Representación de información

Los tres sistemas numéricos 数制 que debes usar:

• decimal 十进制 (denary, base 10) — usa los dígitos 0–9. Los valores de posición son potencias de diez.
• binario 二进制 (base 2) — usa 0 y 1. Los valores de posición son potencias de dos. Cada byte 字节 está formado por 8 bits 位.
• hexadecimal 十六进制 (base 16) — usa 0–9 seguido de A–F para representar 10–15. Cada dígito hexadecimal representa exactamente 4 bits.

Conversiones

Decimal → binario: sigue dividiendo entre 2 y anota los residuos; léelos de abajo hacia arriba. O bien, resta el mayor valor de posición 位值 (potencia de 2) que quepa.

Ejemplo: $558_{10}$: $558 = 512 + 32 + 8 + 4 + 2 = 2^{9} + 2^{5} + 2^{3} + 2^{2} + 2^{1}$. En 12 bits: 0010 0010 1110.

Binario → hexadecimal: agrupa los bits en nibbles 半字节 (4 bits) desde la derecha y convierte cada grupo. 0010 0010 1110 → 2 2 E → 22E.

Hexadecimal → binario: sustituye cada dígito hexadecimal por su patrón de 4 bits. Hexadecimal → decimal: multiplica cada dígito por su valor de posición. 22E $= 2 \times 256 + 2 \times 16 + 14 = 558$.

Ejercicio resuelto. Convierte el decimal 200 a binario de 8 bits y luego a hexadecimal.

$200 = 128 + 64 + 8$, por lo tanto el binario es 11001000. Agrupado en nibbles, 1100 1000 y $= 12$ $8$, es decir, $\text{C}$ y $8$, así que el hexadecimal es C8.

¿Cuántos bits?

Las preguntas de examen fijan el ancho del registro 寄存器宽度 (8, 12 o 16 bits). Rellena con ceros a la izquierda hasta alcanzar ese ancho: $558$ en 12 bits es 0010 0010 1110, nunca 10 0010 1110.

Para encontrar el número mínimo de bits necesarios para almacenar un valor, pregunta qué valores de posición necesitas:

• Un entero sin signo desde $0$ hasta $2^{n} - 1$ necesita $n$ bits: $200$ necesita 8 bits (el máximo es $255$), $1000$ necesita 10 bits (el máximo es $1023$), $16$ necesita 5 bits (4 bits se detienen en $15$).
• Un entero en complemento a dos desde $-2^{n-1}$ hasta $2^{n-1} - 1$ necesita $n$ bits: $-200$ necesita 9 bits, porque 8 bits se detienen en $-128$.
• Un dígito hexadecimal necesita 4 bits, un dígito BCD necesita 4 bits y un carácter ASCII necesita 7 bits (8 para ASCII extendido).

Prefijos binarios vs decimales

Dos familias de prefijos parecen similares pero difieren — decimal (potencias de 10) y binario (potencias de 2):

Por lo tanto, un tebibyte (TiB) es ligeramente mayor que un terabyte (TB). Una unidad de almacenamiento marcada como "1 TB" contiene $10^{12}$ bytes, pero un sistema operativo que informa en TiB mostrará un número menor.

Suma binaria

Se suma columna por columna de derecha a izquierda, llevándolos tal como se hace en decimal:

Desbordamiento (Overflow) ocurre cuando el resultado necesita más bits de los que puede contener el registro; el acarreo saliente de la columna más a la izquierda es el bit de desbordamiento.

Ejemplo resuelto. Sume los enteros sin signo de 8 bits $10110101$ y $01101100$, y comente sobre el resultado.

$10110101 + 01101100 = 1\,00100001$. La respuesta necesita 9 bits, por lo que no cabe en un registro de 8 bits: ha ocurrido un desbordamiento. Una respuesta completa debe nombrar el error y explicar por qué, utilizando el tamaño de palabra dado en la pregunta: "Desbordamiento: el resultado real ($289$) es mayor que el valor máximo que puede contener un registro de 8 bits ($255$), por lo que el acarreo saliente del bit más significativo se pierde y el resultado almacenado ($00100001 = 33$) es incorrecto."

Resta binaria

La forma habitual es mediante la suma del complemento a dos: para realizar $A - B$, forme el complemento a dos de $B$ (invierta cada bit y sume 1), luego sume y descarte cualquier acarreo saliente final.

