النطاق والشروط المسبقة
بناءً على إطار Digital SAT. هذه المهام الورقية ليست تكيفية ولا تتنبأ بدرجة مقيسة.
- حل وتصنيف معادلات الخط ذات المتغير الواحد ذات المعلمات
- تفسير معادلات الخط ذات المتغيرين كمجموعات من الأزواج المرتبة
- تفسير الميل والمقطع لدالة خطية ذات سياق
- تصنيف أنظمة المعادلات الخطية ذات المعادلتين والتحقق من تقاطعاتها
- تمثيل المتباينات الصارمة والمشمولة لمتغير واحد أو متغيرين
الشروط المسبقة: جمع الحدود المتشابهة؛ التعويض بالأزواج المرتبة؛ الحساب بإشارات.
شرح واختيار الطريقة
اجمع الحدود المتغيرة والثوابت بشكل منفصل. المعادلة ax+b=cx+d تصبح (a-c)x=d-b. إذا كان a-c غير صفري فهناك حل واحد؛ إذا اختزلت كلا الطرفين إلى صفر فهناك عدد لا نهائي من الحلول؛ إذا كان معامل المتغير صفراً لكن الثابت غير صفري فلا يوجد حل. لا تقسم أبداً على معلم قبل التحقق مما إذا كان يمكن أن يساوي صفراً.
معادلة ذات متغيرين تعطى مجموعة من الأزواج المرتبة. في y=mx+b، m هو التغير في y لكل وحدة x وb هي قيمة y عند x=0. لنموذج سياقي، ضف الوحدات لكلا الطرفين: رسوم سيارة الأجرة C=3t+5 تحتوي على رسوم ابتدائية بوحدات 5 ووحدات 3 لكل وحدة زمن. قد يكون التقاطع خارج النطاق العملي حتى لو كان موجوداً جبرياً.
لنظام معادلات، قارن كلا المعاملات والثوابت. ضرب معادلة كاملة بأحد ثبوت غير صفري ينتج نفس الخط؛ تطابق معاملات المتغيرات مع ثوابت مختلفة يعطي خطوطاً متوازية ومميزة. بخلاف ذلك، يوفر التقاطع الزوج الذي يحقق كلتا المعادلتين. عوض الزوج في كلتا المعادلتين الأصليتين للتحقق منه.
ضرب أو قسمة متباينة في عدد سالب يعكس اتجاهها. المتباينة الصارمة تستبعد الحد الفاصل، بينما ≤ أو ≥ تشمله. للمتغيرين، ارسم الخط المقابل واختبر نقطة بعيداً عنه لتحديد نصف المستوى المسموح به. الرسم البياني تمثيل لجميع الحلول، وليس نقطة واحدة مفضلة.
المتطابقة صحيحة لكل مدخل مسموح به. ابدأ بـ $ax+b=cx+d$. اجمع الحدود: $(a-c)x=d-b$. تفحص $a-c$ قبل القسمة. إذا $a=c$ و$b=d$، فإن كل مدخل حقيقي صالح. وإذا كان $a=c$ فقط، فلا يوجد مدخل صالح. غير ذلك، يعطي $x=(d-b)/(a-c)$ حلاً واحداً.
مثال محلول. بالنسبة لمعادلة kx+6=2x+6، عندما يكون k=2 فإن 0=0 وتكون هناك عدد لا نهائي من الحلول؛ أما إذا كان k≠2 فإن x=0. بالنسبة لـ -2x+3<11, subtract 3 and divide by -2 to get x>-4. وبالنسبة للمتباينة y≤2x+1، فإن (0,0) صحيحة والحد الصلب مدمج. النظام 2x+4y=10 و x+2y=6 ليس له حل لأن مضاعفة المعادلة الثانية تعطي نفس الطرف الأيسر مساويًا لـ 12، وليس 10.
مواد تدريبية
كل سؤال تمريني أدناه يذكر جميع البيانات التي يحتاجها.
تدريب مع الاستدلال
تدريب 1
صنف حلول $(p-1)x+3=2x+p$ لكل حقيقي $p$.
استنتاج. جمِّ الحدود للحصول على $(p-3)x=p-3$. عند $p=3$، المعادلة هي $0=0$، لذا فإن أي عدد حقيقي $x$ يعمل. عند $p\ne3$، قسّم على $p-3$ للحصول على $x=1$. لا توجد قيمة لـ $p$ تعطي عدم وجود حل. بالتعويض بـ $x=1$ نحصل على $p+2$ في كلا الطرفين.
تدريب 2
تأجير $C$ يوان له رسوم ثابتة $f$ يوان ومعدل $r$ يوان لكل ساعة. ثلاث ساعات تكلف 31 يوان؛ سبع ساعات تكلف 59 يوان. أوجد $f,r$ وأقصى عدد صحيح من الساعات الممولة بـ 80 يوان.
استنتاج. استخدم $C=f+rt$. المعادلتان هما $31=f+r(3\,\mathrm{h})$ و $59=f+r(7\,\mathrm{h})$. اطرح: $r=(59-31)\,\mathrm{yuan}/(7-3)\,\mathrm{h}=7\,\mathrm{yuan/h}$. ثم $f=31\,\mathrm{yuan}-(7\,\mathrm{yuan/h})(3\,\mathrm{h})=10\,\mathrm{yuan}$. الميزانية: $10+7t\le80$، إذن $t\le10$ ساعات. عشر ساعات كاملة ميسورة؛ أحد عشر ساعة تكلف 87 يوان.
تدريب 3
صف جميع النقاط التي تحقق $y>2x-1$ و$y\le-x+5$. هل $(2,3)$ مشمول؟ اذكر قيم $x$ الممكنة.
استنتاج. الحد الأول متقطع والثاني متصل. المنطقة المشتركة تكون فوق الخط الأول وعلى أو أسفل الخط الثاني. عند $(2,3)$ الشرط الأول هو $3>3$، وهو غير محقق. لكي يكون الفترة الرأسية موجودة، يجب أن $2x-1<-x+5$، ومنه $x<2$. يتقاطع الخطان عند $(2,3)$ لكن نقطة تقاطعهما مستبعدة.
الحدود والاستخدام التالي
لا تخلط بين x=0 ومعامل متغير مفقود، وعكس الاتجاه فقط عند الضرب أو القسمة على عدد سالب، ولا ظلل نصف المستوى بناءً على ميل الخط وحده.
هذه مهام تدريبية أصلية كُتبت لهذا الكورس، وليست أسئلة امتحانات رسمية.