النطاق والشروط المسبقة
بناءً على إطار Digital SAT. هذه المهام الورقية ليست تكيفية ولا تتنبأ بدرجة مقيسة.
- احسب احتمالات الحدث والمكملة من العدادات
- استخدم مجموعة الشرط مقاماً للقسمة
- اميز بين الاستقلال والتضاد
المتطلبات السابقة: الكسور؛ مجاميع الجداول؛ الحدث والمكملة.
شرح واختيار الطريقة
الاحتمال القائم على مشاهدات ممثلة بالتساوي هو العدد المواتي مقسوماً على الإجمالي المعني. يحتوي الجدول ثنائي الأبعاد على أعداد مشتركة في الخلايا وإجماليات المجموعات على الهوامش وإجمالي عام. حدد ما إذا كان السؤال يتعلق بحادث مشترك، أو أي حادث، أو حدث واحد بشرط حدوث آخر قبل اختيار المقام.
لـ P(A given B)، اقتصر الانتباه على مجموعة B واقسم عدد A-and-B على مجموع B. إنه ليس مساويًا عمومًا لـ P(B given A)، لأن مجموعات الشرط مختلفة. كسر بمقام صحيح لكن لمجموعة سكانية خاطئة يجيب عن سؤال خاطئ.
احتمال المكملة هو 1-P(A). لإما A أو B، إضافة احتمالات منفصلة يحسب التداخل مرتين، لذا اطرح P(A and B). الأحداث المتضادة ليس لها تداخل؛ الأحداث المستقلة تحقق P(A and B)=P(A)P(B). لا يمكن لأحداث متضادة ذات احتمالات موجبة أن تكون مستقلة، لأن رصد أحدهما يستبعد الآخر.
بالنسبة للسحب بدون إرجاع، حدّث كل من العدد المواتي المتبقي والإجمالي في كل خطوة. بالنسبة للاختيار المتكرر المستقل، تتضرب الاحتمالات دون ذلك التحديث. نص افتراضيات أخذ العينات قبل الحساب. يدعم جدول التواترات النسبية الملاحظة الاحتمالات التجريبية لتلك المجتمع، وليس ضماناً لأي سحب مستقبلي.
الاحتمال الشرطي يقيّد المقام. من بين 40 عضو في النادي، 12 يركب الدراجة؛ 8 من هؤلاء راكبي الدراجات يرتدون خوذة. $P(H\mid C)=n(H\cap C)/n(C)=8/12=2/3$. المجموعة هي راكبو الدراجات، لذا 40 ليست هذا المقام.
مثال محلول. التعدادات الأصلية: مستخدمو الحافلة—18 يحملون وجبة غداء مغلفة، 12 لا يفعل ذلك؛ غير مستخدمي الحافلة—12 يحملون وجبة غداء، 8 لا يفعلون. الإجمالي 50. احتمال (وجبة)=30/50=0.6؛ احتمال (وجبة مع حافلة)=18/30=0.6؛ احتمال (حافلة مع وجبة)=18/30=0.6 في هذه الجدول المتوازن المحدد. تغيير خلية واحدة قد يجعل هذه القيم غير متساوية. احتمال (حافلة ووجبة)=18/50=0.36، وهو يساوي هنا 0.6·0.6، مما يشير إلى استقلالية هاتين الفئتين في الجدول.
مواد تدريبية
كل سؤال تمريني أدناه يذكر جميع البيانات التي يحتاجها.
تدريب مع الاستدلال
تدريب 1
تسجيل استطلاع 12 شاربين شاي و8 غير شاربين الشاي بين 20 راكبي دراجات؛ بين 30 مشيين يسجل 9 شاربين شاي و21 غير شاربين الشاي. أوجد $P(tea)$، $P(tea\mid cyclist)$ و$P(cyclist\mid tea)$.
التفسير. إجمالي شاربى الشاي هم 21 من 50، أي $P(T)=21/50$. داخل راكبي الدراجات، $P(T\mid C)=12/20=3/5$. داخل شاربى الشاي، $P(C\mid T)=12/21=4/7$. اختلاف المقامات يجعل الاحتمالات الشرطية غير متساوية.
تدريب 2
في نفس الاستطلاع، هل شرب الشاي وركوب الدراجات مستقلان؟ هل هما متنافيان؟ استخدم الأرقام للإجابة على كلا السؤالين.
التفسير. ليست مستقلة لأن $P(T\mid C)=3/5\ne21/50=P(T)$. وليست منفصلة لأن 12 مستجيب يقوم بال الاثنين: $P(T\cap C)=12/50>0$.
تدريب 3
يتم اختيار مستجيب واحد بالتساوي. أوجد احتمال المشي أو شرب الشاي، بما في ذلك أولئك الذين يقومون بالثنين معًا.
الاستدلال. استخدم مبدأ الشمول والاستبعاد. $P(W\cup T)=(30+21-9)/50=42/50=21/25$. لا ينبغي حساب المشاة الذين يشربون الشاي 9 مرتين. وبالمثل، استبعد راكبي الدراجات الذين لا يشربون الشاي 8.
الحدود والاستخدام التالي
الإجابات الشرطية المتساوية في جدول ما هي صدفة أو بنية يجب فحصها، وليست قاعدة عالمية. اشترط أولاً، ثم عدّ.
هذه مهام تدريبية أصلية كُتبت لهذا الكورس، وليست أسئلة امتحانات رسمية.