Para restar $00011110$ de $01100100$ (sin signo, 8 bits):

• Complemento a dos de $00011110$: invertir → $11100001$, sumar 1 → $11100010$.
• Sumar a $01100100$: resultado $1\,01000110$ (9 bits) — descarte el 1 inicial → $01000110 = 70_{10}$. Verificación: $100 - 30 = 70$. ✓

Enteros con signo en complemento a dos

En un número en complemento a dos de $n$ bits:

• El bit más significativo (MSB) es el bit de signo: 0 = positivo, 1 = negativo.
• Para leer un número negativo: invierta cada bit, sume 1 y luego cambie el signo.

Así, $11100010$ es negativo; invierte → $00011101$, suma 1 → $00011110 = 30$, por lo que es $-30$. Esto es un entero con signo (a diferencia de uno sin signo). El rango para $n$ bits es de $-2^{n-1}$ a $+2^{n-1} - 1$; para 8 bits, de $-128$ ($10000000$) a $+127$ ($01111111$).

Los mismos bits significan diferentes números dependiendo de la lectura acordada. Como un entero sin signo, cada bit es un valor posicional, por lo que 8 bits van desde $0$ hasta $255$; como un entero signado en complemento a dos, el bit superior es el signo, por lo que los mismos 8 bits van desde $-128$ hasta $+127$. El patrón $11111111$ representa $255$ leído de una manera y $-1$ leído de la otra —nada en los propios bits indica cuál es la correcta.

El mismo byte leído como sin signo y como signado: solo la interpretación acordada los distingue Complemento a dos de 8 bits: el bit de signo divide el rango en negativo ($-128$ a $-1$) y positivo ($0$ a $127$)

Ejemplo resuelto. ¿Qué valor decimal representa el número en complemento a dos de 8 bits $10110100$?

El MSB es 1, por lo tanto es negativo. Invertir → $01001011$, sumar 1 → $01001100 = 76$, por lo tanto el valor es $-76$. Verificar con valores posicionales: $-128 + 32 + 16 + 4 = -76$.

Ejemplo resuelto. Escribir $-108$ como un entero en complemento a dos de 12 bits.

Empezar con $+108$ en 12 bits: $108 = 64 + 32 + 8 + 4$, por lo tanto 0000 0110 1100. Invertir cada bit: 1111 1001 0011. Sumar 1: 1111 1001 0100. Verificar con valores posicionales, donde el bit superior vale $-2^{11} = -2048$: $-2048 + 1024 + 512 + 256 + 128 + 16 + 4 = -108$. ✓

Para 12 bits, el rango va de $-2048$ (1000 0000 0000) hasta $+2047$ (0111 1111 1111). Las preguntas que solicitan los valores más pequeños y más grandes buscan estos dos patrones específicos, por lo que se debe aprender la regla: el número más negativo es un 1 seguido de ceros; el más positivo es un 0 seguido de unos.

Un corrimiento aritmético 算术移位 mueve cada bit hacia la izquierda o hacia la derecha pero mantiene el signo: un corrimiento a la derecha por una posición reduce a la mitad el valor y copia el bit de signo en el espacio vacío a la izquierda, por lo que un número negativo permanece negativo (1111 1001 0100 desplazado tres posiciones a la derecha es 1111 1111 0010, que equivale a $-14$: $-108 / 8 = -13.5$, y un corrimiento a la derecha redondea hacia abajo). Un corrimiento a la izquierda duplica el valor. Los corrimientos pertenecen al conjunto de instrucciones de ensamblaje en el tema 4, pero esta pregunta se formula en el contexto del trabajo numérico aquí tratado.

El desbordamiento en aritmética signada ocurre cuando el resultado real cae fuera de este rango —se detecta cuando el bit de signo cambia incorrectamente (dos positivos dando como resultado un negativo, o dos negativos dando como resultado un positivo).

Complemento a uno

Antes del complemento a dos, un esquema más antiguo llamado complemento a uno 反码 representaba un número negativo simplemente invertiendo todos los bits del positivo —no existe el paso de "sumar 1".

• $+30 = 00011110$, por lo tanto en complemento a uno $-30 = 11100001$ (solo el inverso).
• Desventaja: tiene dos ceros —$00000000$ ($+0$) y $11111111$ ($-0$)— lo cual desperdicia un patrón de bits y complica la aritmética.

