Distribuciones muestrales

AP Estadística · Tema 5

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5.1

Por qué dos muestras nunca coinciden: Variabilidad muestral

Syllabus

Comprensión duradera (VAR-1): Dado que la variación puede ser aleatoria o no, las conclusiones son inciertas.

Objetivo de aprendizaje VAR-1.G: Identificar preguntas sugeridas por la variación en estadísticas para muestras recolectadas de la misma población. [Habilidad 1.A]

VAR-1.G.1 La variación en estadísticas para muestras tomadas de la misma población puede ser aleatoria o no.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Un estadístico (como la media muestral $\bar{x}$ o la proporción muestral $\hat{p}$) se calcula a partir de una muestra y varía de una muestra a otra; esto es la variabilidad muestral. Un parámetro ($\mu$ o $p$) es la verdad fija sobre la población. La distribución muestral es la distribución de un estadístico sobre todas las muestras posibles de un tamaño dado; es el puente entre una muestra y la inferencia.

5.2

La curva normal como modelo para un estadístico

Syllabus

Comprensión Duradera (VAR-6): La distribución normal puede utilizarse para modelar la variación.

Objetivo de Aprendizaje VAR-6.A: Calcular la probabilidad de que un valor particular se encuentre en un intervalo dado de una distribución normal. [Habilidad 3.A]

VAR-6.A.1 Una variable aleatoria continua es una variable que puede tomar cualquier valor dentro de un dominio especificado. A cada intervalo dentro del dominio le está asociada una probabilidad.
VAR-6.A.2 Una variable aleatoria continua con una distribución normal se utiliza comúnmente para describir poblaciones. La distribución de una variable aleatoria normal puede describirse mediante una curva normal o de forma de "campana".
VAR-6.A.3 El área bajo una curva normal sobre un intervalo dado representa la probabilidad de que un valor particular se encuentre en ese intervalo.
- Ejemplos ilustrativos para VAR-6.A: Variable aleatoria continua: Si se observa un reloj en un momento al azar, la probabilidad de que el minutero esté entre las 3 y las 6 es un cuarto.

Objetivo de Aprendizaje VAR-6.B: Determinar el intervalo asociado a un área dada en una distribución normal. [Habilidad 3.A]

VAR-6.B.1 Los límites de un intervalo asociado a un área dada en una distribución normal pueden determinarse utilizando puntuaciones $z$ o tecnología, como una calculadora, una tabla de la normal estándar o una salida generada por computadora.
VAR-6.B.2 Los intervalos asociados a un área dada en una distribución normal pueden determinarse asignando desigualdades apropiadas a los límites de los intervalos:
- a. $P(X < x_a) = \dfrac{p}{100}$ significa que el $p\%$ más bajo de valores se encuentra a la izquierda de $x_a$.
- b. $P(x_a < X < x_b) = \dfrac{p}{100}$ significa que el $p\%$ de valores se encuentra entre $x_a$ y $x_b$.
- c. $P(X > x_b) = \dfrac{p}{100}$ significa que el $p\%$ más alto de valores se encuentra a la derecha de $x_b$.
- d. Para determinar el $p\%$ más extremo de valores requiere dividir el área asociada con el $p\%$ en dos áreas iguales en cada extremo de la distribución: $P(X < x_a) = \dfrac{1}{2}\dfrac{p}{100}$ y $P(X > x_b) = \dfrac{1}{2}\dfrac{p}{100}$ significan que la mitad de los valores más extremos del $p\%$ se encuentran a la izquierda de $x_a$ y la mitad de los valores más extremos del $p\%$ se encuentran a la derecha de $x_b$.

Objetivo de Aprendizaje VAR-6.C: Determinar la conveniencia de utilizar la distribución normal para aproximar probabilidades de distribuciones desconocidas. [Habilidad 3.C]

VAR-6.C.1 Las distribuciones normales son simétricas y tienen forma de "campana". Como resultado, las distribuciones normales pueden utilizarse para aproximar distribuciones con características similares.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

La distribución normal

Para muestras lo suficientemente grandes, muchas distribuciones muestrales son aproximadamente normales. Esto nos permite describir un estadístico mediante su centro (su media), su dispersión (su error estándar) y su forma normal, y luego calcular la probabilidad de obtener un resultado muestral dado.

