النطاق والشروط المسبقة
بناءً على إطار Digital SAT. هذه المهام الورقية ليست تكيفية ولا تتنبأ بدرجة مقيسة.
- تحليل وتوسيع التعبيرات دون تغيير قيمتها
- تبسيط الكسور والجذور على المجال الأصلي
- استخدام بنية التعبير لتحديد الأصفار والمعاملات
المواصفات المسبقة: قانون التوزيع؛ فرق المربعين؛ الجذور التربيعية الحقيقية.
شرح واختيار الطريقة
التوزيع يوزع كل عامل على العوامل الأخرى، والعكس هو عملية تحليل. x²-5x+6=(x-2)(x-3)، لذا فإن الصيغة المضروبة تكشف أصفارها بينما تكشف الصيغة الموزعة المعاملات. اختر الصيغة التي تخدم السؤال بدلاً من اعتبار تمثيل واحد أفضل دائمًا.
اختصر العوامل، ولا تختصر الحدود في المجموع. الكسر (x²-4)/(x-2) يصبح x+2 فقط عند x≠2، لأن التعبير الأصلي غير معرف عند 2. قد يبقى قيد بعد اختفاء كل المقامات من الصيغة المبسطة. صغه قبل الاختصار، ثم استمر به خلال المقارنات أو حل المعادلات.
قواعد الأسس تعتمد على السياق: a^m a^n=a^(m+n) و (a^m)^n=a^(mn) في المجال الحقيقي المسموح. الأسس السالبة تكون معكوس الضرب وتتطلب أساسات لا تساوي صفرًا. بالنسبة للجذور التربيعية الحقيقية، √(x²)=|x|، لأن الجذر التربيعي الرئيسي غير سالب؛ وليست x لكل عدد حقيقي x.
للتحقق من التكافؤ، يمكن التعويض العددي كشف خطأ، لكن قيمة واحدة متطابقة لا تثبت تساوي تعبيرين. المتطابقة الجبرية الصالحة بالإضافة إلى تطابق المجال هي ما يكفي. عندما يطلب السؤال معاملًا، قم بالتوزيع فقط حتى المستوى المطلوب واحسب كل المساهمات لتلك القوة.
يجب أن تتفق العبارات المكافئة على المجال المذكور. $E(x)=(x^2-25)/(x-5)=(x+5)$ فقط لـ $x\ne5$. الاختصار يزيل عاملاً، لكنه لا يمكنه استعادة مدخل مستبعد. أيضاً $\sqrt{x^2}=|x|$، لأن الجذر التربيعي الرئيسي لا يمكن أن يكون سالباً.
مثال محلول. (x²-9)/(x-3)=(x-3)(x+3)/(x-3)=x+3 عند x≠3. عند x=3 يكون التعبير الأصلي غير معرف. بالنسبة لـ x=-5، فإن √(x²)=5=|x|. في (2x+1)(x-4)، معامل x هو -8+1=-7 والتعبير الكامل هو 2x²-7x-4.
مواد تدريبية
كل سؤال تمريني أدناه يذكر جميع البيانات التي يحتاجها.
تدريب مع الاستدلال
تدريب 1
بسّط $F(x)=(x^2-4x)/(x^2-16)$. اذكر كل قيد أصلي واشرح لماذا $F$ ليست مطابقة لـ $x/(x+4)$ على كامل مجال الصيغة الأخيرة.
Reasoning. Factor numerator $x(x-4)$ and denominator $(x-4)(x+4)$. The original domain excludes $x=4,-4$. Cancellation gives $F(x)=x/(x+4)$ for $x\ne4,-4$. The latter formula alone permits $4$, where it gives $1/2$, while $F(4)$ is undefined.
تدريب 2
أوجد معامل $x$ في $(3x-2)(x+5)$ وقيّم $\sqrt{(x-5)^2}$ عندما $x=1$.
استنتاج. يعطي النشر $3x^2+15x-2x-10=3x^2+13x-10$، لذا فإن المعامل هو 13. الجذر هو $|x-5|$؛ عند $x=1$، القيمة هي $|-4|=4$، وليست $-4$ أو 16.
تدريب 3
اختبر طالب $x=2$ وخلص إلى أن $x^2$ و$2x$ متكافئان. انكر هذا الاستنتاج وأوجد القيم التي تتفق فيها فعليًا.
استنتاج. عند $x=3$، القيم الناتجة هي 9 و 6، لذا فإن اختبار تطابق واحد ليس دليلاً. حل $x^2=2x$ كـ $x(x-2)=0$، مما يعطي فقط $x=0,2$.
الحدود والاستخدام التالي
الصيغة المبسّنة ليست تلقائيًا دالة مكافئة على مجال أوسع؛ اختصار الحدود عبر الجمع أمر غير صالح.
هذه مهام تدريبية أصلية كُتبت لهذا الكورس، وليست أسئلة امتحانات رسمية.