El complemento a dos (invertir y sumar 1) elimina el cero negativo: tiene un único cero y permite que la suma y la resta utilicen el mismo circuito. Por eso las computadoras modernas almacenan enteros signados en complemento a dos, no en complemento a uno.

En BCD (código decimal binario), cada dígito decimal se escribe como su propio patrón de 4 bits. El número $93$ es 1001 0011 en BCD — no el binario 93 ($01011101$). Cada nibble usa solo 0–9; los patrones $1010$–$1111$ son inválidos.

Lectura BCD: 0010 0111 0101 → 2, 7, 5 → 275.

Uso: calculadoras, relojes digitales y dispositivos que muestran dígitos decimales — cada dígito acciona un pantalla de 7 segmentos (七段显示器). Los códigos de divisa suelen usar BCD para evitar errores de redondeo al convertir fracciones como 0.1 a binario.

Una respuesta de "justificación" debe vincular el uso con una propiedad del BCD: cada dígito decimal tiene sus propios 4 bits, por lo que un dígito puede enviarse directamente a su pantalla o sumarse dígito por dígito, sin conversión de todo el número; y una fracción decimal como $0.10$ se almacena exactamente, algo que una fracción binaria no puede hacer.

El hexadecimal es una forma compacta de escribir binario (1 dígito hex = 4 bits):

• direcciones de memoria (内存地址) en programación de bajo nivel — 0x7FFE.
• valores de color en HTML/CSS — #FF8800.
• direcciones MAC — AC:DE:48:00:11:22.

El hexadecimal no cambia los datos almacenados — solo hace el binario más fácil para los humanos.

Las computadoras almacenan texto como números; cada carácter tiene un punto de código (码点) numérico definido por un juego de caracteres (字符集).

ASCII

• ASCII usa 7 bits — 128 puntos de código. Letras latinas básicas, dígitos, puntuación y códigos de control.
• ASCII extendido usa 8 bits — 256 puntos de código; los primeros 128 coinciden con ASCII, los últimos 128 varían según la región.

Unicode

• Unicode es un juego de caracteres universal que cubre casi todos los alfabetos, además de símbolos y emojis.
• codificaciones (编码) comunes: UTF-8 (1–4 bytes, compatible con ASCII), UTF-16 (2 o 4 bytes), UTF-32 (fijo de 4 bytes).

Por qué Unicode supera a ASCII

• representa mucho más caracteres (todos los alfabetos, emojis); ASCII cubre solo inglés básico.
• los archivos son portátiles sin confusión de páginas de código, y permiten texto multilingüe en un solo documento.
• compromiso: los archivos Unicode suelen ser más grandes para texto en inglés únicamente.

Cuando una pregunta pide diferencias, da las respuestas en pares con números: ASCII usa 7 bits (ASCII extendido 8), así que 128 (256) caracteres; Unicode usa hasta 32 bits (UTF-8 usa de 1 a 4 bytes), así que más de un millón de puntos de código. ASCII cubre solo inglés básico; Unicode cubre todos los alfabetos, y sus primeros 128 puntos de código son los de ASCII. En UTF-8, una letra en inglés aún ocupa 1 byte, así que un nombre de archivo en inglés de 40 letras mide 40 bytes tanto en ASCII como en UTF-8, mientras que un carácter chino ocupa 3 bytes.

Una imagen bitmap (también llamada imagen bitmap) almacena el color de cada píxel (像素) en una cuadrícula. Al inicio del archivo, un encabezado de archivo (文件头) registra los metadatos de la imagen — su ancho, alto y profundidad de color — para que el software sepa cómo leer los datos de píxeles que siguen.

• resolución de imagen (图像分辨率): el tamaño propio del bitmap, ancho × alto en píxeles (ej. 1920 × 1080).
• resolución de pantalla (屏幕 resolución): el ancho × alto que el pantalla puede mostrar. Si la resolución de una imagen es mayor que la pantalla, se escala hacia abajo para caber; una imagen de baja resolución se ve pixelada al estirarla sobre una pantalla de mayor resolución.
• profundidad de color 颜色深度 (profundidad de bits 位深度): bits por píxel. 1 bit → blanco y negro; 8 bits → 256 colores; 24 bits → 16.7 millones ("color verdadero").