Explorar

Usar la curva normal para encontrar una proporción

Un modelo normal convierte un rango de valores en un área, que equivale a una proporción. Sombree una banda para leer la fracción de muestras que caen dentro de ella (la regla 68-95-99.7).

5.3

El Teorema del Límite Central

Syllabus

Comprensión Duradera (UNC-3): El razonamiento probabilístico nos permite anticipar patrones en los datos.

Objetivo de Aprendizaje UNC-3.H: Estimar distribuciones muestrales mediante simulación. [Habilidad 3.C]

UNC-3.H.1 Una distribución muestral de una estadística es la distribución de valores para esa estadística para todas las muestras posibles de un tamaño dado extraídas de una población dada.
UNC-3.H.2 El teorema del límite central (TLC) establece que cuando el tamaño de la muestra es suficientemente grande, una distribución muestral de la media de una variable aleatoria estará aproximadamente distribuida de forma normal.
UNC-3.H.3 El teorema del límite central requiere que los valores de la muestra sean independientes entre sí y que $n$ sea suficientemente grande.
UNC-3.H.4 Una distribución de randomización es un conjunto de estadísticas generadas por simulación asumiendo valores conocidos para los parámetros. Para un experimento aleatorizado, esto significa reasignar/reasignar aleatoriamente los valores de respuesta a los grupos de tratamiento repetidamente.
UNC-3.H.5 La distribución muestral de una estadística puede ser simulada generando muestras aleatorias repetidas de una población.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

El Teorema del Límite Central

El Teorema del Límite Central (TLC): para una media muestral, si el tamaño de la muestra $n$ es lo suficientemente grande (una regla común es $n\ge 30$), la distribución muestral de $\bar{x}$ es aproximadamente normal, sin importar la forma de la población. Cuanto mayor sea $n$, más normal será la distribución y más ajustada estará.

La media muestral es casi normal independientemente de la forma de la población

Explorar

Observar cómo una distribución muestral se vuelve normal

El Teorema del Límite Central: para una muestra lo suficientemente grande, la distribución de la media muestral es aproximadamente normal, independientemente de la forma de la población.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
statistic/stəˈtɪstɪk/	统计量	tǒng jì liàng
sampling variability/ˈsæmplɪŋ ˌveərɪəˈbɪlɪti/	抽样变异	chōu yàng biàn yì
parameter/pəˈræmɪtə/	参数	cān shù
sampling distribution/ˈsæmplɪŋ ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/	抽样分布	chōu yàng fēn bù
standard error/ˈstændəd ˈerə/	标准误	biāo zhǔn wù

5.4

Buenas y malas estimaciones: Sesgo

Syllabus

Comprensión Duradera (UNC-3): El razonamiento probabilístico nos permite anticipar patrones en los datos.

Objetivo de Aprendizaje UNC-3.I: Explicar por qué un estimador es o no sesgado. [Habilidad 4.B]

UNC-3.I.1 Al estimar un parámetro de la población, un estimador es insesgado si, en promedio, el valor del estimador es igual al parámetro de la población.

Objetivo de Aprendizaje UNC-3.J: Calcular estimaciones para un parámetro de la población. [Habilidad 3.B]

UNC-3.J.1 Al estimar un parámetro de la población, un estimador presenta variabilidad que puede modelarse mediante probabilidad.
UNC-3.J.2 Una estadística muestral es un estimador puntual del correspondiente parámetro de la población.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Un estadístico es insesgado si la media de su distribución muestral es igual al parámetro; es decir, es correcto en promedio. El sesgo se refiere a que el centro está desplazado; la variabilidad se refiere a la dispersión. Un buen estimador debe ser insesgado (centrado correctamente) y tener baja variabilidad (preciso); las muestras más grandes reducen la variabilidad, pero no corrigen el sesgo derivado de un mal muestreo.

