النطاق والشروط المسبقة
بناءً على إطار Digital SAT. هذه المهام الورقية ليست تكيفية ولا تتنبأ بدرجة مقيسة.
- حل المعادلات التربيعية وقيمة المطلق والكسرية والجذرية
- رفض الجذور المرشحة التي تخالف المعادلة الأصلية أو المجال
- إيجاد تقاطعات مستقيم ومنحنى غير خطي
المسبقات: التحليل إلى عوامل؛ التعويض؛ قيود المجال.
شرح واختيار الطريقة
استخدم البنية قبل التوزيع. يساوي تربيعي محلل الصفر عندما يكون أحد العوامل على الأقل مساويًا للصفر. معادلة القيمة المطلقة |u|=a ليس لها حل حقيقي إذا كانت a<0, one condition u=0 when a=0 and two conditions u=±a when a>0. احسب جميع الحالات المسموحة، وليس فرع الموجب فقط.
بالنسبة لمعادلة نسبية، استبعد أصفار المقام قبل الضرب. قد يخلق الضرب مرشحًا عند قيمة مستبعدة. بالنسبة لمعادلة جذرية، لاحظ أن الجذر التربيعي الرئيسي غير سالب، وعزله وأعد تربيعه بعناية. التربيع هو استلزام أحادي الاتجاه حتى يتم التحقق من كل المرشح الناتج في الأصل.
لحل نظام خط-قطع مكافئ، عوض تعبير الخط في المعادلة التربيعية. الجذور الحقيقية تعطي قيم x؛ استخدم الخط لاستعادة كل قيمة y. عدم وجود جذر حقيقي يعني عدم تقاطع حقيقي. الجذر المكرر للمعادلة التربيعية يعطي مماساً، بينما الجذرين الحقيقيين المختلفين يعطيان نقطتي تقاطع.
يمكن للرسم البياني أو الآلة الحاسبة مساعدة تحديد المرشحين والتحقق من المقياس، لكن التقاطعات المقربة ليست دليلاً دقيقاً عندما تطلب المسألة قيمة دقيقة أو عدد حلول. ربط السلوك البياني بالمعادلة الجبرية. لا يجب حساب الجذر المزدوج مرتين كزوجين مرتبين مختلفين.
يجب أن يحقق الجذر المرشح المعادلة الأصلية. في $\sqrt{x+6}=x$، يجب أن تكون الطرف الأيمن غير سالبة. التربيع يعطي $x^2-x-6=0$، لذا المرشحون هم $3,-2$. يُبقى فقط $3$ بعد التحقق الأصلي: $\sqrt9=3$.
*يمكن للخط المستقيم أن يلتقي بالقطع المكافئ مرتين؛ كلا الزوجين المرتبين يحققان كلا العلاقتين
مثال محلول. √(x+2)=x يتطلب x≥0. التربيع يعطي x²-x-2=0، إذن x=2 أو -1؛ فقط 2 يعمل في المعادلة الأصلية. بالنسبة لـ y=x+2 و y=x²، حل x²-x-2=0: x=2,-1، مما يعطي (2,4) و (-1,1). بالنسبة لـ |2x-1|=5، حل 2x-1=5 أو -5 للحصول على x=3 أو -2.
مواد تدريبية
كل سؤال تمريني أدناه يذكر جميع البيانات التي يحتاجها.
تدريب مع الاستدلال
تدريب 1
حل $\sqrt{2x+3}=x$ في الأعداد الحقيقية، مع توضيح سبب رفض أي مرشح.
الحجج. اشترط $x\ge0$. التربيع يعطي $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)=0$. المرشحان هما 3 و-1. المعادلة الأصلية تعطي $\sqrt9=3$ عند 3، لكن $\sqrt1=1\ne-1$ عند -1. فقط $x=3$ يعمل.
تدريب 2
حل $y=x+2$ و $y=(x-1)^2$ معاً. قدم أزواجاً مرتبة دقيقة وتحقق من عدد نقاط التقاطع.
استنتاج. اسوِّ المخرجات لتحصل على $x+2=x^2-2x+1$، أو $x^2-3x-1=0$. وبالتالي $x=(3\pm\sqrt{13})/2$ و $y=(7\pm\sqrt{13})/2$ بإشارات مطابقة. المميز 13 موجب، لذا يوجد تقاطعان حقيقيان متميزان؛ تتفق كلا التعبيرات عن $y$ من خلال المعادلة المشتقة.
تدريب 3
حل $|3x+2|=7$ و $(x^2-9)/(x-3)=6$. اشرح لماذا لهاتان المعادلتان عدد مختلف من الحلول.
استنتاج. القيمة المطلقة تعطي $3x+2=7$ أو $-7$، وبالتالي $x=5/3$ أو $-3$. تتطلب المعادلة النسبية $x\ne3$ وتتبسط إلى $x+3=6$، والمرشح الوحيد 3 مستبعد. ليس لها حل.
الحدود والاستخدام التالي
لا تقدم كل جذر لمعادلة محولة قبل التحقق من قيد المعادلة الأصلية والفرع.
هذه مهام تدريبية أصلية كُتبت لهذا الكورس، وليست أسئلة امتحانات رسمية.