Tamaño de archivo

Divide entre 8 para bytes, entre 1024 para KiB, etc. Ejemplo: una imagen $3000 \times 2000$ a 24 bpp es $3000 \times 2000 \times 24 = 1.44 \times 10^{8}$ bits $\approx 17.2\ \text{MiB}$.

Indica las unidades que usaste. La rúbrica acepta $1\ \text{MB} = 10^{6}$ bytes (el prefijo SI) o $1\ \text{MiB} = 1024 \times 1024$ bytes (el prefijo binario), siempre que tu procedimiento muestre cuál usaste; la misma imagen mide $18.0\ \text{MB}$ o $17.2\ \text{MiB}$. Añade el tamaño del encabezado de archivo si la pregunta te lo proporciona.

Un video es una secuencia de imágenes bitmap, cada una es un frame (帧). Antes de la compresión, su tamaño es el de un frame $\times$ la velocidad de fotogramas (帧率) (fotogramas por segundo) $\times$ la duración en segundos: 30 fotogramas por segundo de $1920 \times 1080$ píxeles a 24 bits es $30 \times 1920 \times 1080 \times 24 \approx 1.5 \times 10^{9}$ bits, aproximadamente $187\ \text{MB}$, por cada segundo. Por eso el video siempre se comprime.

Cambiar configuraciones

• menor resolución → archivo más pequeño, menos detalle (se ve pixelado al ampliarse).
• menor profundidad de color → archivo más pequeño, pero los degradados suaves muestran bandas.
• mayor de cualquiera de los dos → archivo más grande, mejor calidad.

Un gráfico vectorial (矢量图形) almacena las instrucciones para dibujar la imagen como una lista de dibujo (绘图列表) — una lista ordenada de objetos de dibujo (绘图对象) (primitivas geométricas 图元: líneas, curvas, polígonos, círculos). Cada objeto de dibujo tiene propiedades (属性) como color, relleno, grosor de línea y posición (coordenadas). Para mostrarlo, el programa renderiza (渲染) la lista de dibujo a cualquier resolución necesaria.

Bitmap vs vector

Ventaja vectorial: escala sin perder calidad — un logo vectorial permanece nítido a cualquier tamaño, mientras que un bitmap se desenfoca al ampliarse. Desventaja vectorial: no puede describir arbitrary detalle de píxeles (fotografías).

Una respuesta de "justificación" vincula la elección con la tarea. "El logo debe aparecer en una tarjeta de visita y en un cartel publicitario, por lo que debería ser un gráfico vectorial: se almacena como objetos de dibujo y se renderiza con nitidez a cualquier tamaño, mientras que un bitmap mostraría sus píxeles al ampliarse." Para una fotografía el argumento funciona a la inversa: no hay formas que describir, por lo que el color de cada píxel debe almacenarse.

Una onda continua de datos analógicos 模拟数据 (el sonido) se convierte en datos digitales 数字数据 mediante el muestreo 采样:

• frecuencia de muestreo 采样率 — muestras por segundo (Hz). La calidad CD es $44.1\ \text{kHz}$.
• resolución de muestreo 采样分辨率 (profundidad de bits) — bits por muestra de amplitud 振幅. La calidad CD es 16 bits.

Tamaño de archivo

Un clip estéreo CD de 10 segundos: $44100 \times 16 \times 10 \times 2 = 14\,112\,000$ bits $\approx 1.68\ \text{MiB}$.

Cambiar configuraciones

• mayor frecuencia de muestreo → capta tonos más agudos, archivo más grande.
• mayor resolución de muestreo → pasos de amplitud más finos, menos ruido de cuantificación 量化, archivo más grande.
• menor cualquiera de ellos → archivo más pequeño, pérdida clara de calidad.

(La frecuencia de muestreo debe ser al menos el doble de la frecuencia más alta que desees mantener.)

La compresión 压缩 reduce el tamaño del archivo, ahorrando almacenamiento y ancho de banda 带宽 para la transmisión. Dos tipos:

• sin pérdida 无损 — los datos originales se recuperan exactamente (texto, programas, ZIP/PNG).
• con pérdida 有损 — se descarta algún detalle para obtener archivos mucho más pequeños (JPEG, MP3, vídeo).

Cuándo usar cada uno

• sin pérdida para documentos, código fuente, imágenes médicas: cualquier cosa que necesite datos exactos.
• con pérdida para medios en streaming. El vídeo en streaming en tiempo real usa compresión con pérdida porque debe enviar grandes cantidades de datos en tiempo real sobre ancho de banda limitado; la sin pérdida no lo reduciría lo suficiente. El vídeo HD sin comprimir pesa gigabytes por minuto, así que sin compresión la imagen seguiría congelándose.

