النطاق والشروط المسبقة
بناءً على إطار Digital SAT. هذه المهام الورقية ليست تكيفية ولا تتنبأ بدرجة مقيسة.
- استخدام المساحة والحجم والتشابه
- تطبيق نسب المثلث القائم وقانون فيثاغورس
- استخدام معادلات الدوائر والقوس والعلاقات الزاوية
المقدمات: مجموع زوايا المثلث؛ فيثاغورس؛ وحدات الطول/المساحة/الحجم.
شرح واختيار الطريقة
التشابه يحافظ على الزوايا المتناظرة ونسب الأطوال. تتغير المساحات بمقدار k² والحجوم بمقدار k³.
في المثلث القائم، الجيب = المقابل/الوتر، جتا = المجاور/الوتر، وظا = المقابل/المجاور.
الدائرة التي مركزها (h,k) ونصف قطرها r لها المعادلة (x−h)²+(y−k)²=r².
الدورة الكاملة تساوي 360° أو 2 راديان. طول القوس يساوي rθ فقط عندما يكون θ بالراديان.
عامل مقياس $k$ يُغيّر كل طول نظير. $A_2=k^2A_1$ و$V_2=k^3V_1$ للأشكال المتشابهة. إذا كان $k=3/2$ و$A_1=24\,\mathrm{cm^2}$، فإن $A_2=(3/2)^2(24\,\mathrm{cm^2})=54\,\mathrm{cm^2}$. تغيير بُعد واحد فقط لا يبرر قواعد التشابه هذه.
مثال محلول. مثلث قائم الزاوية أضلاعه 6 و8. c²=6²+8²=100، إذن c=10. بالنسبة للزاوية المقابلة لـ 6، sin θ=6/10=0.6. مثلث مشابه مكبر بعامل 3 تكون مساحته تسع مرات المساحة الأصلية.
مواد تدريبية
كل سؤال تمريني أدناه يذكر جميع البيانات التي يحتاجها.
تدريب مع الاستدلال
يقدم هذا نظرة عامة على المهارات. لكل مهارة ورقة عملها وورقة تمارينها الخاصة: 18 و19. اعمل عليهما بالترتيب.
تدريب 1
الأوعية المتشابهة لها مساحات 96 و216 سنتيمتر مربع. الحجم الأصغر هو 160 سنتيمتر مكعب. أوجد الحجم الأكبر.
التعليل. $k=\sqrt{A_2/A_1}=\sqrt{216/96}=3/2$. الحجم يستخدم التكعب: $V_2=k^3V_1=(3/2)^3(160\,\mathrm{cm^3})=540\,\mathrm{cm^3}$. استخدام نسبة المساحة مباشرة سيعطي حجماً خاطئاً.
تدريب 2
مثلث قائم زواياه 13 سم ووتر 5 سم. أوجد الوتر الآخر، ومساحته، وجيب الزاوية المقابلة للوتر 5 سم.
الحجج. $b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{(13\,\mathrm{cm})^2-(5\,\mathrm{cm})^2}=12\,\mathrm{cm}$. $A=ab/2=(5\,\mathrm{cm})(12\,\mathrm{cm})/2=30\,\mathrm{cm^2}$. $\sin\theta=a/c=(5\,\mathrm{cm})/(13\,\mathrm{cm})=5/13$.
تدريب 3
زاويتان داخليتان في مثلث هما 42° و73°. أوجد الزاوية الثالثة وزاويته الخارجية المجاورة. هل تحدد تلك الزوايا وحدها جميع أطوال الأضلاع؟
الحجج. الزاوية الثالثة هي $180-42-73=65$ درجات. زاويته الخارجية المجاورة هي $180-65=115$ درجات، وهي أيضاً $42+73$. الزوايا تحدد الشكل، لا المقياس؛ يمكن للمثلثات المشابهة أن تكون أطوال أضلاعها مختلفة.
تمرين 4
قطرا مستقيم متوازيان مقطوعان بقاطع. أحد الزاويتين المتناظرتين يساوي 68°. أوجد الزاوية المتناظرة المقابلة لها والزاوية المجاورة على الخط الثاني. اشرح أي شرط معطى يبرر كل خطوة.
استنتاج. التوازي يعطي زاوية مقابلة متساوية 68°. الزاويتان المجاورتان تشكلان زاوية مستقيمة، لذا فإن الأخرى هي 180°−68°=112°. تتطلب الزوايا المقابلة المتساوية التوازي المذكور؛ بينما يعتمد مجموع الزاوية المستقيمة على الجوار على خط واحد. رسم تخطيطي مشابه الشكل بدون توازي لن يبرر المساواة الأولى.
الحدود والاستخدام التالي
يختلف نصف القطر عن القطر بعامل قدره اثنان. استخدام القطر بدلاً من نصف القطر في πr² يجعل المساحة أكبر بأربع مرات مما يجب أن تكون عليه.
هذه مهام تدريبية أصلية كُتبت لهذا الكورس، وليست أسئلة امتحانات رسمية.