TS.2 · Speed distributions and statistical ensembles

يمكن للغاز أن يكون له متوسط سرعة صفر بينما تمتلك جسيماته سرعة متوسطة كبيرة. الاتجاهات المتعاكسة تلغي بعضها في المتوسط المتجهي؛ أما السرعة فهي كمية قياسية لا إشارتها.

المؤهلات السابقة: 4، 35.

• تطبيع كثافات السرعة المستمرة وتفسير وحداتها
• التمييز بين المتوسطات المتجهية ومتوسطات السرعة والسرع الأكثر احتمالاً
• استخدام أوزان بولتزمان مع الانحلال ودالة التوزيع

لكثافة احتمالية سرعة مستمرة f(v)، يمثل f(v)dv احتمالاً في فترة ضيقة، و∫من 0إلى∞ f(v)dv=1. الكثافة لها وحدات مقلوب السرعة وليست احتمالاً بحد ذاتها. إذا كان P(v)dv يعد الجسيمات في تلك الفترة، فإن مساحتها هي عدد الجسيمات N وf=P/N. شبه منحرف يرتفع على عرض v0، ويبقى ثابتاً على عرض 2v0، ثم ينخفض على عرض v0 له مساحة 3av0 لارتفاع a. قسّم المساحة قبل حساب المتوسط أو تفسير الارتفاع المرسوم بيانياً.

في غاز متوازن متماثل بدون تدفق جماعي، يكون توزيع كل مركبة من مركبات السرعة متماثلًا، لذا ⟨v_vector⟩=0. السرعة v=|v_vector| موجبة ولا سالبة ولها متوسط موجب. بالنسبة لغاز مثالي كلاسيكي، تكون كثافة ماكسويل للسرعة متناسبة طرديًا مع v²exp[−mv²/(2kBT)]. ونوعتها هو sqrt(2kBT/m)، ومتوسطها هو sqrt(8kBT/(πm)) وسرعتها الجذرية المتوسطة هي sqrt(3kBT/m). هذه ثلاثة كميات مختلفة. إن عامل v² يجعل كثافة السرعة صفراً عند v=0، على الرغم من أن كثافة متجه السرعة تكون الأكبر عند المتجه الصفري.

بالنسبة لتوزيع مستمر، يكون احتمال تحديد سرعة واحدة بالضبط هو الصفر؛ فالاحتمالات غير الصفرية تتعلق بفترات. لا يشير هذا إلى عدم وجود جسيمات بسرعات صغيرة جداً، أو أن كاشف ذا دقة محدودة لا يمكنه تسجيل صفر في خانة ما. تغير درجة الحرارة مقياس توزيع ماكسويل: السرعات المميزة تتناسب طرديًا مع sqrt(T/m). مضاعفة درجة الحرارة لا تضاعف السرعة، والجسيمات الأثقل تكون أبطأ في المتوسط عند نفس درجة الحرارة.

في مجموعة كانونية عند درجة حرارة T، يكون وزن الحالة ذات الطاقة E_i هو exp(−E_i/(kBT)). نقسم على دالة التوزيع Z=Σexp(−E_i/(kBT)) للحصول على الاحتمالات. إذا كان مستوى طاقة له انحلال g_i، فإن احتمال المستوى هو g_i exp(−E_i/(kBT))/Z. لا يعني تساوي الطاقة لكل حالة تساوي الاحتمال لكل مستوى عندما تختلف الانحلالات. بالنسبة لمستوى أساسي بانحلال 1 ومستوى مثير بانحلال 2 عند Δ=kBT ln2، يكون الوزن الكلي للمستوى المثير هو 2e^(−ln2)=1: كل من المستويين له احتمال 1/2. افتراضات ماكسويل-بولتزمان الكلاسيكية تختلف عن اشغالات Bose-Einstein وFermi-Dirac الكمومية.

المجموعة القياسية لها تدهور الأرضية 1 وتدهور الإثارة g عند الفاصل Delta.

مع g = 4 و$\Delta=k_BT\ln2$، هذا هو احتمال المستوى المثير بأكمله. لكل حالة من حالاته الأربعة احتمال 1/6.

ارتفاع الكثافة ليس احتمالا. متوسط السرعة، ومتوسط السرعة القياسية، والقيمة الأكثر تكراراً تختلف؛ يجب تضمين الانحلال قبل تطبيع احتمالات المستويات.

الكثافة الاحتمالية: الاحتمال لكل وحدة من متغير مستمر، تكامله يعطي احتمال الفترة.

دالة التقسيم: مجموع الأوزان الإحصائية المستخدمة لتطبيع احتمالات حالة التوازن.