النطاق والشروط المسبقة
بناءً على إطار Digital SAT. هذه المهام الورقية ليست تكيفية ولا تتنبأ بدرجة مقيسة.
- تفسير الصفر، الرأس والمعاملات من أشكال الدوال المفيدة
- التمييز بين التغير الخطي الجمعي والتغير الأسّي الضربي
- تحويل الرسم البياني مع تتبع المدخلات والمخرجات
المؤهلات السابقة: رمز الدالة؛ المربعات؛ مضاعفات النمو.
شرح واختيار الطريقة
الشكل القمري a(x-h)²+k يحدد الرأس (h,k) واتجاه الفتح؛ الشكل المحدد يحدد الأصفار. يمكن أن تكون نفس الدالة بصيغة كليهما. في السياق، حدد أي الميزات ذات مغزى: يحدث أقصى ارتفاع عند رأس قطع مكافئ مفتوح لأسفل، بينما يمكن أن يمثل الصفر العودة إلى مستوى الأرض.
بالنسبة لـ y=A b^t، A هي القيمة عند t=0 وb هو العامل لكل وحدة زمنية. معدل نمو r يعطي b=1+r؛ الانكماش يعطي b=1-r. الفروقات المتساوية تشير إلى نموذج خطي، بينما النسب المتساوية تشير إلى نموذج أسّي للخطوات المدخلة المتساوية. لا يجب استخلاص أي نموذج beyond مجال مبرر بدون سبب سياقي.
إزاحة المخرج f(x)+k تحرك كل نقطة عمودياً بمقدار k. إزاحة المدخل f(x-h) تحرك الرسم بيانياً لليمين بمقدار h: نفس المدخل القديم يُستحق عندما يكون x الجديد أكبر. المضاعف الخارجي يقيس المخرج؛ سالب خارجي يعكس عبر محور x. حدد التحويل جبرياً بدلاً من حفظ الاتجاه دون التحقق من نقطة.
بالنسبة لعامل أسي مُعطى على عدة وحدات زمنية، اميز بين هذا الفترة وواحدة وحدة. مضاعفة كل ثلاث ساعات تعني 2^(t/3)، وليس 2^t. بالنسبة للتربيعية، استخدم التمثيل المطلوب لقراءة حد أقصى أو حل من أجل مدخل. احتفظ بالقيم الأولية وعوامل النمو ونسب النمو منفصلة.
الصيغة الرأسية $a(x-h)^2+k$ تكشف النقطة المنحنية $(h,k)$. بالنسبة لـ $H(t)=-2(t-4)^2+32$، الحد الأقصى هو 32 عندما $t=4$. بتعيين $H(t)=0$ نحصل على $(t-4)^2=16$، وبالتالي $t=0,8$. قيد الوقت بالفترات المادية التي تمثل فيها المسألة حركة طيران.
مثال محلول. الدالة h(t)=-4(t-3)²+36 لها قيمة عظمى 36 عند t=3، مع أصفار t=0 و6. الدالة N(t)=80(1.25)^t تبدأ من 80 وتنمو بمقدار 25% لكل وحدة؛ N(2)=125. كمية تتضاعف كل ثلاث ساعات تُعطى بالصيغة 80·2^(t/3)، لذا بعد ست ساعات تصبح 320. إذا كانت f(x)=x²، فإن f(x-2)+5 لها رأس عند (2,5).
مواد تدريبية
كل سؤال تمريني أدناه يذكر جميع البيانات التي يحتاجها.
تدريب مع الاستدلال
تدريب 1
ارتفاع النموذج هو $H(t)=-3(t-2)^2+12$ متر، مع $t$ ثانية من الإطلاق حتى العودة إلى الأرض. أوجد المجال، أقصى ارتفاع، وفتر الزمن التي يكون فيها الارتفاع على الأقل 9 متر.
استنتاج. الأرض تعني $H=0$، إذن $(t-2)^2=4$ و$t=0,4$. المجال هو $0\le t\le4\,\mathrm{s}$. معامل التربيع السالب يعطي قيمة عظمى $H(2)=12\,\mathrm{m}$. بالنسبة لـ $H\ge9\,\mathrm{m}$، نحصل على $(t-2)^2\le1$، وبالتالي $1\le t\le3\,\mathrm{s}$.
تدريب 2
نموذج مزرعة يبدأ بـ 120 خلايا وينمو بمعامل 1.5 كل ساعتين. اكتب $N(t)$ للساعات $t$، وأوجد $N(4)$، وفرق بين المعامل ونسبة النمو المئوية.
التبرير. $N(t)=120(1.5)^{t/2}$ خلية. $N(4)=120(1.5)^2=270$ خلايا. النمو هو 50% كل ساعتين، وليس 150%; معامل أربع ساعات هو 2.25. المعامل الساعبي سيكون $\sqrt{1.5}$.
تدريب 3
إذا كان $f(x)=(x+1)^2$، أوجد رأس الدالة $g(x)=-2f(x-3)+5$ وأقصى أو أدنى قيمة لها.
الحجج. عوض المدخل قبل تفسير الإشارات. $g(x)=-2(x-2)^2+5$ له رأس $(2,5)$ وأقصى قيمة 5. الرأس القديم عند $-1$ تحرك ثلاث وحدات لليمين إلى 2.
الحدود والاستخدام التالي
العامل 1.25 يعني نموًا بنسبة 25%، وليس 125%؛ f(x-2) يُزاح إلى اليمين، والنسبة المئوية المكررة تستخدم المبلغ المحدّث.
هذه مهام تدريبية أصلية كُتبت لهذا الكورس، وليست أسئلة امتحانات رسمية.