النطاق والشروط المسبقة
بناءً على إطار Digital SAT. هذه المهام الورقية ليست تكيفية ولا تتنبأ بدرجة مقيسة.
- تفسير الميل والمقطع لنموذج مُركب في السياق
- حساب باقية وتمييز الاستيفاء من الاستنباط
- اختيار الأنماط الخطية أو الأسية من بيانات ذات خطوات متساوية
المسبقيات: الدوال الخطية؛ الطرح الإشاري؛ تسميات مخطط التشتت.
شرح واختيار الطريقة
مخطط التشتت يربط متغيرين كميين، نقطة واحدة لكل مشاهدة مزدوجة. خط مُركب يلخص اتجاهًا بدلاً من ربط كل نقطة. في النموذج y=a+bx، يتنبأ b بالتغير في y مقابل زيادة مقدارها وحدة واحدة في x؛ وحداته هي وحدات y لكل وحدة x. يتنبأ المقطع a بـ y عندما x=0، والذي قد يقع خارج نطاق البيانات.
الباقية هي y الملاحظة ناقص y المتوقع. الإيجابية تعني أن الملاحظة تقع فوق النموذج؛ السالبة تعني تحت. عوض x الملاحظة في النموذج قبل الطرح. الباقي الكبير يشير إلى تنبؤ سيئ لتلك النقطة، ليس بالضرورة خطأً في القياس أو دليلاً على غياب الاتجاه.
الاستيفاء يتنبأ داخل نطاق x الملاحظ؛ الاستنباط يتجاوز ذلك ويتطلب حذراً أكبر لأن العلاقة قد تتغير. استخدم النطاق السياقي للنموذج بالإضافة إلى صيغته الجبرية. على سبيل المثال، يمكن أن يكشف وقت السفر المتوقع السلبي عن استنباط غير مبرر بدلاً من نتيجة فيزيائية ممكنة.
بالنسبة لخطوات إدخال متساوية، تشير فروقات الخرج شبه الثابتة إلى نموذج خطي؛ نسب الخرج شبه الثابتة تشير إلى نموذج أسّي. التشتت يمكن يجعل أي نمط تقريبياً. الارتباط لا يحدد السبب: قد يعكس كلا المتغيرين عاملاً ثالثاً. الاتجاه المُركب هو دليل حول التنبؤ، وليس بحد ذاته حول التدخل.
الباقي هو الملاحظة مطروحًا منها القيمة المتوقعة. نموذج رحلة $T=5+2d$ يستخدم دقائق لـ $T$ و كيلومترات لـ $d$. $T(4)=5\,\mathrm{min}+(2\,\mathrm{min/km})(4\,\mathrm{km})=13\,\mathrm{min}$. للمدة الملاحظة 16 دقائق، $e=T_{obs}-T_{pred}=16\,\mathrm{min}-13\,\mathrm{min}=3\,\mathrm{min}$.
مثال محلول. بالنسبة لوقت الدراسة x ساعات والتوقع y=12+3x، الميل هو 3 نقاط اختبار/ساعة. عند x=2، التوقع هو 18. إذا كانت الملاحظة 21، فالباقي=21-18=3. مع قيم x الملاحظة من 1 إلى 5، فإن التوقع عند x=3 استيفاء (interpolates) وعند x=12 استنباط (extrapolates). مخرجات 5,10,20,40 عند خطوات إدخال متساوية تشير إلى نمو أسّي بمعامل ثنائي.
مواد تدريبية
كل سؤال تمريني أدناه يذكر جميع البيانات التي يحتاجها.
تدريب مع الاستدلال
تدريب 1
نموذج التسليم الملائم هو $T=8+1.5d$ دقيقة للمسافات الملاحظة بين 2–10 كم. فسر كلا المعاملين. عند 6 كم، كانت الوقت الملاحظ 15 دقائق؛ أوجد الفارق.
التفسير. المقطع الصادي يتنبأ بـ 8 دقيقة عند مسافة صفرية؛ الصفر يقع خارج نطاق الملاحظات، لذا فإن هذا التفسير استقراء. الميل يتنبأ بإضافة 1.5 دقيقة لكل كيلومتر. $T(6)=8\,\mathrm{min}+(1.5\,\mathrm{min/km})(6\,\mathrm{km})=17\,\mathrm{min}$. الفارق $e=15\,\mathrm{min}-17\,\mathrm{min}=-2\,\mathrm{min}$، تحت الخط.
تدريب 2
يُطلب التنبؤات عند 7 كم و20 كم. صنّف كلًا منهما، واشرح لماذا لا يثبت ميل مُقيَّس أن المسافة وحدها تسبب جميع تباينات الوقت.
التفسير. السبعة تقع داخل 2–10، لذا فهي استيفاء. العشرون خارج النطاق، لذا فهو استقراء بدعم أضعف. يمكن أن تؤثر ظروف مثل المرور والتحميل وغيرها على الوقت؛ ولا يعزل النموذج الملائم تأثيراتها.
تدريب 3
عند مدخلات متساوية المسافات 0,1,2,3، تكون المخرجات 6,18,54,162. اختر قاعدة خطية بسيطة أو أسية وتنبأ عند 4، مع ذكر الافتراض.
التفسير. النسب جميعها 3، بينما تختلف الفروقات. قاعدة الأسية هي $y=6(3)^x$. تحت نمو بعامل ثلاثة مستمر، $y(4)=6(3)^4=486$. هذا استقراء قائم على النموذج، وليس ملاحظة قادمة مضمونة.
الحدود والاستخدام التالي
احتفظ بـ (الملاحظات - التنبؤ) بنفس الترتيب. لا تحول ميل النموذج إلى تأثير علاج سببي.
هذه مهام تدريبية أصلية كُتبت لهذا الكورس، وليست أسئلة امتحانات رسمية.