, es $\dfrac{1}{p}$ y su desviación estándar, $\sigma_x$, es $\dfrac{\sqrt{(1 - p)}}{p}$.

Objetivo de Aprendizaje UNC-3.G: Interpretar probabilidades y parámetros para una distribución geométrica. [Habilidad 4.B]

UNC-3.G.1 Las probabilidades y parámetros de una distribución geométrica deben interpretarse utilizando unidades apropiadas y dentro del contexto de una población o situación específica.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Un escenario geométrico es igual al binomial pero sin un $n$ fijo: sigue intentando hasta obtener el primer éxito. La variable aleatoria $Y=$ el ensayo del primer éxito:

$$P(Y=k)=(1-p)^{k-1}\,p,\qquad \mu_Y=\frac{1}{p}.$$

Por lo tanto, el número esperado de ensayos hasta el primer éxito es $1/p$.

4.12

Consejos para el examen

Una probabilidad está en $[0,1]$; use el complemento ($1-P$) y sume eventos mutuamente excluyentes.
Para eventos independientes multiplique; para "y/o" use la regla de adición general y las reglas condicionales.
Valor esperado = $\sum(\text{value}\times\text{probability})$.
Reconozca escenarios binomiales ($n$ fijo, dos resultados, $p$ constante) y geométricos.
Dibuje un diagrama de árbol o una tabla para problemas de múltiples etapas y multiplique a lo largo de las ramas.

Lecciones interactivas sobre este tema

Trátalo paso a paso, con ejercicios de verificación instantánea.

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