Cuatro distribuciones muestrales cruzando sesgo con variabilidad frente al parámetro verdadero — El sesgo y la variabilidad son fallos separados. Solo el estimador superior izquierdo está centrado en $\theta$ y es ajustado; el inferior izquierdo es preciso pero sistematicamente incorrecto, algo que ninguna cantidad adicional de datos podrá corregir.

5.5

La distribución muestral de una proporción muestral

Syllabus

Comprensión perdurable (UNC-3): El razonamiento probabilístico nos permite anticipar patrones en los datos.

Objetivo de aprendizaje UNC-3.K: Determinar los parámetros de una distribución de muestreo para proporciones muestrales. [Habilidad 3.B]

UNC-3.K.1 Para muestras independientes (muestreo con reemplazo) de una variable categórica de una población con proporción poblacional $p$, la distribución de muestreo de la proporción muestral, $\hat{p}$, tiene una media, $\mu_{\hat{p}} = p$ y una desviación estándar, $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$.
UNC-3.K.2 Si el muestreo se realiza sin reemplazo, la desviación estándar de la proporción muestral es menor que la dada por la fórmula anterior. Si el tamaño de la muestra es inferior al 10% del tamaño de la población, la diferencia es insignificante.

Objetivo de aprendizaje UNC-3.L: Determinar si una distribución de muestreo para una proporción muestral puede describirse como aproximadamente normal. [Habilidad 3.C]

UNC-3.L.1 Para una variable categórica, la distribución de muestreo de la proporción muestral, $\hat{p}$, tendrá una distribución aproximadamente normal, siempre que el tamaño de la muestra sea lo suficientemente grande: $np \geq 10$ y $n(1-p) \geq 10$.

Objetivo de aprendizaje UNC-3.M: Interpretar probabilidades y parámetros para una distribución de muestreo de una proporción muestral. [Habilidad 4.B]

UNC-3.M.1 Las probabilidades y los parámetros de una distribución de muestreo para una proporción muestral deben interpretarse utilizando unidades apropiadas y dentro del contexto de una población específica.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Para una proporción muestral $\hat{p}$ obtenida mediante una Muestraje Aleatorio Simple (MAS): la media es $p$ (insesgada) y la desviación estándar es

$$\sigma_{\hat p}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}.$$

Esta dispersión tiene dos nombres: es la desviación estándar de la distribución muestral, y se denomina error estándar cuando hay que estimarla a partir de la muestra (reemplazando $p$ por $\hat p$), lo cual es exactamente lo que hacen las unidades posteriores de inferencia. Es aproximadamente normal cuando se cumple la condición de Conteos Grandes ($np\ge 10$ y $n(1-p)\ge 10$), y la condición del $10\%$ ($n\le 0.10N$) mantiene las observaciones casi independientes.

Ejemplo resuelto. Supongamos que el $40\%$ de los votantes favorece una medida ($p=0.4$) y usted toma una muestra de $n=100$. El error estándar es $\sigma_{\hat p}=\sqrt{\dfrac{0.4(0.6)}{100}}=0.049$. La probabilidad de que la muestra dé un $\hat{p}>0.5$ es $z=\dfrac{0.5-0.4}{0.049}=2.04$, por lo tanto $P(\hat p>0.5)\approx0.02$; una mayoría en la muestra sería sorprendente.

5.6

Comparando dos grupos: Diferencia de proporciones muestrales

Syllabus

Comprensión duradera (UNC-3): El razonamiento probabilístico nos permite anticipar patrones en los datos.

Objetivo de aprendizaje UNC-3.N: Determinar los parámetros de una distribución de muestreo para una diferencia en proporciones muestrales. [Habilidad 3.B]

UNC-3.N.1 Para una variable categórica, al realizar muestreos aleatorios con reemplazo a partir de dos poblaciones independientes con proporciones poblacionales $p_1$ y $p_2$, la distribución de muestreo de la diferencia en proporciones muestrales $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ tiene media $\mu_{\hat{p}_1 - \hat{p}_2} = p_1 - p_2$ y desviación estándar $\sigma_{\hat{p}_1 - \hat{p}_2} = \sqrt{\dfrac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \dfrac{p_2(1-p_2)}{n_2}}$.
UNC-3.N.2 Si el muestreo se realiza sin reemplazo, la desviación estándar de la diferencia en proporciones muestrales es menor que la indicada por la fórmula anterior. Si los tamaños de muestra son menores que el 10% de los tamaños de población, la diferencia es despreciable.

