النطاق والشروط المسبقة
بناءً على إطار Digital SAT. هذه المهام الورقية ليست تكيفية ولا تتنبأ بدرجة مقيسة.
- قارن المتوسط والوسيط والمدى والانحراف المعياري نوعياً
- تنبأ بتأثير إضافة أو ضرب كل قيمة بيانات
- اقرأ معلومات التكرار دون الخلط بين القيم والعدّادات
المتطلبات المسبقة: بيانات مرتبة؛ تكرار؛ المتوسط والوسيط.
شرح واختيار الطريقة
يستخدم المتوسط مجموع جميع المشاهدات مقسوماً على عددها؛ والوسيط هو الوسط بين المشاهدات المرتبة. التكرار يعني تكرار قيمة: إذا تكرر 2 ثلاث مرات و8 مرة واحدة، فإن المتوسط هو (3·2+8)/4=3.5، وليس (2+8)/2. المواقع الأفقية على العرض هي القيم، والترددات تحدد عدد المشاهدات التي تمثلها.
المدى هو الحد الأقصى ناقص الحد الأدنى؛ الانحراف المعياري يصف المسافات النموذجية عن المتوسط. لا حاجة لحفظ صيغة كاملة لمقارنة التوزيعات البسيطة المتماثلة المحاطة: البيانات المتجمعة قريباً من المتوسط لها انحراف معياري أصغر من البيانات المنتشرة بعيداً بشكل متماثل. القيمة الشاذة يمكن أن تغير المتوسط والانتشار بشكل كبير بينما تظل الوسيط مستقراً.
إضافة c إلى كل مشاهدة ترفع المتوسط والوسيط بمقدار c لكنها تترك المدى والانحراف المعياري دون تغيير، لأن المسافات الزوجية لا تتغير. ضرب كل مشاهدة في k موجب يضاعف المتوسط والوسيط والمدى والانحراف المعياري بمقدار k. بشكل عام، يتوسع الانتشار بمقدار |k|، بينما يعكس الضرب بالسالب الترتيب.
عند مقارنة المخططات، راجع المقياس وعدد المشاهدات قبل الحكم على العرض الظاهي. قد يبدو الرسم البياني الممدود أفقياً أكثر تبايناً دون أن يمثل قيماً مختلفة. يتطلب ادعاء تساوي الانحراف المعياري التوزيعات الفعلية، وليس فقط تساوي المدى أو المتوسط.
التكرار يعد عدد المشاهدات المكررة. القيم 1، 3، 7 بتكرارات 2، 1، 1 تمثل أربع مشاهدات: 1، 1، 3، 7. $\bar x=\sum fx/\sum f=(2(1)+1(3)+1(7))/4=3$. الوسيط هو $(1+3)/2=2$؛ ولا يشترط أن يساوي المتوسط الحسابي.
مثال محلول. أ={4,5,6} وب={0,5,10} كلاهما له متوسط ووسيط 5، لكن ب لديه تباين أكبر. إضافة 7 تُعطي أ+7={11,12,13}، بمتوسط 12 ونفس الانحراف المعياري لأ. ضرب أ في 2 يعطي {8,10,12}؛ متوسطه هو 10 وتضاعف مدى انحرافه والانحراف المعياري. مساواة المدى وحدها لا تضمن مساواة الانحراف المعياري.
مواد تدريبية
كل سؤال تمريني أدناه يذكر جميع البيانات التي يحتاجها.
تدريب مع الاستدلال
تدريب 1
القيم 2، 5، 8 لها التكرارات 3، 2، 1. أوجد المتوسط والوسيط والمدى.
استنتاج. البيانات مرتبة 2,2,2,5,5,8. $\bar x=(3(2)+2(5)+1(8))/6=4$. الوسيط هو متوسط الموقعين 3 و4، أي $(2+5)/2=3.5$. المدى $R=8-2=6$.
تدريب 2
تم تغيير كل مشاهدة بواسطة $z=3x-4$. أوجد المتوسط الجديد والوسطي والمدى. بيّن كيف يتغير الانحراف المعياري دون حسابه.
استنتاج. المتوسط $\bar z=3\bar x-4=3(4)-4=8$. الوسيط هو $3(3.5)-4=6.5$. المدى هو $3(6)=18$. يتضاعف الانحراف المعياري ثلاثة أضعاف؛ طرح 4 لا يغير المسافة عن المتوسط.
تدريب 3
قارن بين A = {0, 0, 10, 10} وB = {0, 5, 5, 10}. كلاهما له مدى 10. هل يجب أن يتساوى انحرافهما المعياري؟ برر ذلك.
استنتاج. كلا المتوسطين هما 5. كل ملاحظة في A تبعد 5 عن متوسطها؛ مسافات B هي 5,0,0,5. لذلك B لديها انحراف مربعي متوسط أصغر وانحراف معياري أصغر. تساوي المدى وحده غير كافٍ.
الحدود والاستخدام التالي
لا تقم بمتوسط تسميات الفئات المختلفة عندما تختلف التكرارات، ولا تخلط بين توزيع مُزاح وتوزيع أكثر انتشاراً.
هذه مهام تدريبية أصلية كُتبت لهذا الكورس، وليست أسئلة امتحانات رسمية.