Una respuesta "justificar" menciona el método y luego la razón derivada de la situación: "Sin pérdida, porque la hoja de cálculo debe restaurarse exactamente; un único valor cambiado haría que las cuentas estuvieran mal". O: "Con pérdida, porque las fotografías se ven en una pantalla de teléfono donde el detalle descartado no es visible, y los archivos más pequeños se cargan más rápido y ocupan menos almacenamiento".

Métodos sin pérdida

• código de longitud de corrida 行程编码 (RLE): almacena "los siguientes $n$ valores son $x$" en lugar de repetir $x$. Ideal para zonas planas; inútil para datos ruidosos.
• métodos de diccionario 字典编码 (ZIP, PNG): reemplazan secuencias repetidas de bytes con una referencia corta. Bueno para texto y código.
• codificación Huffman 霍夫曼编码: asigna códigos cortos a símbolos comunes y largos a raros, acercando la longitud promedio del código a la entropía 熵 de los datos.

Cómo se comprime cada tipo de archivo:

• archivo de texto: los métodos de diccionario y la codificación Huffman convierten palabras repetidas y caracteres comunes en códigos cortos. El texto debe permanecer sin pérdida, porque un solo carácter cambiado altera el significado.
• imagen bitmap: RLE para series de píxeles idénticos (iconos, diagramas, escaneados en blanco y negro); JPEG con pérdida para fotografías, o menor profundidad de color o resolución.
• gráfico vectorial: la lista de dibujo ya es pequeña; eliminar objetos de dibujo innecesarios, almacenar coordenadas con menos decimales, o aplicar un método sin pérdida como ZIP al archivo.
• archivo de sonido: MP3 o AAC con pérdida elimina lo que el oído no puede escuchar; una frecuencia o resolución de muestreo menor también es con pérdida; los formatos sin pérdida mantienen cada muestra y reducen el archivo significativamente menos.

Métodos con pérdida

• imágenes (JPEG): descarta detalles finos y diferencias de color que el ojo apenas percibe.
• sonido (MP3, AAC): descarta tonos que escuchamos peor y sonidos silenciosos ocultados por otros más fuertes.
• vídeo combina compresión espacial 空间 (dentro de cada fotograma, como JPEG) con compresión temporal 时间 (la mayoría de los fotogramas solo almacenan las diferencias respecto al fotograma anterior).

Una pregunta de definición se califica según un texto fijo. Aprende estas definiciones exactamente, y da solo una respuesta.

• Mostrar el procedimiento para conversiones de bases: decimal → binario por posiciones, binario → hexadecimal en nibbles (grupos de 4 bits).
• Para el complemento a dos, el bit más significativo es negativo; para negar, invertir y sumar 1; tener cuidado con el desbordamiento cuando el bit de signo cambia incorrectamente.
• Diferenciar entre mapa de bits (píxeles; tamaño del archivo $=$ ancho $\times$ alto $\times$ profundidad de color) y vectorial (comandos de dibujo; escala sin pérdida).
• El tamaño de un archivo de sonido depende de la tasa de muestreo $\times$ profundidad de bits $\times$ tiempo: mayor cantidad de cada uno implica mejor calidad pero un archivo más grande.
• Comparar la compresión sin pérdidas vs con pérdidas y dar un uso para cada una.

Errores comunes

• Explicar un desbordamiento diciendo "la respuesta fue mayor que 255" o "tiene 9 bits". Indicar el tamaño de palabra dado en la pregunta, luego afirmar que el resultado no puede representarse en él.
• Crear un número negativo estableciendo el bit superior en 1 y dejando el resto igual (signo y magnitud). El complemento a dos significa invertir todos los bits del valor positivo, luego sumar 1.
• Olvidar rellenar con ceros un número convertido hasta alcanzar el ancho de registro que pide la pregunta.
• Mezclar bits y bytes en un cálculo del tamaño de un archivo. Trabajar en bits, dividir entre 8 una sola vez, e indicar si se usaron 1000 o 1024.
• Responder "describe" con lenguaje cotidiano ("la imagen empeora"). Usar los términos del programa: menos colores, banda de color, menor resolución de imagen, píxeles más grandes.