Objetivo de aprendizaje UNC-3.O: Determinar si una distribución de muestreo para una diferencia en proporciones muestrales puede describirse como aproximadamente normal. [Habilidad 3.C]

UNC-3.O.1 La distribución de muestreo de la diferencia en proporciones muestrales $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ tendrá una distribución normal aproximada siempre que los tamaños de muestra sean lo suficientemente grandes: $n_1 p_1 \geq 10, n_1(1-p_1) \geq 10, n_2 p_2 \geq 10, n_2(1-p_2) \geq 10$.

Objetivo de aprendizaje UNC-3.P: Interpretar probabilidades y parámetros para una distribución de muestreo para una diferencia en proporciones. [Habilidad 4.B]

UNC-3.P.1 Los parámetros de una distribución de muestreo para una diferencia en proporciones deben interpretarse utilizando unidades apropiadas y dentro del contexto de poblaciones específicas.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Para $\hat{p}_1-\hat{p}_2$ de dos muestras independientes: la media es $p_1-p_2$, y como las muestras son independientes, las varianzas se suman:

$$\sigma_{\hat p_1-\hat p_2}=\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}.$$

Es aproximadamente normal cuando la condición de Conteos Grandes se cumple en ambas muestras.

5.7

La distribución muestral de una media muestral

Syllabus

Comprensión perdurable (UNC-3): El razonamiento probabilístico nos permite anticipar patrones en los datos.

Objetivo de aprendizaje UNC-3.Q: Determinar los parámetros de una distribución de muestreo para las medias muestrales. [Habilidad 3.B]

UNC-3.Q.1 Para una variable numérica, cuando se realiza un muestreo aleatorio con reemplazo de una población con media $\mu$ y desviación estándar $\sigma$, la distribución de muestreo de la media muestral tiene media $\mu_{\bar{x}} = \mu$ y desviación estándar $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
UNC-3.Q.2 Si el muestreo es sin reemplazo, la desviación estándar de la media muestral es menor que la dada por la fórmula anterior. Si el tamaño de la muestra es menor al 10% del tamaño de la población, la diferencia es insignificante.

Objetivo de aprendizaje UNC-3.R: Determinar si una distribución de muestreo para una media muestral puede describirse como aproximadamente normal. [Habilidad 3.C]

UNC-3.R.1 Para una variable numérica, si la distribución poblacional puede modelarse con una distribución normal, la distribución de muestreo de la media muestral, $\bar{x}$, también puede modelarse con una distribución normal.
UNC-3.R.2 Para una variable numérica, si la distribución poblacional no puede modelarse con una distribución normal, la distribución de muestreo de la media muestral, $\bar{x}$, puede modelarse aproximadamente mediante una distribución normal, siempre que el tamaño de la muestra sea lo suficientemente grande, p. ej., mayor o igual a 30.

Objetivo de aprendizaje UNC-3.S: Interpretar probabilidades y parámetros para una distribución de muestreo de una media muestral. [Habilidad 4.B]

UNC-3.S.1 Las probabilidades y los parámetros para una distribución de muestreo de una media muestral deben interpretarse utilizando unidades apropiadas y dentro del contexto de una población específica.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Para una media muestral $\bar{x}$ obtenida mediante una MAS: la media es $\mu$ (insesgada) y la desviación estándar es

$$\sigma_{\bar x}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.$$

Su forma es normal si la población es normal, o aproximadamente normal para $n$ grande debido al TLC. Observe que la dispersión disminuye proporcionalmente a $\sqrt{n}$: cuadruplicar la muestra reduce a la mitad el error estándar.

Ejemplo resuelto. Una población tiene $\mu=70$ y $\sigma=12$. Para muestras de $n=36$, la distribución muestral de $\bar{x}$ está centrada en $70$ con un error estándar de $\dfrac{12}{\sqrt{36}}=2$. La probabilidad de que la media muestral exceda $73$ es $z=\dfrac{73-70}{2}=1.5$, por lo tanto $P(\bar x>73)\approx0.067$.

La distribución muestral de la media se estrecha y se vuelve más normal a medida que crece n — La población de la izquierda está fuertemente sesgada, sin embargo cada distribución muestral de $\bar{x}$ está centrada en $\mu$. Un $n$ mayor reduce el error estándar $\sigma/\sqrt{n}$, por lo que la curva se hace más alta y estrecha; además se endereza: sigue siendo claramente sesgada en $n=2$, pero casi perfectamente normal (línea punteada) para $n=30$.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
Central Limit Theorem/ˈsentrəl ˈlɪmɪt ˈθɪərəm/	中心极限定理	zhōng xīn jí xiàn dìng lǐ
unbiased/ʌnˈbaɪəst/	无偏	wú piān

5.8

Comparando dos grupos: Diferencia de medias muestrales

Syllabus

Comprensión perdurable (UNC-3): El razonamiento probabilístico nos permite anticipar patrones en los datos.

Objetivo de aprendizaje UNC-3.T: Determinar los parámetros de una distribución de muestreo para una diferencia en las medias muestrales. [Habilidad 3.B]

UNC-3.T.1 Para una variable numérica, al realizar un muestreo aleatorio con reemplazo de dos poblaciones independientes con medias poblacionales $\mu_1$ y $\mu_2$ y desviaciones estándar poblacionales $\sigma_1$ y $\sigma_2$, la distribución de muestreo de la diferencia en las medias muestrales $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ tiene media $\mu_{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2)} = \mu_1 - \mu_2$ y desviación estándar $\sigma_{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2)} = \sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1} + \dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}$.
UNC-3.T.2 Si el muestreo se realiza sin reemplazo, la desviación estándar de la diferencia en las medias muestrales es menor que la dada por la fórmula anterior. Si los tamaños muestrales son menores al 10% de los tamaños poblacionales, la diferencia es despreciable.

Objetivo de aprendizaje UNC-3.U: Determinar si una distribución de muestreo para una diferencia en las medias muestrales puede describirse como aproximadamente normal. [Habilidad 3.C]

UNC-3.U.1 La distribución de muestreo de la diferencia en las medias muestrales $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ puede modelarse con una distribución normal si las dos distribuciones poblacionales pueden modelarse con una distribución normal.
UNC-3.U.2 La distribución de muestreo de la diferencia en las medias muestrales $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ puede modelarse aproximadamente mediante una distribución normal si las dos distribuciones poblacionales no pueden modelarse con una distribución normal pero ambos tamaños muestrales son mayores o iguales a 30.

Objetivo de aprendizaje UNC-3.V: Interpretar probabilidades y parámetros para una distribución de muestreo para una diferencia en las medias muestrales. [Habilidad 4.B]

UNC-3.V.1 Las probabilidades y parámetros de una distribución de muestreo para una diferencia de medias muestrales deben interpretarse utilizando unidades apropiadas y dentro del contexto de poblaciones específicas.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Para $\bar{x}_1-\bar{x}_2$ de dos muestras independientes: la media es $\mu_1-\mu_2$, y (siendo independientes, las varianzas se suman)

$$\sigma_{\bar x_1-\bar x_2}=\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}.$$

Esto constituye la base para la inferencia de dos muestras en las próximas unidades.

5.8

Consejos para el examen

Una distribución muestral es la distribución de un estadístico sobre muchas muestras, centrada en el parámetro verdadero.
El Teorema del Límite Central: para una muestra lo suficientemente grande, la media muestral es aproximadamente normal, incluso si la población no lo es.
Las muestras más grandes producen menos variabilidad (un error estándar menor).
Verifique las condiciones (aleatoriedad, independencia/10%, tamaño suficiente) antes de usar un modelo normal.
Mantenga distinguido lo que varía —el estadístico— frente al parámetro fijo.

Lecciones interactivas sobre este tema

Trátalo paso a paso, con ejercicios de verificación instantánea.

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